高考數學專題復習教案： 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直備考策略

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1、 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直備考策略 主標題：立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直備考策略 副標題：通過考點分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學生備考復習打通快速通道。 關鍵詞：向量證平行，向量證垂直，向量求角，備考策略 難度：2 重要程度：4 內容 考點一　利用空間向量證明平行問題 【例1】 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD. 思路　若用向量證明線面平行，可轉化為判定向量∥，或證明與平面A1BD的法向量垂直． 證明　法一　如圖所示，以D為原點，DA，DC，DD1

2、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則可求得M， N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)． 設平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． 則n·＝0，且n·＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n， 又MN?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 法二　＝－＝－＝(－)＝.∴∥， 又∵MN與DA1不共線， ∴MN∥DA1， 又∵MN?平面A1BD，A1D?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD.

3、 【備考策略】 (1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵． (2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算． 考點二　利用空間向量證明垂直問題 【例2】如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)證明：AP⊥BC； (2)若點M是線段AP上一

4、點，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC. 證明　(1)如圖所示，以O為坐標原點，以射線OP為z軸的正半軸建立空間直角坐標系O－xyz. 則O(0,0,0)，A(0，－3,0)， B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)． 于是＝(0,3,4)， ＝(－8,0,0)， ∴·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， 所以⊥，即AP⊥BC. (2)由(1)知|AP|＝5， 又|AM|＝3，且點M在線段AP上， ∴＝＝， 又＝(－8,0,0)，＝(－4,5,0)，＝(－4，－5,0)， ∴＝＋＝， 則·＝(0,3,4)·＝0， ∴⊥，即AP⊥BM，

5、 又根據(1)的結論知AP⊥BC， ∴AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC. 又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BCM. 【備考策略】(1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算．其中靈活建系是解題的關鍵． (2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可． 考點三　利用空間向量解決探索性問題 【例3】 如圖，在長方體ABCD－

6、A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點． (1)求證：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由． 思路　由長方體特征，以A為坐標原點建立空間坐標系，從而將幾何位置關系轉化為向量運算．第(1)問證明·＝0，第(2)問是存在性問題，由與平面B1AE的法向量垂直，通過計算作出判定． (1)證明　以A為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)． 設AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)． 故＝(0,1,1)，＝，

7、＝(a,0,1)，＝. ∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B1E⊥AD1. (2)解　假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)． 使得DP∥平面B1AE，此時＝(0，－1，z0)． 又設平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得 取x＝1，得平面B1AE的一個法向量n＝ 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0， 解得z0＝. 又DP?平面B1AE， ∴存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝. 【備考策略】 立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種： (1)根據題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，然后再加以證明，得出結論； (2)假設所求的點或線存在，并設定參數表達已知條件，根據題目進行求解，若能求出參數的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點或線，否則不存在．本題是設出點P的坐標，借助向量運算，判定關于z0的方程是否有解．