4-6 矩形、菱形、正方形 五年中考薈萃

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1、4.6 矩形、菱形、正方形A 組 2015 年全國(guó)中考題組一、選擇題1(2015四川瀘州，6，3 分)菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是()A兩組對(duì)邊分別平行B兩組對(duì)角分別相等C對(duì)角線互相平分D對(duì)角線互相垂直解析 根據(jù)菱形的特殊性質(zhì)可知對(duì)角線互相垂直A不準(zhǔn)確，兩組對(duì)邊分別平行，兩者均有此性質(zhì)；B不準(zhǔn)確，兩組對(duì)角分別相等，兩者均有此性質(zhì)；C不準(zhǔn)確，對(duì)角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；D菱形的對(duì)角線互相垂直但平行四邊形卻無(wú)此性質(zhì)答案 D2(2015山東日照，6，3 分)小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件：ABBC，ABC90， ACBD， ACBD 中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使A

2、BCD 為正方形(如圖)，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是()ABCD解析 A 四邊形 ABCD 是平行四邊形， 當(dāng)ABBC 時(shí)， 平行四邊形 ABCD是菱形，當(dāng)ABC90時(shí)，菱形 ABCD 是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B 四邊形 ABCD 是平行四邊形， 當(dāng)ABC90時(shí)， 平行四邊形 ABCD是矩形，當(dāng) ACBD 時(shí)，這是矩形的性質(zhì)，無(wú)法得出四邊形 ABCD 是正方形，故此選項(xiàng)準(zhǔn)確；C四邊形 ABCD 是平行四邊形，當(dāng)ABBC 時(shí)，平行四邊形 ABCD 是菱形，當(dāng)ACBD 時(shí)，菱形 ABCD 是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D 四邊形 ABCD 是平行四邊形， 當(dāng)ABC90時(shí)， 平行四邊形 ABCD

3、是矩形，當(dāng)ACBD 時(shí)，矩形 ABCD 是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤答案 B3(2015山東青島，7，3 分)如圖，菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC，BD 相交于 O 點(diǎn)，E，F(xiàn) 分別是 AB，BC 邊上的中點(diǎn)，連結(jié) EF.若 EF 3，BD4，則菱形 ABCD的周長(zhǎng)為()A4B4 6C4 7D28解析 有三角形的中位線的性質(zhì)可得 AC2EF2 3，再由菱形的性質(zhì)可得OA 3，BO2，所以 AB （ 3）222 7，所以周長(zhǎng)4AB4 7.答案 C4(2015安徽，9，4 分)如圖，矩形 ABCD 中，AB8，BC4.點(diǎn) E 在邊 AB 上，點(diǎn) F 在邊 CD 上，點(diǎn) G，H 在對(duì)角線 AC 上若四邊形

4、 EGFH 是菱形，則 AE的長(zhǎng)是()A2 5B3 5C5D6解析 連結(jié) EF 交 AC 于 O， 由四邊形 EGFH 是菱形，得到 EFAC， OEOF， 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是矩形，得 到 B D 90 ， AB CD ， 通 過(guò) CFOAEO， 得到AOCO， 求出AO12AC2 5，根據(jù)AOEABC，即可得到結(jié)果答案 C5(2015重慶 B 卷，12，4 分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形 ABOC 的頂點(diǎn) O 在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊 BO 在x軸的負(fù)半軸上， BOC60， 頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，3 3)，反比例函數(shù) ykx的圖象與菱形對(duì)角線 AO 交D 點(diǎn)，連結(jié) BD，當(dāng) DBx 軸時(shí)，k

5、的值是()A6 3B6 3C12 3D12 3解析 首先過(guò)點(diǎn) C 作 CEx 軸于點(diǎn) E，由BOC60，頂點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(m，3 3)，可求得 OC 的長(zhǎng)，又由菱形 ABOC 的頂點(diǎn) O 在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊 BO 在 x軸的負(fù)半軸上，可求得 OB 的長(zhǎng)，且AOB30，繼而求得 DB 的長(zhǎng)，則可求得點(diǎn) D 的坐標(biāo)，又由反比例函數(shù) ykx的圖象與菱形對(duì)角線 AO 交 D 點(diǎn)，即可求得答案答案 D二、填空題6(2015湖北黃岡，12，3 分)如圖，在正方形 ABCD中， 點(diǎn) F為 CD 上一點(diǎn)， BF 與 AC 交于點(diǎn)E.若CBF20，則AED 等于_度解析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BAEDAE， 再利用

6、 SAS 證明ABE 與ADE 全等，再利用三角形的內(nèi)角和解答即可答案 657(2015山東濱州，14，4 分)如圖，菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 15，sinBAC35，則對(duì)角線 AC 的長(zhǎng)為_(kāi)解析 連結(jié) BD，交 AC 于點(diǎn) O，四邊形 ABCD 是菱形，ACBD.在 RtAOB 中，AB15，sinBAC35，sinBACBOAB35，BO9，AB2OB2AO2，AO AB2OB2 1529212，AC2AO24.答案248(2015四川宜賓，12，3)如圖，在菱形 ABCD 中，點(diǎn)P 是對(duì)角線 AC 上的一點(diǎn)， PEAB 于點(diǎn) E， 若 PE3，則點(diǎn) P 到 AD 的距離為_(kāi)解析由菱形的性

7、質(zhì)： “菱形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角”得 AC 平分DAB，PEAB 于點(diǎn) E，若 PE3，點(diǎn) P 到 AD 的距離PE3.答案39(2015山東日照，14，4 分)邊長(zhǎng)為 1 的一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形如圖擺放，則ABC 的面積為_(kāi)解析過(guò)點(diǎn) C 作 CD 和 CE 垂直正方形的兩個(gè)邊或其延長(zhǎng)線， 垂足分別為 D， E， 如圖， 則四邊形 DBEC是矩形，CEDB12，ABC 的面積1211214.答案14三、解答題10(2015浙江嘉興，19，8 分)如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 AB，BC 上，AFDE，AF和 DE 相交于點(diǎn) G.(1)觀察圖形，寫出圖中所有與AED 相

8、等的角；(2)選擇圖中與AED 相等的任意一個(gè)角， 并加以證明解(1)與AED 相等的角有：BFA，GAD，CDE；(2)選AEDBFA.證明：四邊形 ABCD 是正方形，DAEB90，DAAB.在 RtDAE 與 RtABF 中，DAAB，AFDE，RtDAERtABF.AEDBFA.11(2015浙江衢州，21，8 分)如圖 1，將矩形 ABCD 沿 DE 折疊，使頂點(diǎn) A 落在 DC 上的點(diǎn) A處，然后將矩形展平，沿 EF 折疊，使頂點(diǎn) A 落在折痕 DE上的點(diǎn) G 處，再將矩形 ABCD 沿 CE 折疊，此時(shí)頂點(diǎn) B 恰好落在 DE 上的點(diǎn)H 處，如圖 2.(1)求證：EGCH；(2)

9、已知 AF 2，求 AD 和 AB 的長(zhǎng)(1)證明由折疊知 AEADEG，BCCH.由矩形 ABCD 知 ADBC，EGCH.(2)解ADE45， FGEA90，AF 2.DG 2，DF2，AD2 2，由折疊知，12，34，2490，1390.1AFE90，3AFE.又AB90，由(1)知，AEBC，EFACEB，AFBE，ABAEBE2 2 222 2.B 組20142011 年全國(guó)中考題組一、選擇題1(2014重慶 B 卷，8，4 分)如圖，在矩形 ABCD 中，對(duì)角線 AC，BD 相交于點(diǎn) O，ACB30，則AOB 的大小為()A30B60C90D120解析由矩形的性質(zhì)可得ABC90，A

10、OOB，又ACB30，BAC60，AOB 是等邊三角形，AOB60.故選 B.答案B2(2014浙江寧波，6，4 分)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是 6 和 8，則此菱形的邊長(zhǎng)是()A10B8C6D5解析菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是 6 和 8， 對(duì)角線互相垂直平分， 菱形的邊長(zhǎng)為 32425，故選 D.答案D3(2014浙江寧波，11，4 分)如圖，正方形 ABCD 和正方形CEFG 中，點(diǎn) D 在 CG 上，BC1，CE3.H 是 AF 的中點(diǎn)，那么 CH 的長(zhǎng)是()A2.5B. 5C.322D2解析法一取 BE 的中點(diǎn) M，連結(jié) HM，四邊形 ABCD 和四邊形 CEFG為正方形，BC1，CE3，

11、ABBE，F(xiàn)EBE，ABFE，H 是 AF 的中點(diǎn)，HM12(ABEF)12(13)2， HMFE， HMBE.BM12(BCCE)2，CMBMBC211，在 RtHMC 中，HC HM2CM2 2212 5，故選 B.法二連結(jié) AC，CF，則ACBFCE45.ACF90.AC 2，CF3 2，AF （ 2）2（3 2）22 5，H 是 AF 的中點(diǎn)，HC12AF 5，故選 B.答案B4(2014山東青島，7，3 分)如圖，將矩形 ABCD沿 EF 折疊， 使頂點(diǎn) C 恰好落在 AB 邊的中點(diǎn) C上，若 AB6，BC9，則 BF 的長(zhǎng)為()A4B 3 2C4.5D5解析設(shè) BFx，則 CFCF

12、9x.C是 AB的中點(diǎn)，AB6，BC3.在 RtBFC中，BF2CB2CF2，32x2(9x)2，解得 x4.故選 A.答案A5(2013江蘇連云港，8，3 分)如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4， 點(diǎn) E 在對(duì)角線 BD 上， 且BAE22.5，EFAB，垂足為 F，則 EF 的長(zhǎng)為()A1B. 2C42 2D3 24解析由BAE22.5，ADB45，易知ADE 是等腰三角形，BEF是等腰直角三角形， 所以 DEAD4， BE4 24， 設(shè) EFx， 則 2x2(4 24)2，解得 x42 2，故選 C.答案C二、填空題6(2013江蘇宿遷，12，3 分)如圖，一個(gè)平行四邊形的活動(dòng)框架，對(duì)

13、角線是兩根橡皮筋若改變框架的形狀，則也隨之變化，兩條對(duì)角線長(zhǎng)度也在發(fā)生改變當(dāng)是_度時(shí)，兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等解析當(dāng)是 90時(shí)，平行四邊形框架是矩形，由矩形的性質(zhì)可知，對(duì)角線長(zhǎng)度相等答案907(2014浙江金華，15，3 分)如圖，矩形 ABCD 中，AB8，點(diǎn) E 是 AD 上的一點(diǎn)，有 AE4，BE 的垂直平分線交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，連結(jié) EF 交 CD 于點(diǎn) G，若 G 是 CD 的中點(diǎn)，則 BC 的長(zhǎng)是_解析因?yàn)?G 是 CD 的中點(diǎn)，所以 DGCG4.在DGE 與CGF 中，DGCF，DGCG，EGDFGC，所以DGECGF.所以 CFDE，F(xiàn)GEG.令 BCADx，則 CFDEx4

14、，所以 BF2x4，在 RtDGE中， 根據(jù)勾股定理可得 EG ED2DG2 （x4）242.又因?yàn)?HF 垂直平分 BE，所以 EFBF，BF2(2EG)2，所以(2x4)24(x4)242，解得 x7，故答案為 7.答案78(2013浙江舟山，16，4 分)如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 3，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 AB，BC 上，AEBF1，小球 P 從點(diǎn) E 出發(fā)沿直線向點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角， 當(dāng)小球 P 第一次碰到點(diǎn) E 時(shí)， 小球 P 所經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)解析依題意，得到右圖易發(fā)現(xiàn)小球是沿著 EFGHMNE 的軌跡來(lái)運(yùn)動(dòng)的，故需分別求出線段 E

15、F，F(xiàn)G，GH，HM，MN，NE 的長(zhǎng)度，同時(shí)通過(guò)觀察圖形，易得到 EFHM 5， GHEN125， FGMN325，當(dāng)小球 P 第一次碰到點(diǎn) E 時(shí)，小球 P 所經(jīng)過(guò)的路程為 6 5.答案6 59 (2013浙江麗水， 15， 4 分)如圖， 四邊形 ABCD與四邊形 AEFG 都是菱形，其中點(diǎn) C 在 AF上，點(diǎn) E，G 分別在 BC，CD 上，若BAD135，EAG75，則ABAE_解析作 EHAB 于 H，由對(duì)稱性知，圖形關(guān)于 AF 對(duì)稱，BAE DAG 12(BADEAG)30，B180BAD45.在 RtBHE 中，BBEH45，設(shè) BHx，則EHBHx，在 RtEHA 中，BAE

16、30，則 AE 2HE 2x ， AH AE2EH2（2x）2x2 3x.ABBHAHx 3x，故ABAEx 3x2x1 32.答案1 32三、解答題10(2014浙江嘉興，20，8 分)已知：如圖，在ABCD 中，O 為對(duì)角線 BD 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 的直線 EF 分別交 AD，BC 于 E，F(xiàn) 兩點(diǎn)，連結(jié)BE，DF.(1)求證：DOEBOF；(2)當(dāng)DOE 等于多少度時(shí)，四邊形 BFDE 為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由(1)證明四邊形 ABCD 是平行四邊形，BODO，ADBC.EDBFBO.O 為 BD 中點(diǎn)，BODO.在EOD 和FOB 中，EDOOBF，DOBO，EODFOB.DOEBOF(AS

17、A)(2)解當(dāng)DOE90時(shí)，四邊形 BFED 為菱形理由：DOEBOF，BFDE.又BFDE，四邊形 EBFD 是平行四邊形DOE90，即 EFBD.四邊形 BFED 為菱形11(2013山東濟(jì)寧，20，6 分)如圖 1，在正方形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是邊AD，DC 上的點(diǎn)，且 AFBE.(1)求證：AFBE；(2)如圖 2，在正方形 ABCD 中，M，N，P，Q 分別是邊 AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且 MPNQ.MP 與 NQ 是否相等？并說(shuō)明理由(1)證明設(shè) AF 與 BE 交于點(diǎn) G，四邊形 ABCD 是正方形，ABAD，BADD90，RtADF 中，F(xiàn)ADAFD90.AFBE，AGE90，在 RtAGE 中，F(xiàn)ADAEG90.AFDAEG.DAFABE.AFBE.(2)解MPNQ理由：過(guò)點(diǎn) A 作 AFMP 交 CD 于點(diǎn) F，過(guò)點(diǎn) B 作BENQ 交 AD 于 E，得到BEQN 和AFPM，AFMP，BENQ，由(1)得 AFBE，MPNQ.