高考數學復習 17-18版 第2章 熱點探究課1 函數的圖象與性質

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1、 熱點探究課(一)　函數的圖象與性質 [命題解讀]　函數是中學數學的核心概念，函數的圖象與性質既是中學數學教學的重點，又是高考考查的重點與熱點，題型以填空題為主，既重視三基，又注重思想方法的考查，備考時，要透徹理解函數，尤其是分段函數的概念，切實掌握函數的性質，并加強函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想的應用意識． 熱點1　函數圖象的應用 利用函數圖象研究方程的解、不等式的解集等是高考的熱點，多以填空題的形式出現，屬中檔題目，主要考查學生的數形結合意識以及用圖象解答問題的能力． 　已知f(x)為偶函數，當x≥0時，f(x)＝則不等式f(x－1)≤的解集為________. 【導

2、學號：62172064】 ∪　[畫出函數f(x)的圖象，如圖， 當0≤x≤時，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤； 當x＞時，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤， 故有≤x≤. 因為f(x)是偶函數，所以f(x)≤的解集為∪，故f(x－1)≤的解集為∪.]　 [遷移探究1]　在本例條件下，若關于x的方程f(x)＝k有2個不同的實數解，求實數k的取值范圍． [解]　由函數f(x)的圖象(圖略)可知，當k＝0或k>1時，方程f(x)＝k有2個不同的實數解，即實數k的取值范圍是k＝0或k>1. [遷移探究2]　在本例條件下，若函數y＝f(x)－k|x|恰有兩個零點，求實數k的

3、取值范圍． [解]　函數y＝f(x)－k|x|恰有兩個零點，即函數y＝f(x)的圖象與y＝k|x|的圖象恰有兩個交點，借助函數圖象(圖略)可知k≥2或k＝0，即實數k的取值范圍為k＝0或k≥2. [規(guī)律方法]　1.利用函數的圖象研究函數的性質，一定要注意其對應關系，如：圖象的左右范圍對應定義域，上下范圍對應值域，上升、下降趨勢對應單調性，對稱性對應奇偶性． 2．有關方程解的個數問題常常轉化為兩個熟悉的函數圖象的交點個數；利用此法也可由解的個數求參數值或范圍． 3．有關不等式的問題常常轉化為兩個函數圖象的上、下關系來解． [對點訓練1]　(2017·鎮(zhèn)江期中)已知函數f(x)＝若0＜a

4、＜b＜c，滿足f(a)＝f(b)＝f(c)，則的范圍是________． (1,2)　[如圖所示， ∵0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)， ∴－log2a＝log2b，即ab＝1， 又由圖可知＜f(c)＜1， 故1＜＜2， ∴＝∈(1,2)．] 熱點2　函數性質的綜合應用 對函數性質的考查，以單調性、奇偶性和周期性為主，同時融合函數的零點問題，重在考查學生的等價轉化能力及數形結合意識，難度中等．熟練掌握上述性質是解此類題的關鍵． 角度1　單調性與奇偶性結合 　(2016·天津高考改編)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增．若實數a

5、滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是________． 　[因為f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.] 角度2　奇偶性與周期性結合 　(2017·南通二模)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且對于任意的x∈[0，＋∞)，滿足f(x＋2)＝f(x)，若當x∈[0,2)時，f(x)＝|x2－x－1|，則函數y＝f(x)－1在區(qū)間[－2,4]上的零點個數為________． 7　[由f(x＋2)＝

6、f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期為2的函數，又x∈[0,2)時，f(x)＝|x2－x－1|， 且f(x)為偶函數，故f(x)在[－2,4]上的圖象如圖所示．由圖可知y＝f(x)與y＝1有7個交點，故函數y＝f(x)－1在區(qū)間[－2,4]上有7個零點．] 角度3　單調性、奇偶性與周期性結合 　已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，則f(－25)，f(11)，f(80)的大小關系為________． f(－25)＜f(80)＜f(11)　[因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， 所以f(x－8)＝f(x)，所以函數f

7、(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． 因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數， 所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數， 所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]　 [規(guī)律方法]　函數性質綜合應用問題的常見類型及解題方法 (1)函數單調性與奇偶性結合．注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性． (2)周期性與奇偶性結合．此類

8、問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解． (3)周期性、奇偶性與單調性結合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解． 熱點3　函數圖象與性質的綜合應用 函數的零點、方程的根和函數圖象的交點橫坐標之間的等價轉化思想和數形結合思想是解答此類問題的關鍵所在．因此在處理此類問題時，務必要結合題設信息實現知識轉化．以填空題壓軸題據多，求解時務必細心． 　(2015·江蘇高考)已知函數f(x)＝|ln x|，g(x)＝則方程|f(x)＋g(x)|＝1實根的個數為______． 4　[令h(x)

9、＝f(x)＋g(x)， 則h(x)＝ 當1＜x＜2時， h′(x)＝－2x＋＝＜0， 故當1＜x＜2時h(x)單調遞減，在同一坐標系中畫出y＝|h(x)|和y＝1的圖象如圖所示． 由圖象可知|f(x)＋g(x)|＝1的實根個數為4.] [規(guī)律方法]　解決分段函數與函數零點的綜合問題的關鍵在于“對號入座”，即根據分段函數中自變量取值范圍的界定，代入相應的解析式求解零點，注意取值范圍內的大前提，以及函數性質和數形結合在判斷零點個數時的強大功能． [對點訓練2]　已知函數f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是________. 【導學號

10、：62172065】 (－∞，1)　[函數f(x)＝的圖象如圖所示，當a<1時，函數y＝f(x)的圖象與函數f(x)＝x＋a的圖象有兩個交點，即方程f(x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數根．] 熱點探究訓練(一) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．(2017·鎮(zhèn)江期中)函數f(x)＝的定義域是________． (0，]　[由－lg x≥0得lg x≤，即0

11、增，故log2x≤log22＝log22＝.] 3．(2017·如皋中學高三第一次月考)若函數f(x)＝(e為自然對數的底數)是奇函數，則實數m的值為________． 1　[由f(－x)＝－f(x)得＝－， 即1＋mex＝ex＋m，故m＝1.] 4．若函數f(x)＝asin 2x＋btan x＋1，且f(－3)＝5，則f(π＋3)＝________. 【導學號：62172067】 －3　[令g(x)＝asin 2x＋btan x，則g(x)是奇函數，且最小正周期是π，由f(－3)＝g(－3)＋1＝5，得g(－3)＝4，則g(3)＝－g(－3)＝－4，則f(π＋3)＝g(π＋3)

12、＋1＝g(3)＋1＝－4＋1＝－3.] 5．已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，當x∈[0,2)時，f(x)＝x2，若對于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，則f(2)－f(3)的值為________． 1　[由題意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)， ∴f(2)＝0. ∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， ∴f(2)－f(3)＝1.] 6．已知函數f(x)＝函數g(x)＝f(x)－2x恰有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是________． [－1,2)　[由題意知g(x)＝ 因為g(x)有三個不同的零點， 所以2－x＝0

13、在x＞a時有一個解．由x＝2，得a＜2. 由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2， 由x≤a，得a≥－1. 綜上，a的取值范圍為[－1,2)．] 7．(2017·南通第一次學情檢測)已知f(x)為定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)＝2x－2，則不等式f(x－1)≤6的解集是________. 【導學號：62172068】 [－2,4]　[∵f(x)為R上的偶函數， ∴當x<0時，－x>0， ∴f(－x)＝2－x－2， 即f(x)＝2－x－2. ∵f(x－1)≤6， ∴當x－1≥0，即x≥1時， 2x－1－2≤6， 解得1≤x≤4； 當x－1<0，即x<1時，

14、21－x－2≤6， 解得－2≤x<1. 綜上可知，f(x－1)≤6的解集為[－2,4]．] 8．已知函數f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數與奇函數，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 019)的值為________． 0　[g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分別是偶函數與奇函數，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函數f(x)是以4為周期的周期函數，則 f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.] 9．已知函數y＝f(x＋2)的圖象關于直線x＝－2對稱，且當

15、x∈(0，＋∞)時，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f，c＝f(2)，則a，b，c的大小關系是________． b＞a＞c　[由函數y＝f(x＋2)的圖象關于直線x＝－2對稱，得函數y＝f(x)的圖象關于y軸對稱，即y＝f(x)是偶函數．當x∈(0,1)時，f(x)＝f＝|log2x|，且x∈[1，＋∞)時，f(x)＝log2x單調遞增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b＞a＞c.] 10．(2017·南京一模)設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)＝2x＋，設g(x)＝若函數y＝g(x)－t有且只有一個零點，則實數t的取值范圍是________．

16、 　[由f(x)為R上的奇函數可知，f(0)＝0，即1＋m＝0，m＝－1， ∴f(x)＝2x－， ∴g(x)＝ 又當x＞1時，g(x)為增函數， ∴g(x)＞g(1)＝2－＝， 當x≤1時，g(x)為減函數， ∴g(x)≥g(1)＝－＝－. 要使g(x)－t＝0有且只有一解，即函數y＝g(x)與y＝t的圖象只有一個交點(圖略)，故－≤t≤.] 二、解答題 11．(2017·鎮(zhèn)江期中)已知函數f(x)＝log2log22x. (1)解不等式f(x)>0； (2)當x∈[1,4]時，求f(x)的值域． [解]　(1)函數f(x)＝log2·log22x＝(log2x－log

17、24)(log22＋log2x) ＝(log2x)2－log2x－2，x∈(0，＋∞)． 令f(x)＝(log2x)2－log2x－2>0， 則log2x>2或log2x<－1，故x>4或0

18、數m，n的值； (3)已知m>0，n>0，在(2)的條件下，求不等式f(f(x))＋f<0的解集． [解]　證明：(1)f(x)＝，∴f(1)＝＝－， f(－1)＝＝， ∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函數． (2)由f(x)是奇函數得f(－x)＝－f(x)， 即＝－對定義域內任意實數x都成立，化簡整理得關于x的恒等式(2m－n)·22x＋(2mn－4)·2x＋(2m－n)＝0， ∴即或 (3)由題意得m＝1，n＝2， ∴f(x)＝＝，易判斷f(x)在R上遞減，∵f(f(x))＋f<0， ∴f(f(x))<－f＝f， ∴f(x)>－， ∴2x<3，∴x

19、23， 即所求不等式的解集為(－∞，log23)． B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且在[0，＋∞)上是增函數，則不等式＜f(1)的解集為________． 　[f(x)為R上的奇函數，則f＝f(－ln x)＝－f(ln x)，所以＝＝|f(ln x)|，即原不等式可化為|f(ln )|＜f(1)，所以－f(1)＜f(ln x)＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上單調遞增，所以－1＜ln x＜1，解得＜x＜e.]　 2．(2017·泰州中學高三摸底考試)對于函數y＝f(x)，若存在區(qū)間[a，

20、b]，當x∈[a，b]時的值域為[ka，kb](k>0)，則稱y＝f(x)為k倍值函數．若f(x)＝ln x＋x是k倍值函數，則實數k的取值范圍是________． 　[由題意得ln x＋x＝kx有兩個不同的解，k＝＋1，則k′＝＝0?x＝e，因此當0e時，k∈，從而要使ln x＋x＝kx有兩個不同的解，需k∈.] 3．函數f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的圖象過點(8,2)和(1，－1)． (1)求函數f(x)的解析式； (2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值時x的值． [解]　(1)由得 解得m＝－1，a＝2

21、， 故函數解析式為f(x)＝－1＋log2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x－1) ＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)] ＝log2－1(x＞1)． ∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4. 當且僅當x－1＝，即x＝2時，等號成立． 而函數y＝log2x在(0，＋∞)上單調遞增， 則log2－1≥log24－1＝1， 故當x＝2時，函數g(x)取得最小值1. 4．已知函數f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|. (1)若當x∈R時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍； (2)求函數h(x)＝|f(x)|＋g(x)在區(qū)間[0,2]上

22、的最大值． [解]　(1)不等式f(x)≥g(x)對x∈R恒成立，即x2－1≥a|x－1|(*)對x∈R恒成立． ①當x＝1時，(*)顯然成立，此時a∈R； ②當x≠1時，(*)可變形為a≤， 令φ(x)＝＝ 因為當x>1時，φ(x)>2，當x<1時，φ(x)>－2， 所以φ(x)>－2，故此時a≤－2. 綜合①②，得所求實數a的取值范圍是(－∞，－2]． (2)h(x)＝ ①當－≤0，即a≥0時， (－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋1， (x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此時，h(x)max＝a＋3. ②當0<－≤1， 即－2≤a<0時，(－x2－ax＋a＋1)max ＝h＝＋a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.此時h(x)max＝a＋3. ③當1<－≤2， 即－4≤a<－2時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0，(x2＋ax－a－1)max＝max{h(1)，h(2)}＝max{0,3＋a} ＝ 此時h(x)max＝ ④當－>2， 即a<－4時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝h(1)＝0. 此時h(x)max＝0. 綜上：h(x)max＝