新版高考數學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題11 平面向量的運算 Word版含解析

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2、 1 【名師精講指南篇】 【高考真題再現】 1.【20xx新課標全國】已知兩個單位向量,的夾角為,,若,則_____. 【答案】2； 【解析】,故,故. 2.【20xx全國卷1理】已知為圓上的三點,若,則與的夾角為_______． 【答案】． 3.【20xx全國卷1卷文】設分別為的三邊的中點,則（ ） A. B. C.

3、 D. 【答案】A 【解析】根據平面向量基本定理和向量的加減運算可得：在中,,同理,則． 4．【20xx全國卷1】設為所在平面內一點,,則（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題可得,所以,所以 ．故選A． 5．【20xx全國卷2】設向量不平行,向量與平行,則實數 ． 【答案】 【解析】根據向量平行的條件,因為向量與平行, 所以,則有解得,所以． 6.【20xx全國卷1】已知是雙曲線上的一點,,是的兩個焦點,若,則的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【熱

4、點深度剖析】 從近幾年的高考試題來看,向量的運算,向量的幾何意義,平面向量基本定理,向量的數量積,向量的坐標運算及向量共線的坐標表示,及向量的數量積及運算律,向量垂直的充要條件是高考的熱點,題型既有選擇題、填空題,有時也涉及解答題,往往和解析幾何結合出題,函數等結合出題,與三角結合出大題在新課標卷中還沒涉及,而對向量的數量積及運算律的考查多為一個小題；另外作為工具在考查三角函數、立體幾何、平面解析幾何等內容時經常用到．整個命題過程緊扣課本,重點突出,有時考查單一知識點；有時通過知識的交匯與鏈接,全面考查向量的數量積及運算律等內容．20xx年文理為同一道題目,求向量的模,考查向量的數量積公式,

5、難度較低；20xx年新課標高考理對向量的考查平面向量基本定理,難度中等,文科則考查向量的幾何運算,較為簡單；20xx年全國卷兩套試卷各有一題考查向量的線性運算,難度較低,全國卷1還有一道與圓錐曲線的綜合題,難度中等.向量試題屬于中、低檔題目,常與向量的數量積運算等交匯命題,主要考查向量的坐標運算及向量共線條件的應用．同時又注重對函數與方程、轉化、化歸等思想方法的考查．預測20xx年高考將以向量的坐標運算、向量共線的坐標表示,向量的數量積,向量的平行,垂直為主要考點.另外還有注意向量與平面幾何、三角、解析幾何知識交匯問題． 【重點知識整合】 （1）兩個向量的夾角：對于非零向量,,作, 稱為

6、向量,的夾角,當＝0時,,同向,當＝時,,反向,當＝時,,垂直. （2）平面向量的數量積：如果兩個非零向量,,它們的夾角為,我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積）,記作：,即＝.規(guī)定：零向量與任一向量的數量積是0,注意數量積是一個實數,不再是一個向量. （3）在上的投影為,它是一個實數,但不一定大于0. （4）的幾何意義：數量積等于的模與在上的投影的積. （5）向量數量積的性質：設兩個非零向量,,其夾角為,則： ①； ②當,同向時,＝,特別地,；當與反向時,＝－；當為銳角時,＞0,且不同向,是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時,＜0,且不反向,是為鈍角的必要非充分條件； ③非零

7、向量,夾角的計算公式：；④. 2、向量的運算： （1）幾何運算： ①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行,但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法還可利用“三角形法則”：設,那么向量叫做與的和,即； ②向量的減法：用“三角形法則”：設,由減向量的終點指向被減向量的終點.注意：此處減向量與被減向量的起點相同. （2）坐標運算：設,則： ①向量的加減法運算：,. ②實數與向量的積：. ③若,則,即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標. ④平面向量數量積：. ⑤向量的模：. 3、向量的運算律：（1）交換律：,,；(2)結合律：,；（

8、3）分配律：,.提醒：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式,可以移項,兩邊平方、兩邊同乘以一個實數,兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量,切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律,即,為什么？ 4、向量平行(共線)的充要條件：＝0.如(13)設,則k＝_____時,A,B,C共線. 5、向量垂直的充要條件： .特別地. 【應試技巧點撥】 1.如何利用向量的幾何表示三角形的各種心 向量的幾何表示是高考的熱點問題,特別是用三角形的各種心的向量表示經常是命題的素材,常見的結論如下： ①為的重心,特

9、別地為的重心；是BC邊上的中線AD上的任意向量,過重心；等于已知AD是中BC邊的中線. ②為的垂心；是△ABC的邊BC的高AD上的任意向量,過垂心. ③ 的內心；向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線). ④為 的外心. 2.向量與平行四邊形相關的結論 向量的加法的幾何意義是通過平行四邊形法則得到,其應用非常廣泛.在平行四邊形中,設,則有以下的結論： ①通過這個公式可以把共同起點的兩個向量進行合并；若,可判斷四邊形為平行四邊形； ②若對角線相等或鄰邊垂直,則平行四邊形為矩形；對角線垂直.則平行四邊形為菱形； ③說明平行四邊形的四邊的平方和等于對角線的平方和； ④,特別

10、地,當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數比較類似). 3. 向量平行和垂直的重要應用 向量平行和垂直的重要應用,是高考的熱點.命題方向有兩點：一是利用已知條件去判斷垂直或平行；二是利用平行或垂直的條件去確定參數的值.需牢固掌握判斷的充要條件. （1）向量平行(共線)的充要條件：＝0; （2）向量垂直的充要條件：. 4.一個共線結論：是平面內不同4點,則共線,且. 5.向量運算問題的兩大處理思路 向量運算包括幾何運算和坐標運算.利用幾何運算就是充分利用加法和減法的幾何含義,以及一些具有幾何含義的式子,進行化簡、轉化向量的計算.利用坐標運算,實際上就是轉化為代數問題,即向量

11、問題坐標化. 樹立數形轉化和結合的觀點,以數代形,以形觀數,用代數的運算處理幾何問題,特別是處理向量的相關位置關系時,要正確運用共線向量和平面向量的基本定理,去計算向量的模、兩點的距離等.由于向量作為工具,它往往會與三角函數、數列、不等式、解析幾何等結合起來進行綜合考查,是知識的交匯點. 5.如何恰當的選擇向量的數量積的公式 求向量的數量積的公式有兩個：一是定義式＝；二是坐標式.定義式的特點是具有強烈的幾何含義,需要明確兩個向量的模及夾角,夾角的求解方法靈活多樣,一般通過具體的圖形可確定,因此采用數形結合思想是利用定義法求數量積的一個重要途徑.坐標式的特點具有明顯的代數特征,解題時需要引

12、入直角坐標系,明確向量的坐標進行求解.即向量問題“坐標化”,使得問題操作起來容易、方便. 6.如何判斷三角形形狀 給出三角形邊相關的向量關系式,判斷三角形的形狀是一個熱點題型.此類題的關鍵是對給定的關系式恰當的去化簡,變形,整理.最終能夠說明三角形的形狀.常用的技巧有： （1）利用向量加減法的運算可以合并或分解. （2）利用拆、添、減項等技巧,對式子進行變形化簡. （3）利用一些常見的結論進行判斷. 【考場經驗分享】 1．求向量的夾角時要注意：(1)向量的數量積不滿足結合律；(2)數量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數量積等于0說明兩向量的夾角為直角,數量積小于0且兩向

13、量不共線時兩向量的夾角關系是鈍角． 2.如果高考單獨考查向量的運算,如代數或幾何運算,一般試題難度較低,位置較為靠前,一般為選擇題的前8題,或填空題的前2題,此時應為的全分題,如果向量和其它知識相結合,考查最值等問題,一般會出現在后幾道選擇題中,難度較大,此時應充分考慮向量的幾何意義,或坐標法表示進行解決,在利用坐標法解決問題時,可考慮一般問題特殊化,即恰當的建立坐標系,將問題轉化為代數運算,如果探求一些范圍問題,適當的代值驗證是一個良策. 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆陜西省西安一中等八校高三下聯考】已知為正三角形內一點,且滿足,若的面積與的面積比值為3,則的值為（ ） A

14、．3 B． C．1 D．2 【答案】B 2．【20xx屆遼寧省沈陽東北育才學校高三上二模】已知非零向量滿足 ,若函數 在R 上存在極值,則和夾角的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,設和夾角為,因為有極值,所以,即,即,所以． 3．【20xx屆四川省成都市七中高三考試】在中,,且,點滿足,則（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B

15、 【解析】如下圖所示,過點作于,則,所以,故選B. 4．【20xx屆河北省衡水中學高三下學期一?！恳阎矫嬷苯亲鴺讼祪鹊膬蓚€向量,,且平面內的任一向量都可以唯一的表示成（為實數）,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 5．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】向量且,則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意得,因為,則,即,又,故選A． 6．【20xx屆重慶市巴蜀中學高三3月月考】已知是單位圓上的兩點,為圓心,且,是圓的一

16、條直徑,點在圓內,且滿足,則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為,所以,即,又,所以點在線段上,且,所以,又因為,所以,所以的最小值為,故選C. 7．【20xx屆福建省漳州市高三下學期第二次模擬】已知兩個單位向量,的夾角為,則下列結論不正確的是（ ） （A）在方向上的投影為 （B） （C） （D） 【答案】 8．【20xx屆河南省八市重點高中高三4月質檢】已知平面向量滿足,,則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答

17、案】D 【解析】如圖, 設由題意由 ,可知即,即,即,設,由可知即,由知,則,在和中,可知,又,則,將,代入, 當且僅當故,故選D 9．【20xx屆廣東省肇慶市高三上期末】設向量=（1,﹣2）,=（﹣3,2）,若表示向量3,2﹣,的有向線段首尾相接能構成三角形,則?=（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 【答案】B 10．【20xx屆四川省成都七中高三下學第三次周練】已知拋物線（）的焦點為,直線與該拋物線交于、兩點,是線段的中點,過作軸的垂線,垂足為,若,則的值為（ ） A． B． C．1

18、 D．2 【答案】B 【解析】如圖所示,設,則,聯立與消可得,而,由,可推得,聯立,可解得,故選B. 11．【20xx屆四川省成都七中高三下學第三次測試】已知點是邊長為2的正方形的內切圓內（含邊界）一動點,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 12．【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】設向量是相互垂直的單位向量,向量與垂直,則實數________． 【答案】 【解析】由于向量與垂直,所以,又因為向量是相互垂直的單位向量,所以,進而可得,故答案填. 13．【20xx屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研

19、二】在平面直角坐標系中,設點,,,,若不等式對任意實數都成立,則實數的最大值是 ． 【答案】 【解析】由題意得：, 對任意實數都成立,因此,即對任意實數都成立,即,對任意實數都成立,即,,即,實數的最大值是 14． 【20xx屆青海省平安一中高三4月月考】設為單位向量,①若為平面內的某個向量,則；②若與平行,則；③若與平行且,則.上述命題中,假命題個數是 ． 【答案】 15．【20xx屆河北省衡水中學高三下學期一?？荚嚒吭谥苯亲鴺讼抵?已知點和點,若點在的平分線上,且,則 . 【答案】 【解析】由題意得,,設與交于點,則,即分有

20、向線段所成的比為,所以,即,因為,所以,即點的坐標為. 16．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】已知向量是單位向量,向量,若,則,的夾角為__________. 【答案】 【名師原創(chuàng)測試篇】 1. 已知是以為圓心的單位圓上的動點,且,則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知,,所以,,故選． 2.已知、為平面向量,若與的夾角為,與的夾角為,則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖所示,,,在三角形中,由下正弦定理得,故選D 3. 的外接圓半徑為1,圓心為,

21、且,則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4. 若,均為單位向量,且,則,的夾角大小為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為,均為單位向量,,所以,所以,所以 ,因為與共線,所以,的夾角大小為.選C. 5．如圖,在中,,,,,則_____. 【答案】 【解析】在中,又正弦定理可得,可得,又因為 6． 如圖,在同一平面內,點位于兩平行直線的同側,且到的距離分別為1,3．點分別在,,則的最大值是 ． 【答案】 【解析】