數(shù)學(xué) 第四章 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版選修4-5

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1、一數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法的概念一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟:(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN+,且kn0)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立,這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法.名師點(diǎn)撥數(shù)學(xué)歸納法與歸納法的關(guān)系:歸納法是由一系列特殊事例得出一個(gè)結(jié)論的推理方法,它屬于歸納推理.而數(shù)學(xué)歸納法是一種演繹推理方法,是一種證明命題的方法.答案：D 2.數(shù)學(xué)歸納法的步驟 名師點(diǎn)撥1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可,第一步中驗(yàn)證n的初始值至關(guān)重要,它是遞推的基

2、礎(chǔ),但n的初始值不一定是1,而是n的取值范圍內(nèi)的最小值.2.第二步證明的關(guān)鍵是運(yùn)用歸納假設(shè).在使用歸納假設(shè)時(shí),應(yīng)分析p(k)與p(k+1)的差異與聯(lián)系,利用拆、添、并、放、縮等手段,或從歸納假設(shè)出發(fā),從p(k+1)中分離出p(k)再進(jìn)行局部調(diào)整.做一做2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 (n2,nN+)的過(guò)程中,由n=k到n=k+1時(shí),左邊增加了()A.1項(xiàng) B.k項(xiàng) C.2k-1項(xiàng)D.2k項(xiàng)答案：D 思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明. ()(

3、3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),只要推理過(guò)程正確,歸納假設(shè)可以不用. ()(4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng). () 探究一探究二探究三思維辨析用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題 【例1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.分析：在第二步證明中,注意利用歸納假設(shè),對(duì)當(dāng)n=k+1時(shí)的式子進(jìn)行合理變形.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),(31+1)7-1=27能被9整除,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)命題成立,即(3k+1)7k-1能被9整除.當(dāng)n=k+1時(shí),3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)7k+1-

4、1+37k+1=(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.因?yàn)?3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除,所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立,由(1)(2)可知,(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí),首先從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子,然后證明剩余的式子也能被某式(數(shù))整除.其中的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”,可采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法分析出因子,從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得到解決.探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練1用數(shù)

5、學(xué)歸納法證明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,其中nN+,aR. 證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),an+1+(a+1)2n-1即為a2+a+1,能夠被a2+a+1整除,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)命題成立,即ak+1+(a+1)2k-1能夠被a2+a+1整除,當(dāng)n=k+1時(shí),ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a+1)2k-1(a2+a+1).由歸納假設(shè)知,上式能夠被a2+a+1整除,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由(1)

6、(2)可知,命題對(duì)任意nN+都成立.探究一探究二探究三思維辨析用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:分析：按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明,注意第二步中合理運(yùn)用歸納假設(shè).探究一探究二探究三思維辨析證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,左邊=右邊,命題成立. 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由(1)(2)可知,命題對(duì)任意nN+都成立.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題1.第一步的驗(yàn)證,對(duì)于有些問(wèn)題驗(yàn)證的并不是n=1,有時(shí)需驗(yàn)證n=2或n=3等.2.注意當(dāng)n=k+1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù),特別是尋找n=k與n=k+1的關(guān)系式之間的關(guān)系時(shí),項(xiàng)數(shù)發(fā)

7、生變化容易被弄錯(cuò),因此對(duì)當(dāng)n=k與n=k+1時(shí)關(guān)系式的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問(wèn)題的保障.3.在第二步的證明過(guò)程中一定要用上歸納假設(shè),否則這樣的證明就不再是數(shù)學(xué)歸納法.探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+32+522+(2n-1)2n-1=2n(2n-3)+3(nN+). 證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2(2-3)+3=1,左邊=右邊,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)命題成立,即1+32+522+(2k-1)2k-1=2k(2k-3)+3.當(dāng)n=k+1時(shí),1+32+522+(2k-1)2k-1+(2k+1)2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)2

8、k=2k(4k-2)+3=2k+12(k+1)-3+3,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由(1)(2)知,命題對(duì)任何nN+都成立.探究一探究二探究三思維辨析用數(shù)學(xué)歸納法證明平面幾何問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明平面幾何問(wèn)題 【例3】 平面內(nèi)有n個(gè)圓,任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn),任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn),求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2-n+2(nN+)個(gè)部分.分析：因?yàn)閒(n)為n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù),所以再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交,就有2n個(gè)交點(diǎn),這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧,且每一段弧又將原來(lái)的平面區(qū)域一分為二,所以增加一個(gè)圓后,平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n個(gè),即f(n+1)=f(n)+2n.探究一探

9、究二探究三思維辨析證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分,且f(1)=1-1+2=2,所以當(dāng)n=1時(shí)命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)命題成立,即k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分.當(dāng)n=k+1時(shí),在k+1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O,剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分,而圓O與這k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn),這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧,每段弧將原平面一分為二,得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.故當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由(1)(2)可知,對(duì)一切nN+命題成立,即這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2-n+2個(gè)部分(nN+).探究一探究二探究三

10、思維辨析變式訓(xùn)練3平面上有n(nN+)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn),求證:這n條直線把平面分成 個(gè)部分. 證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),一條直線把平面分成2部分,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)命題成立,即k條直線把平面分成當(dāng)n=k+1時(shí),即增加一條直線l,因?yàn)槿魏蝺蓷l直線都相交,所以l與k條直線都相交,有k個(gè)交點(diǎn);又因?yàn)槿魏稳龡l直線不共點(diǎn),所以這k個(gè)交點(diǎn)不同于k條直線的交點(diǎn),且k個(gè)交點(diǎn)也互不相同,所以k個(gè)交點(diǎn)把直線l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面區(qū)域分成2部分,故新增加了(k+1)個(gè)部分.探究一探究二探究三思維辨析即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.由(1)(2)知,命題對(duì)任

11、何nN+都成立.探究一探究二探究三思維辨析證明過(guò)程中未用歸納假設(shè)致錯(cuò) 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由(1)(2)知,命題對(duì)nN+成立.探究一探究二探究三思維辨析即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由(1)(2)知,命題對(duì)nN+成立.糾錯(cuò)心得本題的錯(cuò)誤在于證明當(dāng)n=k+1命題成立這一步驟時(shí),沒(méi)有運(yùn)用歸納假設(shè),而是直接利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得,這不是用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題,是錯(cuò)誤的.探究一探究二探究三思維辨析即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由(1)(2)知,命題對(duì)于任意的nN+都成立.1 2 3 4 51.在用數(shù)學(xué)歸納法證明凸多邊形內(nèi)角和定理時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證()A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=

12、4成立解析：凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2),最少邊的凸n邊形為三角形,所以應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)n=3時(shí)成立.答案：C1 2 3 4 52.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+an+1= (nN+,a1),在驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí),左邊所得的項(xiàng)為()A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3解析：因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),an+1=a2,所以此時(shí)式子左邊=1+a+a2.答案：B1 2 3 4 53.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+),由n=k到n=k+1,等式左邊的變化是()A.多乘了(2k+1)B.多乘了2(2k+1)C.多乘了(2k+1)(2k+2)D.多乘了2(k+1

13、)答案：B 1 2 3 4 54.用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n-2n能被3整除”的第二步中,當(dāng)n=k+1時(shí),為了使用歸納假設(shè)應(yīng)將5k+1-2k+1變形為. 解析：假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí),5k-2k能被3整除,則當(dāng)n=k+1時(shí),5k+1-2k+1=5(5k-2k)+32k.由假設(shè)知5k-2k能被3整除,又32k能被3整除,故5(5k-2k)+32k能被3整除.答案：5(5k-2k)+32k1 2 3 4 55.平面內(nèi)有n(n2,nN+)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點(diǎn),證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)=證明：(1)當(dāng)n=2時(shí),兩條直線有一個(gè)交點(diǎn),f(2)=1,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k2,kN+)時(shí),命題成立,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),第(k+1)條直線與前k條直線均有一個(gè)交點(diǎn),即新增k個(gè)交點(diǎn),即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由(1)(2)可知,命題對(duì)任何n2,nN+都成立.