高考數(shù)學復習 17-18版 第2章 熱點探究課1 函數(shù)的圖象與性質(zhì)

熱點探究課(一)　函數(shù)的圖象與性質(zhì)[命題解讀]　函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念，函數(shù)的圖象與性質(zhì)既是中學數(shù)學教學的重點，又是高考考查的重點與熱點，題型以填空題為主，既重視三基，又注重思想方法的考查，備考時，要透徹理解函數(shù)，尤其是分段函數(shù)的概念，切實掌握函數(shù)的性質(zhì)，并加強函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的應用意識．熱點1　函數(shù)圖象的應用利用函數(shù)圖象研究方程的解、不等式的解集等是高考的熱點，多以填空題的形式出現(xiàn)，屬中檔題目，主要考查學生的數(shù)形結(jié)合意識以及用圖象解答問題的能力．　已知f(x)為偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝則不等式f(x－1)≤的解集為________. 【導學號：62172064】∪　[畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，當0≤x≤時，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；當x＞時，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，故有≤x≤.因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)≤的解集為∪，故f(x－1)≤的解集為∪.]　[遷移探究1]　在本例條件下，若關(guān)于x的方程f(x)＝k有2個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．[解]　由函數(shù)f(x)的圖象(圖略)可知，當k＝0或k>1時，方程f(x)＝k有2個不同的實數(shù)解，即實數(shù)k的取值范圍是k＝0或k>1.[遷移探究2]　在本例條件下，若函數(shù)y＝f(x)－k|x|恰有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．[解]　函數(shù)y＝f(x)－k|x|恰有兩個零點，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝k|x|的圖象恰有兩個交點，借助函數(shù)圖象(圖略)可知k≥2或k＝0，即實數(shù)k的取值范圍為k＝0或k≥2.[規(guī)律方法]　1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，一定要注意其對應關(guān)系，如：圖象的左右范圍對應定義域，上下范圍對應值域，上升、下降趨勢對應單調(diào)性，對稱性對應奇偶性．2．有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值或范圍．3．有關(guān)不等式的問題常常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的上、下關(guān)系來解．[對點訓練1]　(2017·鎮(zhèn)江期中)已知函數(shù)f(x)＝若0＜a＜b＜c，滿足f(a)＝f(b)＝f(c)，則的范圍是________．(1,2)　[如圖所示，∵0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，∴－log2a＝log2b，即ab＝1，又由圖可知＜f(c)＜1，故1＜＜2，∴＝∈(1,2)．]熱點2　函數(shù)性質(zhì)的綜合應用對函數(shù)性質(zhì)的考查，以單調(diào)性、奇偶性和周期性為主，同時融合函數(shù)的零點問題，重在考查學生的等價轉(zhuǎn)化能力及數(shù)形結(jié)合意識，難度中等．熟練掌握上述性質(zhì)是解此類題的關(guān)鍵．角度1　單調(diào)性與奇偶性結(jié)合　(2016·天津高考改編)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是________．　[因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.]角度2　奇偶性與周期性結(jié)合　(2017·南通二模)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對于任意的x∈[0，＋∞)，滿足f(x＋2)＝f(x)，若當x∈[0,2)時，f(x)＝|x2－x－1|，則函數(shù)y＝f(x)－1在區(qū)間[－2,4]上的零點個數(shù)為________．7　[由f(x＋2)＝f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期為2的函數(shù)，又x∈[0,2)時，f(x)＝|x2－x－1|，且f(x)為偶函數(shù)，故f(x)在[－2,4]上的圖象如圖所示．由圖可知y＝f(x)與y＝1有7個交點，故函數(shù)y＝f(x)－1在區(qū)間[－2,4]上有7個零點．]角度3　單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合　已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則f(－25)，f(11)，f(80)的大小關(guān)系為________．f(－25)＜f(80)＜f(11)　[因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]　[規(guī)律方法]　函數(shù)性質(zhì)綜合應用問題的常見類型及解題方法(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．熱點3　函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用函數(shù)的零點、方程的根和函數(shù)圖象的交點橫坐標之間的等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想是解答此類問題的關(guān)鍵所在．因此在處理此類問題時，務必要結(jié)合題設信息實現(xiàn)知識轉(zhuǎn)化．以填空題壓軸題據(jù)多，求解時務必細心．　(2015·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)＝|ln x|，g(x)＝則方程|f(x)＋g(x)|＝1實根的個數(shù)為______．4　[令h(x)＝f(x)＋g(x)，則h(x)＝當1＜x＜2時，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故當1＜x＜2時h(x)單調(diào)遞減，在同一坐標系中畫出y＝|h(x)|和y＝1的圖象如圖所示．由圖象可知|f(x)＋g(x)|＝1的實根個數(shù)為4.][規(guī)律方法]　解決分段函數(shù)與函數(shù)零點的綜合問題的關(guān)鍵在于“對號入座”，即根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應的解析式求解零點，注意取值范圍內(nèi)的大前提，以及函數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合在判斷零點個數(shù)時的強大功能．[對點訓練2]　已知函數(shù)f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________. 【導學號：62172065】(－∞，1)　[函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，當a<1時，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)f(x)＝x＋a的圖象有兩個交點，即方程f(x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根．]熱點探究訓練(一)A組　基礎達標(建議用時：30分鐘)一、填空題1．(2017·鎮(zhèn)江期中)函數(shù)f(x)＝的定義域是________．(0，]　[由－lg x≥0得lg x≤，即00，∴f(－x)＝2－x－2，即f(x)＝2－x－2.∵f(x－1)≤6，∴當x－1≥0，即x≥1時，2x－1－2≤6，解得1≤x≤4；當x－1<0，即x<1時，21－x－2≤6，解得－2≤x<1.綜上可知，f(x－1)≤6的解集為[－2,4]．]8．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 019)的值為________．0　[g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分別是偶函數(shù)與奇函數(shù)，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，則f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.]9．已知函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f，c＝f(2)，則a，b，c的大小關(guān)系是________．b＞a＞c　[由函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱，得函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，即y＝f(x)是偶函數(shù)．當x∈(0,1)時，f(x)＝f＝|log2x|，且x∈[1，＋∞)時，f(x)＝log2x單調(diào)遞增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b＞a＞c.]10．(2017·南京一模)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝2x＋，設g(x)＝若函數(shù)y＝g(x)－t有且只有一個零點，則實數(shù)t的取值范圍是________．　[由f(x)為R上的奇函數(shù)可知，f(0)＝0，即1＋m＝0，m＝－1，∴f(x)＝2x－，∴g(x)＝又當x＞1時，g(x)為增函數(shù)，∴g(x)＞g(1)＝2－＝，當x≤1時，g(x)為減函數(shù)，∴g(x)≥g(1)＝－＝－.要使g(x)－t＝0有且只有一解，即函數(shù)y＝g(x)與y＝t的圖象只有一個交點(圖略)，故－≤t≤.]二、解答題11．(2017·鎮(zhèn)江期中)已知函數(shù)f(x)＝log2log22x.(1)解不等式f(x)>0；(2)當x∈[1,4]時，求f(x)的值域．[解]　(1)函數(shù)f(x)＝log2·log22x＝(log2x－log24)(log22＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2，x∈(0，＋∞)．令f(x)＝(log2x)2－log2x－2>0，則log2x>2或log2x<－1，故x>4或00，n>0，在(2)的條件下，求不等式f(f(x))＋f<0的解集．[解]　證明：(1)f(x)＝，∴f(1)＝＝－，f(－1)＝＝，∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函數(shù)．(2)由f(x)是奇函數(shù)得f(－x)＝－f(x)，即＝－對定義域內(nèi)任意實數(shù)x都成立，化簡整理得關(guān)于x的恒等式(2m－n)·22x＋(2mn－4)·2x＋(2m－n)＝0，∴即或(3)由題意得m＝1，n＝2，∴f(x)＝＝，易判斷f(x)在R上遞減，∵f(f(x))＋f<0，∴f(f(x))<－f＝f，∴f(x)>－，∴2x<3，∴x0)，則稱y＝f(x)為k倍值函數(shù)．若f(x)＝ln x＋x是k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________．　[由題意得ln x＋x＝kx有兩個不同的解，k＝＋1，則k′＝＝0?x＝e，因此當0e時，k∈，從而要使ln x＋x＝kx有兩個不同的解，需k∈.]3．函數(shù)f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的圖象過點(8,2)和(1，－1)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值時x的值．[解]　(1)由得解得m＝－1，a＝2，故函數(shù)解析式為f(x)＝－1＋log2x.(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]＝log2－1(x＞1)．∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4.當且僅當x－1＝，即x＝2時，等號成立．而函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則log2－1≥log24－1＝1，故當x＝2時，函數(shù)g(x)取得最小值1.4．已知函數(shù)f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|.(1)若當x∈R時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求函數(shù)h(x)＝|f(x)|＋g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值．[解]　(1)不等式f(x)≥g(x)對x∈R恒成立，即x2－1≥a|x－1|(*)對x∈R恒成立．①當x＝1時，(*)顯然成立，此時a∈R；②當x≠1時，(*)可變形為a≤，令φ(x)＝＝因為當x>1時，φ(x)>2，當x<1時，φ(x)>－2，所以φ(x)>－2，故此時a≤－2.綜合①②，得所求實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]．(2)h(x)＝①當－≤0，即a≥0時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.此時，h(x)max＝a＋3.②當0<－≤1，即－2≤a<0時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h＝＋a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.此時h(x)max＝a＋3.③當1<－≤2，即－4≤a<－2時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0，(x2＋ax－a－1)max＝max{h(1)，h(2)}＝max{0,3＋a}＝此時h(x)max＝④當－>2，即a<－4時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0，(x2＋ax－a－1)max＝h(1)＝0.此時h(x)max＝0.綜上：h(x)max＝。