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1、
高考理科數(shù)學(xué)考點分類自測：空間向量及其運算
一、選擇題
1．已知向量a＝(8，x，x)，b＝(x,1,2)，其中x＞0.若a∥b，則x的值為 ( )
A．8 B．4
C．2 D．0
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三個向量共面，則實數(shù)λ等于 ( )
A. B.
C. D.
3.如圖，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別為AB、A
2、D、DC的中點，則a2等于 ( )
A．2·
B．2 ·
C．2 ·
D．2 ·
4.已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別是邊OA、CB的中點，點G在線段MN上，且使MG＝2GN，則用向量 ， ， 表示向量 正確的是 ( )
A． ＝ ＋ ＋
B． ＝ ＋ ＋
C．＝ ＋ ＋
D． ＝ ＋ ＋
5．有以下命題：①如果向量a，b與任何向量不能構(gòu)成空間的一個基底，那么a，b的關(guān)系是不共線；②O，A，B，C為空間四點，且向量 ， ， 不構(gòu)成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面；③已知{
3、a，b，c}是空間的一個基底，則{a＋b，a－b，c}也是空間的一個基底．其中正確的命題是 ( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
6.二面角α－l－β為60°，A、B是棱l上的兩點，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，則CD的長為 ( )
A． 2a B.a
C．a(chǎn) D.a
二、填空題
7．若向量a＝(1，λ，2)， b＝(－2,1,1
4、)，a，b夾角的余弦值為，則λ＝________.8.已知空間四邊形OABC，點M、N分別是OA、BC的中點，且 ＝a， ＝b， ＝c，用a，b，c表示向量 ＝________.
9．給出命題：①若a與b共線，則a與b所在的直線平行；②若a與b共線，則存在唯一的實數(shù)λ，使b＝λa；③若A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點， ＝ ＋ ＋ ，則點M一定在平面ABC上，且在△ABC的內(nèi)部．其中真命題是________．三、解答題
10．設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a≠b，記|a－b|＝m，求a－b與x軸正方向的夾角的余弦值．
11.如圖
5、所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點．
(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的長．
12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點．
(1)求證：CE⊥A′D；
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．
詳解答案
一、選擇題
1．解析：a∥b且x＞0?存在λ＞0，使a＝λb?
(8，x，x)＝(λx，λ，2λ)??
答案：B
2．解析：由于a，b，c三個向量共面，所以存在實數(shù)
6、m，n使得c＝ma＋nb，即有，解得m＝，n＝，λ＝.
答案：D
3.解析：2 · ＝2·a·a·cos60°＝a2.
答案：B
4. 解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋(－ ＋ ＋ － )＝ ＋ ＋ .
答案：C
5．解析：對于①，“如果向量a，b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底，那么a，b的關(guān)系一定是共線”，所以①錯誤．②③正確．
答案：C
6. 解析：∵AC⊥l，BD⊥l，
∴〈 ， 〉＝60°，且 · ＝0， · ＝0，
∴ ＝ ＋ ＋ ，∴| |＝＝＝2a.
答案：A
二、填空題
7．解析：cos〈a，b〉＝＝＝，
解得λ＝1.
答案：1
8. 解析：
7、如圖， ＝( ＋ )
＝[( － )＋(－ )]
＝( ＋ －2 )
＝( ＋ － )
＝(b＋c－a)
答案：(b＋c－a)
9．解析：①中a與b所在的直線也有可能重合，故①是假命題；②中當(dāng)a＝0，b≠0時，找不到實數(shù)λ，使b＝λa，故②是假命題；可以證明③中A，B，C，M四點共面，因為
＋ ＋ ＝ ，等式兩邊同時加上 ，則( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＝0，即 ＋ ＋ ＝0， ＝－ － ，則 與 ， 共面，又M是三個有向線段的公共點，故A，B，C，M四點共面，所以M是△ABC的重心，所以點M在平面ABC上，且在△ABC的內(nèi)部，故③是真命題．
答案：③
三、解答題
8、10．解：取x軸正方向的任一向量c＝(x,0,0)(x＞0)，設(shè)所求夾角為α，
∵(a－b)·c＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)·(x,0,0)＝(a1－b1)x，
∴cos α＝＝＝.
故a－b與x軸正方向的夾角的余弦值為.
11. 解：(1)證明：設(shè) ＝p， ＝q， ＝r.
由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.
＝ － ＝( ＋ )－
＝(q＋r－p)，
∴ · ＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.
∴MN⊥AB.同理可證MN⊥CD.
(2)由(
9、1)可知 ＝(q＋r－p)，
∴| |2＝ 2＝(q＋r－p)2
＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝[a2＋a2＋a2＋2(－－)]
＝×2a2＝.
∴| |＝a.∴MN的長為a.
12．解：(1)證明：設(shè) ＝a， ＝b， ＝c，
根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴ ＝b＋c， ＝－c＋b－a.
∴ · ＝－c2＋b2＝0，
∴ ⊥ ，即CE⊥A′D.
(2) ＝－a＋c，∴| |＝|a|，| |＝|a|.
·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，
∴cos〈 ，〉＝＝.
即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.
新編高考數(shù)學(xué)考點分類自測 空間向量及其運算 理
