專題17 空間向量及應(yīng)用（教師版） 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題,高中數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué),課件

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1、專題17 空間向量及應(yīng)用 ★★★高考在考什么 【考題回放】 1．在正方體A1B1C1D1-ABCD中，M、N分別是棱A1A和B1B的中點(diǎn)，若θ為直 線CM與D1N所成的角，則sinθ等于 （ ） A． B． C． 　　 D． 2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,AC=AA1=a，則點(diǎn)A到平面A1BC的距 S A C B D 離是（ C ） A ．a(chǎn) B．a(chǎn) C． D．a(chǎn) 3．如圖，正四面體S-ABC中，D為SC的中點(diǎn)，則BD與SA 所成角的余弦值是（ C ） A．

2、 B． C． D． 4．在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)， 若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是（ C ） A． B． C． D． 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC 成300角，則二面角B-B1C-A的正弦值。 6．在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC， SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。 （1）證明：AC⊥SB； （2）求二面角N—CM—B的大

3、小； （3）求點(diǎn)B到平面CMN的距離． 【專家解答】（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB． ∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO． ∵平面SAC⊥平面ABC， ∴SO⊥面ABC， ∴SO⊥BO．如圖建立空間直角坐標(biāo)系 O－xyz．則A（2，0，0），B（0，2，0）， C（－2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，)． ∴=（－4，0，0），=（0，2，－2）， ∵·=（－4，0，0）·（0，2，－2）=0， ∴AC⊥SB． （2）由（1）得=（3，，0），=（－1，0，）． 設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量， ∴n=

4、(，－，1)， 又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量， ∴cos(n，)==．∴二面角N－CM－B的大小為arccos． （3）由(1)(2)得=(－1,,0)，n=(,－,1)為平面CMN的一個法向量 ∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d==． ★★★高考要考什么 【考點(diǎn)透視】 用空間向量可以解決的立體幾何問題有： 1．利用兩個向量共線和共面定理,可證明有關(guān)線線平行,線面平行,面面平行問題 2．利用兩個向量垂直的充要條件可以證明有關(guān)線線,線面,面面垂直問題 3．利用兩個向量的夾角公式可以求解有關(guān)角的問題 4．利用向量的模及向量在單位向量上的射影可以求解

5、有關(guān)的距離問題 【熱點(diǎn)透析】 空間向量解立體幾何問題的基本步驟是： 1．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； 2．確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)； 3．求平面的法向量； 4．利用公式求答案。 ★★★突破重難點(diǎn) 【范例1】如圖, 在直三棱柱中， ,點(diǎn)為的中點(diǎn) (Ⅰ)求證; (Ⅱ) 求證：平面; (Ⅲ)求異面直線與所成角的余弦值 解： ∵直三棱錐底面三邊長 ，兩兩垂直 如圖建立坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (Ⅰ), (Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為E，則E(0,2,2)，

6、 (Ⅲ) ∴異面直線與所成角的余弦值為 【點(diǎn)晴】在具有三維直角的立體幾何題中常使用空間向量方法，證明線面垂直即證明直線的方向向量與平面的法向量平行，另外注意異面直線所成角為銳角。 【文】如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC． (Ⅰ) 求證∥平面 (Ⅱ) 求直線與平面PBC所成角的大小； 解析 （1） 。 【點(diǎn)晴】注意空間坐標(biāo)系的選取，證明線面平行即證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，另外注意線面所成的角與直線方向向量和法向量所成角的關(guān)系。

7、 【范例2】如圖，以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E為VC中點(diǎn)，正正四棱錐底面邊長為2a，高為h． （Ⅰ）求 （Ⅱ）記面BCV為α，面DCV為β，若∠BED是二面 角α—VC—β的平面角，求∠BED． 解：（I）由題意知B(a，a，0)，C(―a，a，0)， D(―a，―a，0)，E 由此得 （II）若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，則，即有=0． 又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且 即這時有 【點(diǎn)晴】本小題主要考查

8、應(yīng)用向量知識解決立體幾何的能力，注意面面所成角與兩法向量所成角的關(guān)系。 【文】如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M。 求證：(1)CD⊥平面BDM； (2) 求面B1BD與面CBD所成二面角的大小。 解：以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。 (1), 則， ∵A1B、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線，∴CD⊥平面BDM。 (2) 設(shè)BD的中點(diǎn)為G,連結(jié)B1G, 則 ， ， ∴的夾角等于所求二面角的平面角. 所以所求的二面角等于 【點(diǎn)晴】本小題坐標(biāo)系的建立容

9、易想到，用直線與平面內(nèi)兩不共線向量垂直來證明線面垂直是根據(jù)立體幾何的判定定理，另注意面面所成角與兩法向量所成角間的轉(zhuǎn)換。 【范例3】如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN＝2C1N． （Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求點(diǎn)B1到平面AMN的距離。 解（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則(0,0,1)， M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()， 所以,, 因為 所以,同法可得。 故﹤﹥?yōu)槎娼恰狝M—N的平面角 ∴﹤﹥＝ 故二面角—AM—N的平面角

10、的余弦值為。 （Ⅱ）設(shè)n=(x, y, z)為平面AMN的一個法向量，則由得 , 故可取 設(shè)與n的夾角為a，則。 所以到平面AMN的距離為。 Q B C P A D 【點(diǎn)晴】本小題坐標(biāo)系的建立有點(diǎn)特殊，同學(xué)們可試在另外坐標(biāo)系下的方法。注意如何使用向量形式下求各種立體幾何中距離的問題，考查應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問題的能力. 【文】如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2，AB=4． (Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD； (Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角； (Ⅲ)求點(diǎn)P到平面QAD的距離． 解：（Ⅰ）連結(jié)AC、BD，設(shè)． 由P－AB

11、CD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD． （Ⅱ）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD． 由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD． 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）， Q B C P A D z y x O 由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 P（0，0，2），A（，0，0）， Q（0，0，－2），B（0，，0）． 所以 ． 故直線AQ與PB所成的角是． (Ⅲ)由（Ⅱ），點(diǎn)D（0，－，0）， ，，設(shè)是平面QAD的一個法向量， 由得．

12、取x=1，得． 所以點(diǎn)P到平面QAD的距離． 【點(diǎn)晴】本小題坐標(biāo)系的建立還可以與ABCD的邊平行，同學(xué)們不妨一試。注意如何使用向量形式下求各種距離的問題，其中求法向量向量解決幾何問題的關(guān)鍵。 【范例4】如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。 （Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為； （Ⅱ）、在線段上是否存在一個定點(diǎn)，使得對任意的，在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。 解：（１）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1)．所以 又由

13、 的一個法向量． 設(shè)與所成的角為， 則 依題意有：，解得． 故當(dāng)時，直線。 （２）若在上存在這樣的點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 則。 依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等價于 即為的中點(diǎn)時，滿足題設(shè)的要求． 【點(diǎn)晴】空間向量解決立體幾何的開放性或探索性問題的關(guān)鍵是對未知點(diǎn)坐標(biāo)的設(shè)法，從而建立方程得以解決，注意總結(jié)各種常見類型的坐標(biāo)系以及坐標(biāo)系各種點(diǎn)坐標(biāo)的尋求。 【文】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=， AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證AM∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角A—DF—B的大?。? （Ⅲ）試在

14、線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與 BC所成的角是60°。 解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)，連接NE，則點(diǎn)N、E的坐 標(biāo)分別是（、（0,0,1）, ∴NE=(, 又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是（）、（ ∴ =（ ∴NE=AM且NE與AM不共線， ∴NE∥AM． 又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF． （Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ∴AB⊥平面ADF． ∴為平面DAF的法向量． ∵NE·DB=（·=0， ∴NE·NF=（·=0 得NE⊥DB，NE⊥NF， ∴NE為平面BDF的法向量 ∴cos=，∴AB與NE的夾角是60o

15、． 即所求二面角A—DF—B的大小是60o． （Ⅲ）設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得 ∴CD=（，0，0）又∵PF和CD所成的角是60o． ∴ 解得或（舍去），即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)． 【點(diǎn)晴】本題前兩個小題較簡單，（Ⅰ）用到了立體幾何的判定定理；（Ⅱ）注意法向量的求法；（Ⅲ）用未知數(shù)設(shè)不定點(diǎn)是空間向量解決立體幾何問題的難點(diǎn)，注意總結(jié)各種常見類型的坐標(biāo)系以及坐標(biāo)系各種點(diǎn)坐標(biāo)的尋求。 ★★★自我提升 1．如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分別平行于平面α,β且都與此兩平面的交線l垂直,則二面角α-l-β的大小是 ( D ) A． 90° B． 30°

16、 C．45° D．60° A1 C B A B1 C1 D1 D O 2．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的 中點(diǎn)，則直線AD 與平面B1DC所成角的正弦值為（ D ）． A． 　B．　 C．　 D． 3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底 面A1B1C1D1中心，則O到平面ABC1D1的距離為（ B ） A．　 B．　 C． D． 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A 的正切值為

17、（ B ） A．1　 B．　 C． D．2 5．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，那么 （1） 直線BA1與CC1所成角的大小為 45° 。 （2） 直線BA1與B1C所成角的大小為 60° 。 （3） 異面直線BC與AA1的距離為 a 。 （4） 異面直線BA1與CC1的距離為 a 。 6．已知直四棱柱中，，底面 是直角梯形,,,,, ,則異面直線與所成的角為 arccos 。 7．如圖，在長方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)， （Ⅰ）求證：面； （Ⅱ）求二面角的大?。? （Ⅲ

18、）求三棱錐的體積。 方法一 解：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié) ∵分別為的中點(diǎn) ∵ ∴面，面 ∴面面 ∴面 （Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn) ∵為的中點(diǎn) ∴ ∴面 作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得，從而為二面角的平面角。 在中，， 從而 在中， 故二面角的大小為 （Ⅲ） 作，交于，由面得 ∴面 ∴在中， ∴ 方法二：以為原點(diǎn)，所在直 線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則 ∵分別是的中點(diǎn) ∴ （Ⅰ）, 取，顯然面，， ∴ 又面 ∴面 （Ⅱ）過作，交于，取的中點(diǎn)，則 設(shè)，則 又由，及在直線上， 可得，解得 ∴ ∴, 即 ∴與所

19、夾的角等于二面角的大小 故二面角的大小為 （Ⅲ）設(shè)為平面的法向量，則 又 ∴ 即 ∴可取 ∴點(diǎn)到平面的距離為 ∵， ∴ ∴ 8．在直三棱柱中，底面是以為直角的等腰直角三角形，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)， （1）求直線與所成的角; （2）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出； 若不存在，說明理由。 解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系 (1) , , 故直線與所成的角為 （2）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面，只要且 不妨設(shè)則， ， 恒成立 或 故或時，平面 《專題17 空間向量及應(yīng)用》第12頁（共12頁）