三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)版解析—— 專題06 數(shù)列

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1、三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)版解析第六章 數(shù)列 一、選擇題1. 【2014高考北京理第5題】設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】D【解析】試題分析：對等比數(shù)列，若，則當(dāng)時數(shù)列是遞減數(shù)列；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則滿足且，故當(dāng)“”是”數(shù)列為遞增數(shù)列的既不充分也不必要條件.故選C.考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)，充分條件與必要條件的判定，容易題.【名師點(diǎn)睛】本題考查充要條件，本題屬于基礎(chǔ)題，充要條件問題主要命題方法有兩種，一種為判斷條件是結(jié)論的什么條件？第二種是尋求結(jié)論成立的某種條件是什么？近幾

2、年高考充要條件命題以選填題為主，表面看很簡單。但由于載體素材豐富，幾何、代數(shù)、三角可以隨意選材，所以涉及知識較多，需要扎實(shí)的基本功，本題以數(shù)列有關(guān)知識為載體，考查了數(shù)列的有關(guān)知識和充要條件.2. 【2015高考北京，理6】設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則【答案】C考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問題，重 點(diǎn)是對知識本質(zhì)的考查.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和比較法，本題屬于基礎(chǔ)題，由于前兩個選項(xiàng)無法使用公式直接做出判斷，因此學(xué)生可以利用舉反例的方法進(jìn)行排除，這需要學(xué)生不能死套公式，要靈活應(yīng)對，作差法是比

3、較大小常規(guī)方法，對判斷第三個選擇只很有效.3. 【2016高考新課標(biāo)1卷】已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,則 （ ）（A）100 （B）99 （C）98 （D）97【答案】C【解析】試題分析：由已知,所以故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列及其運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.4. 【2016高考浙江理數(shù)】如圖，點(diǎn)列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且，（）.若（ ）A是等差數(shù)列

4、B是等差數(shù)列C是等差數(shù)列 D是等差數(shù)列【答案】A【解析】考點(diǎn)：等差數(shù)列的定義【思路點(diǎn)睛】先求出的高，再求出和的面積和，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義可得為定值，即可得是等差數(shù)列5. 【2016年高考四川理數(shù)】某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( )（參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年【答案】B【解析】試題分析：設(shè)第年的研發(fā)投資資金為，則，

5、由題意，需，解得，故從2019年該公司全年的投入的研發(fā)資金超過200萬，選B.考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際問題中平均增長率問題可以看作是等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時要注意把哪個作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可解得結(jié)論6. 【2015高考浙江，理3】已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項(xiàng)和是，若，成等比數(shù)列，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B.【解析】等差數(shù)列，成等比數(shù)列，故選B.【考點(diǎn)定位】1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；2.等比數(shù)列的概念【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的概念等知識點(diǎn)，同時考查了

6、學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于容易題，將，表示為只與公差有關(guān)的表達(dá)式，即可求解，在解題過程中要注意等等差數(shù)列與等比數(shù)列概念以及相關(guān)公式的靈活運(yùn)用.7.【2014高考重慶理第2題】對任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是( )成等比數(shù)列 成等比數(shù)列成等比數(shù)列 成等比數(shù)列【答案】D【解析】試題分析：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則所以，一定成等比數(shù)列，故選D.考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式；2、等比中項(xiàng).【名師點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，利用下標(biāo)和相等的兩項(xiàng)的積相等更能快速作答.8. 【2015高考重慶，理2】在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=（）A、-1

7、B、0 C、1 D、6【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，選B.【考點(diǎn)定位】本題屬于數(shù)列的問題，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】本題可以直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，也可應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，主要考查學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力.是基礎(chǔ)題.9.【2014福建，理3】等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則( ) 【答案】C【解析】試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及簡單的計(jì)算問題，等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量

8、的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.10.【2015高考福建，理8】若 是函數(shù) 的兩個不同的零點(diǎn)，且 這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)【名師點(diǎn)睛】本題以零點(diǎn)為載體考查等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)，其中分類討論和邏輯推理是解題核心三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項(xiàng)與項(xiàng)之間是有順序的，但是等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)是唯一的，故可以利用中項(xiàng)進(jìn)行討論，屬于難題11. 【2014遼寧理8】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ）A B C

9、 D【答案】C【解析】試題分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則，又由于為遞減數(shù)列，所以，故選C.考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列. 【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵，是寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)，利用是遞減數(shù)列，確定得到，得到結(jié)論.本題是一道基礎(chǔ)題.在考查等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識的同時，考查考生的計(jì)算能力.12. 【2015課標(biāo)2理4】已知等比數(shù)列滿足a1=3， =21，則 ( )A21 B42 C63 D84【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，又因?yàn)?，所以，解得，所以，故選B【考點(diǎn)定位】等比數(shù)列通項(xiàng)公式和性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，通過求等比數(shù)列的基

10、本量，利用通項(xiàng)公式求解，若注意到項(xiàng)的序號之間的關(guān)系，則可減少運(yùn)算量，屬于基礎(chǔ)題二、填空題1. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，nN*，則a1= ，S5= .【答案】 【解析】試題分析：，再由，又，所以考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的前項(xiàng)和【易錯點(diǎn)睛】由轉(zhuǎn)化為的過程中，一定要檢驗(yàn)當(dāng)時是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯誤2. 【2014高考北京理第12題】若等差數(shù)列滿足，則當(dāng) 時，的前項(xiàng)和最大.【答案】考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，前項(xiàng)和的最值，容易題.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，本題屬于基礎(chǔ)題，由于題目提供a7

11、a8a90，a7a100，推出，從而說明數(shù)列an的前8項(xiàng)和最大.這個題目命題角度新穎，不需死套公式，重視對知識的理解和對知識本質(zhì)的考查.3.【2016年高考北京理數(shù)】已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則_.【答案】6【解析】試題分析：是等差數(shù)列，故填：6考點(diǎn)：等差數(shù)列基本性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】在等差數(shù)列五個基本量，中，已知其中三個量，可以根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計(jì)算時須注意整體代換及方程思想的應(yīng)用.4. 【2014高考廣東卷.理.13】若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 .【答案】.【解析】由題意知，所以，因此，因此.【考點(diǎn)定位】本題考

12、查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對數(shù)的基本運(yùn)算，屬于中等偏難題.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的基本運(yùn)算，屬于中等偏難題解題時要抓住關(guān)鍵字眼“正數(shù)”，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點(diǎn)是等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的基本運(yùn)算，即等比數(shù)列中，若（、），則，（，）5. 【2015高考廣東，理10】在等差數(shù)列中，若，則= .【答案】【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，所以，故應(yīng)填入【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)及其簡單運(yùn)算和運(yùn)算求解能力，屬于容易題，解答此題關(guān)鍵在于熟記，及其熟練運(yùn)用6. 【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則

13、a1a2 an的最大值為 【答案】考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】高考中數(shù)列客觀題大多具有小、巧、活的特點(diǎn),在解答時要注意方程思想及數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用,盡量避免小題大做. 7. 【2016高考江蘇卷】已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.若，則的值是 .【答案】【解析】由得，因此考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量，對于特殊數(shù)列，一般采取待定系數(shù)法，即列出關(guān)于首項(xiàng)及公差的兩個獨(dú)立條件即可.為使問題易于解決，往往要利用等差數(shù)列相關(guān)性質(zhì)，如及等差數(shù)列廣義通項(xiàng)公式8. 【2014江蘇，理7】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值是 .【答案】4【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?，則由得，解得，所以【考點(diǎn)

14、定位】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【名師點(diǎn)晴】在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算9. 【2015江蘇高考，11】數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 【答案】【解析】由題意得：所以【考點(diǎn)定位】數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和【名師點(diǎn)晴】由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時，若遞推關(guān)系為an

15、1anf(n)或an1f(n)an，則可以分別通過累加、累乘法求得通項(xiàng)公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意：有的問題也可利用構(gòu)造法，即通過對遞推式的等價變形，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求通項(xiàng)數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法，并項(xiàng)求和法等，可根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)進(jìn)行選用.10. 【2015高考陜西，理13】中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為 【答案】【解析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，則，所以，故該數(shù)列的首項(xiàng)為，所以答案應(yīng)填：【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是等差中項(xiàng)，屬于容易題解題時一定要抓住重要字眼“中位數(shù)”和“等差

16、數(shù)列”，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點(diǎn)是等差中項(xiàng)的概念，即若，成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項(xiàng)，即11.【2015高考新課標(biāo)2，理16】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則_【答案】【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項(xiàng)公式，要搞清楚項(xiàng)與的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為與的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷是等差數(shù)列，屬于中檔題12. 【2014，安徽理12】數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則_【答案】【解析】試題分析：成等比，令，則，即，即，考點(diǎn)：1等差，等比數(shù)列的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】對于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問題，要做到：熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是，則

17、（等差數(shù)列），（等比數(shù)列）；注意在平時提高自己的運(yùn)算求解能力，尤其是換元法在計(jì)算題中的應(yīng)用；要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式等.13. 【2015高考安徽，理14】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于 .【答案】【考點(diǎn)定位】1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.【名師點(diǎn)睛】對于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問題，要做到：熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是，則（等差數(shù)列），（等比數(shù)列）；注意題目給定的限制條件，如本題中“遞增”，說明；要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式等.14. 【2014天津，理11】設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和若成等比數(shù)列，則的值

18、為_【答案】【解析】試題分析：依題意得，解得考點(diǎn)：1等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，本題屬于基礎(chǔ)題，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式表示出然后依據(jù)成等比數(shù)列，列出方程求出首項(xiàng).這類問題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識，大多利用通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式通過列方程或方程組就可以解出.15. 【2015湖南理14】設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，成等差數(shù)列，則 .【答案】.【解析】試題分析：，成等差數(shù)列，又等比數(shù)列，.【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比

19、數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.三、解答題1. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如（）求；（）求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和【答案】（）， ；（）1893.【解析】試題分析：（）先用等差數(shù)列的求和公式求公差，從而求得通項(xiàng)，再根據(jù)已知條件表示不超過的最大整數(shù)，求；（）對分類討論，再用分段函數(shù)表示，再求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和試題解析：（）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得所以的通項(xiàng)公式為（）因?yàn)樗詳?shù)列的前項(xiàng)和為考點(diǎn)：等差數(shù)列的的性質(zhì)，前項(xiàng)和公式，對數(shù)的運(yùn)算.【名師點(diǎn)睛】解答新穎性的數(shù)學(xué)題，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”；二是通過深入分

20、析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，以“新”制“新”，應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點(diǎn)和生長點(diǎn).于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，與dm11矛盾所以對于任意n1，有an2，即非負(fù)整數(shù)列an的各項(xiàng)只能為1或2.因?yàn)閷θ我鈔1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此對于任意正整數(shù)n，存在m滿足mn，且am1，即數(shù)列an有無窮多項(xiàng)為1.考點(diǎn)定位：本題考查新定義信息題，考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力?！久麕燑c(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學(xué)生對于新的信息的的理解和接受能力，題目給

21、出新的定義：an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an1，an2，的最小值記為Bn，dnAnBn ,對于數(shù)列an給出這樣一個新的定義，首先要理解定義，題目的第一步，前一項(xiàng)的最大值為2，第一項(xiàng)后面的項(xiàng)的最小值為1，即，則，同理求出，通過第一步的計(jì)算應(yīng)用新定義，加深對定義的認(rèn)識進(jìn)入第二步就容易一些了，第二步證明充要條件、第三步的證明就是在第一步的基礎(chǔ)上的深化研究，畢竟是一個新的信息題，在一個全新的環(huán)境下進(jìn)行思維，需要在原有的知識儲備，還需要嚴(yán)密的邏輯思維和分析問題與解決問題的能力，有得分的機(jī)會，但得滿分較難.2. 【2014高考廣東卷.理.19】 (本小題滿分

22、14分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且.(1)求.的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)，；(2). (2)由題意得，由(1)知，猜想，假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，則有，則當(dāng)時，有，這說明當(dāng)時，猜想也成立，由歸納原理知，對任意，.【考點(diǎn)定位】本題考查利用與的關(guān)系來考查數(shù)列的通項(xiàng)的求解，主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中等題.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中等題本題通過計(jì)算，的值猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，可得數(shù)列通項(xiàng)公式用數(shù)學(xué)歸納法證明時一定要注意當(dāng)時猜想也成立的推理，否則很容易出現(xiàn)錯誤3. 【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn=3

23、n2+8n，是等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令 求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（）；（）.（）由（）知，又，得，兩式作差，得所以考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和；3.“錯位相減法”.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、等比數(shù)列的求和、數(shù)列求和的“錯位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計(jì)算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯點(diǎn)是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù).本題能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.4.【2015高考廣東，理21】數(shù)列滿足， (1)

24、求的值； (2) 求數(shù)列前項(xiàng)和； (3) 令，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】（1）依題， ；（2）依題當(dāng)時， ，又也適合此式， ， 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故；（3）依題由知， ，記，則， 在上是增函數(shù)，又即，又且時， 即， ，即有， ，即【考點(diǎn)定位】前項(xiàng)和關(guān)系求項(xiàng)值及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前項(xiàng)和，不等式放縮【名師點(diǎn)睛】本題主要考查前項(xiàng)和關(guān)系求項(xiàng)值及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前項(xiàng)和，不等式放縮等，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用和運(yùn)算求解能力，屬于高檔題，此題（1）（2）問難度不大，但第（3）問難度較大，首先應(yīng)能求得，并由得到，再用構(gòu)造函數(shù)（）結(jié)合不等（）放縮方法或用數(shù)學(xué)歸

25、納法證明5. 【 2014湖南20】已知數(shù)列滿足,.(1)若為遞增數(shù)列,且成等差數(shù)列,求的值;(2)若,且是遞增數(shù)列,是遞減數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【答案】(1) (2) 或【解析】試題解析:(1)因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列,所以,則,分別令可得,因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以或,當(dāng)時,數(shù)列為常數(shù)數(shù)列不符合數(shù)列是遞增數(shù)列,所以.(2)由題可得,因?yàn)槭沁f增數(shù)列且是遞減數(shù)列,所以且,則有,因?yàn)?2)由題可得,因?yàn)槭沁f增數(shù)列且是遞減數(shù)列,所以且,兩不等式相加可得,又因?yàn)?所以,即,同理可得且,所以,則當(dāng)時,這個等式相加可得.當(dāng)時, ,這個等式相加可得,當(dāng)時,符合,故綜上.【考點(diǎn)定位】疊加法 等差數(shù)列 等比數(shù)列 數(shù)列

26、單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，不等式的性質(zhì)等，同時考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力本題設(shè)計(jì)巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的好題，難度很大6. 【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）記.對數(shù)列和的子集T，若,定義;若，定義.例如：時，.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；（3）設(shè),求證：.【答案】（1）（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列

27、通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)公式（2）數(shù)列不等式證明，一般是以算代征，而非特殊數(shù)列一般需轉(zhuǎn)化到特殊數(shù)列，便于求和，本題根據(jù)子集關(guān)系，先進(jìn)行放縮為一個等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式得（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)則因此由，因此中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得，（2）為（3）搭好臺階，只不過比較隱晦，需明晰其含義.（3）下面分三種情況證明.若是的子集，則.若是的子集，則.若不是的子集，且不是的子集.令，則，.于是，進(jìn)而由，得.設(shè)是中的最大數(shù)，為中的最大數(shù)，則.由（2）知，于是，所以，即.又，故，從而，故，所以，即.綜合得，. 考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和【名師點(diǎn)睛】本題三個難點(diǎn)

28、，一是數(shù)列新定義，利用新定義確定等比數(shù)列首項(xiàng)，再代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解，二是利用放縮法求證不等式，放縮目的，是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列性質(zhì)，以算代征，三是結(jié)論含義的應(yīng)用，實(shí)質(zhì)又是一個新定義，只不過是新定義的性質(zhì)應(yīng)用.7.【2014江蘇，理20】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”.（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：是“數(shù)列”.（2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差，若是“數(shù)列”，求的值；（3）證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“數(shù)列” 和，使得成立.【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析【解析】（1）首先，當(dāng)時，所以，所以對任意的，是數(shù)列

29、中的項(xiàng)，因此數(shù)列是“數(shù)列”（2）由題意，數(shù)列是“數(shù)列”，則存在，使，由于，又，則對一切正整數(shù)都成立，所以（3）首先，若（是常數(shù)），則數(shù)列前項(xiàng)和為是數(shù)列中的第項(xiàng)，因此是“數(shù)列”，對任意的等差數(shù)列，（是公差），設(shè)，則，而數(shù)列，都是“數(shù)列”，證畢【考點(diǎn)定位】（1）新定義與數(shù)列的項(xiàng)，（2）數(shù)列的項(xiàng)與整數(shù)的整除；（3）構(gòu)造法【名師點(diǎn)晴】在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解；解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向、形成解

30、題策略.8. 【2015江蘇高考，20】（本小題滿分16分）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列（1）證明：依次成等比數(shù)列；（2）是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；（3）是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由.【答案】（1）詳見解析（2）不存在（3）不存在【解析】試題分析（1）根據(jù)等比數(shù)列定義只需驗(yàn)證每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值都為同一個不為零的常數(shù)即可（2）本題列式簡單，變形較難，首先令將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，再分別求解兩個高次方程，利用消最高次的方法得到方程：，無解，所以不存在（3）同（2）先令將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，為降次，所以兩邊取對數(shù)，消去n,k得到關(guān)于t的一元方程，從而將方程的

31、解轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點(diǎn)情況，這個函數(shù)需要利用二次求導(dǎo)才可確定其在上無零點(diǎn)試題解析：（1）證明：因?yàn)椋?，）是同一個常數(shù)，所以，依次構(gòu)成等比數(shù)列（2）令，則，分別為，（，）假設(shè)存在，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且令，則，且（，），化簡得（），且將代入（）式，則顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列化簡得，且再將這兩式相除，化簡得（）令，則令，則令，則令，則由，知，在和上均單調(diào)故只有唯一零點(diǎn)，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立所以不存在，及正整數(shù)，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列【考點(diǎn)定位】等差、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，函數(shù)與方程【名師點(diǎn)晴】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題

32、，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究；如果兩個數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解9. 【2015高考山東，理18】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（I）求的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.【答案】（I）; （II）.【解析】（I）因?yàn)?所以， ，故 當(dāng) 時， 此時， 即 所以， （II）因?yàn)?，所以 當(dāng) 時， 所以 當(dāng) 時， 所以兩式相減，得 所以經(jīng)檢驗(yàn)， 時也適合，綜上可得： 【考點(diǎn)定位】1、數(shù)列前 項(xiàng)和 與通項(xiàng) 的關(guān)系；2、特殊數(shù)列的求和問題.

33、【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的基本概念與運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，思維的嚴(yán)密性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，在利用與通項(xiàng)的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況，錯位相減不法雖然思路成熟但也對學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高的要求.10. 【2016高考天津理數(shù)】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對任意的是和的等差中項(xiàng).()設(shè)，求證：是等差數(shù)列；()設(shè) ，求證：【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】試題分析：（）先根據(jù)等比中項(xiàng)定義得：，從而，因此根據(jù)等差數(shù)列定義可證：（） 對數(shù)列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡，再利用裂項(xiàng)相消法求和，易得結(jié)論.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比中項(xiàng)、分組求和、裂項(xiàng)相

34、消求和【名師點(diǎn)睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和11.【2014山東.理19】（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（I）.（II），（或）【解析】（II）當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，所以，（或）試題解析：(I）因?yàn)?，由題意，得，解得，所以.（II）當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，所以，（或）【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列及等比數(shù)列的

35、求和公式、“裂項(xiàng)相消法”等.求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要是要運(yùn)用已知條件，建立首項(xiàng)a1，公差為d的方程組.數(shù)列的求和問題，基本解法有“分組求和法”、“錯位相減法”、“裂項(xiàng)相消法”.本題是一道能力題.在考查等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識、基本方法的同時，考查考生的計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想及分類討論思想.12. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中（I）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（II）若 ，求【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）首先利用公式，得到數(shù)列的遞推公式，然后通過變換結(jié)合等比數(shù)列的定義可證；（）利用（）前項(xiàng)和化為的表達(dá)式，結(jié)合的值，建立方程可求得的值（）由（）得，由得，即，解得

36、考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和為關(guān)系；2、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)及前項(xiàng)和為【方法總結(jié)】等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數(shù)）；（2）中項(xiàng)法，即證明根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解13. 【2015高考陜西，理21】（本小題滿分12分）設(shè)是等比數(shù)列，的各項(xiàng)和，其中，（I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)（記為），且；（II）設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并加以證明【答案】（I）證明見解析；（II）當(dāng)時， ，當(dāng)時，證明見解析【解析】試題解析：（I），則所以在內(nèi)至少存在一個零點(diǎn).又，故在內(nèi)

37、單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn).因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，即，故.(II)解法一：由題設(shè)，設(shè)當(dāng)時，當(dāng)時，若，若，所以在上遞增，在上遞減，所以，即.綜上所述，當(dāng)時, ；當(dāng)時解法二 由題設(shè)，當(dāng)時, 當(dāng)時, 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.當(dāng)時, 所以成立.假設(shè)時，不等式成立，即.那么，當(dāng)時，.又令，則所以當(dāng),在上遞減；當(dāng),在上遞增.所以，從而故.即，不等式也成立.所以，對于一切的整數(shù)，都有.解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，所以,令當(dāng)時, ,所以.當(dāng)時, 而，所以，.若，當(dāng)，從而在上遞減，在上遞增.所以，所以當(dāng)又，故綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時.考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式；2、零點(diǎn)定理；3、等差數(shù)列

38、的前項(xiàng)和公式；4、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、零點(diǎn)定理、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”，否則很容易出現(xiàn)錯誤證明函數(shù)僅有一個零點(diǎn)的步驟：用零點(diǎn)存在性定理證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性；用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點(diǎn)的唯一性有關(guān)函數(shù)的不等式，一般是先構(gòu)造新函數(shù)，再求出新函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域即可14. 【2014新課標(biāo)，理17】（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足=1，.（）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（）證明：.【解析】：（）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3，所以，解得.【考點(diǎn)

39、定位】1.等比數(shù)列；2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；3.放縮法.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的概念，遞推數(shù)列，等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，放縮法證明不等式，屬于中檔題目，本題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的基本數(shù)學(xué)思想方法，注意放縮的適度.15【2015高考四川，理16】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.【解析】（1）由已知，有，即.從而.又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即.所以，解得.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.故.【考點(diǎn)定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等

40、基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】凡是有與間的關(guān)系，都是考慮消去或（多數(shù)時候是消去，得與間的遞推關(guān)系）.在本題中，得到與間的遞推關(guān)系式后，便知道這是一個等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考內(nèi)容，多屬容易題，考生應(yīng)立足得滿分.16. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列滿足，（I）證明：，；（II）若，證明：，【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析【解析】試題分析：（I）先利用三角形不等式得，變形為，再用累加法可得，進(jìn)而可證；（II）由（I）可得，進(jìn)而可得，再利用的任意性可證試題解析：（I）由得，故，所以，因此（II）任取，由（I）知，對于任意，故從而

41、對于任意，均有由的任意性得 否則，存在，有，取正整數(shù)且，則，與式矛盾綜上，對于任意，均有考點(diǎn)：1、數(shù)列；2、累加法；3、證明不等式【思路點(diǎn)睛】（I）先利用三角形不等式及變形得，再用累加法可得，進(jìn)而可證；（II）由（I）的結(jié)論及已知條件可得，再利用的任意性可證17. 【2014四川，理19】設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）.（1）若，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前 項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：據(jù)題設(shè)可得，.（1），由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得.（2）首先可求出在處的切線為，令得，由此可求出，.所以，這個數(shù)列用

42、錯位相消法可得前 項(xiàng)和.試題解答：據(jù)題設(shè)可得.（1），所以.（2）將求導(dǎo)得，所以在處的切線為，令得，所以，.所以，其前項(xiàng)和兩邊乘以2得：得：，所以.【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列與等比數(shù)列.【名師點(diǎn)睛】已知數(shù)列是等差數(shù)列，只需求得首項(xiàng)與公差即可；考生在解決此題時，都知道利用錯位相減法求解，也都能寫出此題的解題過程，但由于步驟繁瑣、計(jì)算量大導(dǎo)致了漏項(xiàng)或添項(xiàng)以及符號出錯等兩邊乘公比后，對應(yīng)項(xiàng)的冪指數(shù)會發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對齊，這樣有一個式子前面空出一項(xiàng)，另外一個式子后面就會多了一項(xiàng)，兩項(xiàng)相減，除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，剩下的項(xiàng)是一個等比數(shù)列18.【2015高考新課標(biāo)1，理17】為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知0，=

43、.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè) ,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）先用數(shù)列第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列的遞推公式，可以判斷數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）根據(jù)（）數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用拆項(xiàng)消去法求其前項(xiàng)和.試題解析：（）當(dāng)時，因?yàn)?，所?3，當(dāng)時，=，即，因?yàn)?，所?2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以=；（）由（）知，=，所以數(shù)列前n項(xiàng)和為= =.【考點(diǎn)定位】數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；拆項(xiàng)消去法【名師點(diǎn)睛】已知數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系，求數(shù)列通項(xiàng)公式，常用將所給條件化為關(guān)于前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項(xiàng)的

44、遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式.19. 【2014課標(biāo)，理17】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中為常數(shù)，（I）證明：；（II）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由.【答案】（I）詳見解析；（II）存在，.【解析】因此存在，使得為等差數(shù)列【考點(diǎn)定位】1、遞推公式；2、數(shù)列的通項(xiàng)公式；3、等差數(shù)列【名師點(diǎn)睛】本題考查了遞推公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式和概念、等差數(shù)列的充要條件等基礎(chǔ)知識與基本技能方法, 考查了考生運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)知識解題的能力和觀察、分析、歸納、猜想及用數(shù)學(xué)歸納法證明的能力，同時考查了

45、考生的推理能力和計(jì)算能力、分類討論的思想方法.20. 【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分） 設(shè)數(shù)列A： ， , ().如果對小于()的每個正整數(shù)都有 ，則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合.（1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得，則 ；（3）證明：若數(shù)列A滿足- 1（n=2,3, ,N）,則的元素個數(shù)不小于 -.【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】試題分析：（1）關(guān)鍵是理解G時刻的定義，根據(jù)定義即可寫出的所有元素；（2）要證，即證中含有一元素即可；（3）當(dāng)時，結(jié)論成立.只要證明當(dāng)

46、時仍然成立即可.試題解析：（1）的元素為和.（2）因?yàn)榇嬖谑沟?，所?記，則，且對任意正整數(shù).因此，從而.（3）當(dāng)時，結(jié)論成立.以下設(shè).由（）知.設(shè)，記.則.對，記.如果，取，則對任何.從而且.又因?yàn)槭侵械淖畲笤?，所?從而對任意，特別地，.對.因此.所以.考點(diǎn)：數(shù)列、對新定義的理解.【名師點(diǎn)睛】數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題要注意分析題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型，數(shù)列的綜合問題涉及到的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如：求和或應(yīng)用)、特殊到一般思想(如：求通項(xiàng)公式)、分類討論思想(如：等比數(shù)列求和，或)等.21. 【2014年.浙江卷.理19】（本題滿分14分）已

47、知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且（1） 求與；（2） 設(shè)。記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（i）求；（ii）求正整數(shù)，使得對任意，均有【答案】（），；（）（i）；（ii）【解析】試題分析：（）求與得通項(xiàng)公式，由已知得，再由已知得，又因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，即可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由數(shù)列的通項(xiàng)公式及，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；（）（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和，首先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，將，代入整理得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）求正整數(shù)，使得對任意，均有，即求數(shù)列的最大項(xiàng)，即求數(shù)列得正數(shù)項(xiàng)，由數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷出，當(dāng)時，從而可得對任意恒有，即試題點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列與等比的列得概念，通項(xiàng)公式

48、，求和公式，不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力【名師點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項(xiàng)求和法和猜想證明的思想，證明可以用二項(xiàng)式定理，還可以用數(shù)學(xué)歸納法本題計(jì)算量較大，思維層次高，要求學(xué)生有較高的分析問題解決問題的能力本題屬于難題解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項(xiàng)分別抽出來，研究這些項(xiàng)與序號之間的關(guān)系；如果兩個數(shù)列是通過運(yùn)算綜合在一起的，就要從分析運(yùn)算入手，把兩個數(shù)列分割開，再根據(jù)兩個數(shù)列各自的特征進(jìn)行求解解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要

49、靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了22. 【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明（）.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知，從而得證；（2）由和得，從而可得，即可得證.試題解析：（1）由題意得，即，由得，由得，即；（2）由題意得，由和得，因此，由得.【考點(diǎn)定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查

50、了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點(diǎn)，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞推公式作等價變形，即可得到，再結(jié)合已知條件即可得證，第二小問具有較強(qiáng)的技巧性，首先根據(jù)遞推公式將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達(dá)式，再結(jié)合已知條件得到的取值范圍即可得證，此次數(shù)列自2008年之后作為解答題壓軸題重出江湖，算是一個不大不小的冷門（之前浙江各地的?？冀獯痤}壓軸題基本都是以二次函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題），由于數(shù)列綜合題常與不等式，函數(shù)的最值，歸納猜想，分類討論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，技巧性比較強(qiáng)，需要平時一定量的訓(xùn)練與積累，在后續(xù)復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.23. 【2014高考重慶理第22題】（本小題滿分12分，（）小問4分，（）小

51、問8分）設(shè)（）若，求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，問：是否存在實(shí)數(shù)使得對所有成立？證明你的結(jié)論.【答案】（）；（）存在，【解析】試題解析：解: （）解法一：再由題設(shè)條件知從而是首項(xiàng)為0公差為1的等差數(shù)列，故=，即解法二：可寫為.因此猜想.下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng)時結(jié)論顯然成立.假設(shè)時結(jié)論成立，即.則這就是說，當(dāng)時結(jié)論成立.所以（）解法一：設(shè)，則.令，即，解得.下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命：當(dāng)時，所以，結(jié)論成立.假設(shè)時結(jié)論成立，即易知在上為減函數(shù)，從而即再由在上為減函數(shù)得.故，因此，這就是說，當(dāng)時結(jié)論成立.綜上，符合條件的存在，其中一個值為.解法二：設(shè)，則先證：當(dāng)時，結(jié)論明顯成立.假設(shè)時結(jié)論成立，即易

52、知在上為減函數(shù)，從而即這就是說，當(dāng)時結(jié)論成立，故成立.再證：當(dāng)時，有，即當(dāng)時結(jié)論成立假設(shè)時，結(jié)論成立，即由及在上為減函數(shù)，得這就是說，當(dāng)時成立，所以對一切成立.由得即因此又由、及在上為減函數(shù)得即所以解得.綜上，由知存在使對一切成立.考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；2、等差數(shù)列；3、函數(shù)思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用.4、數(shù)學(xué)歸納法.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等差數(shù)列，函數(shù)思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法，屬于難題，解題時要認(rèn)真審題及等價轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的分析解決問題的能力24. 【2015高考重慶，理22】在數(shù)列中，（1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若證明：【答案】（

53、1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由于，因此把已知等式具體化得，顯然由于，則（否則會得出），從而，所以是等比數(shù)列，由其通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）本小題是數(shù)列與不等式的綜合性問題，數(shù)列的遞推關(guān)系是可變形為,由于，因此，于是可得，即有，又，于是有 ，這里應(yīng)用了累加求和的思想方法，由這個結(jié)論可知，因此，這樣結(jié)論得證，本題不等式的證明應(yīng)用了放縮法.(1)由,有若存在某個，使得，則由上述遞推公式易得，重復(fù)上述過程可得，此與矛盾，所以對任意,.從而，即是一個公比的等比數(shù)列.故.(2)由，數(shù)列的遞推關(guān)系式變?yōu)樽冃螢?由上式及，歸納可得因?yàn)?，所以對求和得另一方面，由上已證的不等式知得綜上：【考點(diǎn)定

54、位】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.，考查探究能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識【名師點(diǎn)晴】數(shù)列是考查考生創(chuàng)新意識與實(shí)踐精神的最好素材從近些年的高考試題來看，一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的數(shù)列與方程、函數(shù)(包括三角函數(shù))、不等式以及導(dǎo)數(shù)等的綜合性試題不斷涌現(xiàn)，這部分試題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查綜合運(yùn)用知識的能力，突出知識的融會貫通數(shù)列的問題難度大，往往表現(xiàn)在與遞推數(shù)列有關(guān)，遞推含義趨廣，不僅有數(shù)列前后項(xiàng)的遞推，更有關(guān)聯(lián)數(shù)列的遞推，更甚的是數(shù)列間的“復(fù)制”式遞推；從遞推形式上看，既有常規(guī)的線性遞推，還有分式、三角、分段、積(冪)等形式在考查通性通法的同時

55、，突出考查思維能力、代數(shù)推理能力、分析問題解決問題的能力本題第（1）小題通過遞推式證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得通項(xiàng)，第（2）小題把數(shù)列與不等式結(jié)合起來，利用數(shù)列的遞推式證明數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，利用放縮法證明不等式，難度很大25. 【2015高考安徽，理18】設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，證明.【答案】（）；（）.【解析】試題解析：（）解：，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.從而切線方程為.令，解得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（）證：由題設(shè)和（）中的計(jì)算結(jié)果知.當(dāng)時，.當(dāng)時，因?yàn)?，所?綜上可得對任意的，均有.【考點(diǎn)定位】1.曲線的切線方程；2.數(shù)列的

56、通項(xiàng)公式；3.放縮法證明不等式.【名師點(diǎn)睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，不等式是深刻認(rèn)識函數(shù)與數(shù)列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點(diǎn)，且數(shù)列的重心已經(jīng)偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項(xiàng)，此類問題在2010年、2012年、2013年安徽高考解答題中都曾考過.對于數(shù)列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進(jìn)行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和（或求積），再放縮；一種是不能直接求和（或求積），需要放縮后才能求和（或求積），求和（或求積）后再進(jìn)行放縮.在后一種類型中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項(xiàng)開始放縮.26. 【2014，安徽理21】（本小題

57、滿分13分）設(shè)實(shí)數(shù)，整數(shù)，（I）證明：當(dāng)且時，；（II）數(shù)列滿足，證明：【答案】（I）證明：當(dāng)且時，；（II）【解析】試題分析：（I）證明原不等式成立，可以用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時，當(dāng)，由成立得出當(dāng)時，綜合以上當(dāng)且時，對一切整數(shù)，不等式均成立（II）可以有兩種方法證明：第一種方法，先用數(shù)學(xué)歸納法證明其中要利用到當(dāng)時，當(dāng)?shù)糜桑↖）中的結(jié)論得因此，即所以時，不等式也成立綜合可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立再證由可得，即第二種方法，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，則，并且由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明試題解析：（I）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，原不等式成立假設(shè)時，不等式成立當(dāng)時，所以時，原不等式也成

58、立綜合可得，當(dāng)且時，對一切整數(shù)，不等式均成立（2） 證法1：先用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，由題設(shè)知成立假設(shè)時，不等式成立由易知當(dāng)時，當(dāng)?shù)糜桑↖）中的結(jié)論得因此，即所以時，不等式也成立綜合可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立再由可得，即綜上所述，證法2：設(shè)，則，并且由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時，當(dāng)時，由，即可知，并且，從而故當(dāng)時，不等式成立假設(shè)時，不等式成立，則當(dāng)時，即有所以當(dāng)時，原不等式也成立綜合可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立考點(diǎn)：1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；2構(gòu)造函數(shù)法證明不等式【名師點(diǎn)睛】本題第（1）題是課本上關(guān)于貝努利不等式的證明，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是高考中頻繁出現(xiàn)的一個考點(diǎn)，尤其是安徽卷，考生在復(fù)習(xí)時尤其要注意.另外數(shù)列單調(diào)性及不等式的證