數(shù)學文高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題六第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 Word版含解析

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1、 A級　基礎通關 一、選擇題 1．(2019·北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增的是(　　) A．y＝x　　　　　 B．y＝2－x C．y＝logx D．y＝ 解析：易知y＝2－x與y＝logx，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，由冪函數(shù)性質，y＝在(0，＋∞)上遞減，y＝x在(0，＋∞)上遞增． 答案：A 2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當x＞0時，f(x)＝2x＋2x－4，則f(x)的零點個數(shù)是(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．5 解析：由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 故f(0)＝0. 由于f ·f(2)＜0， 而函

2、數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增， 故當x＞0時有1個零點，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知， 當x＜0時，也有1個零點．故一共有3個零點． 答案：B 3．(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析：c＝log＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，知c＞a＞1.又b＝ln 2＜1，故c＞a＞b. 答案：D 4．若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是(　　)

3、 解析：由于y＝a|x|的值域為{y|y≥1}，所以a＞1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關于y軸對稱．因此y＝loga|x|的圖象大致為選項B. 答案：B 5．(2019·衡水質檢)若函數(shù)f(x)＝|logax|－3－x(a＞0，a≠1)的兩個零點是m，n，則(　　) A．mn＝1 B．mn＞1 C．mn＜1 D．無法判斷 解析：令f(x)＝0， 得|logax|＝， 則y＝|logax|與y＝的圖象有2個交點， 不妨設a＞1，m＜n，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)． 所以＞，即－logam＞logan， 所以loga(m

4、n)＜0，則mn＜1. 答案：C 6．(2018·全國卷Ⅲ)設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則(　　) A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0 C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b 解析：由a＝log0.20.3得＝log0.30.2， 由b＝log20.3得＝log0.32. 所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4， 則0＜＋＜1，即0＜＜1. 又a＞0，b＜0，知ab＜0， 所以ab＜a＋b＜0. 答案：B 二、填空題 7．(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]的零點個數(shù)為________．

5、 解析：由題意知，cos(3x＋)＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，當k＝0時，x＝；當k＝1時，x＝；當k＝2時，x＝，均滿足題意，所以函數(shù)f(x)在[0，π]的零點個數(shù)為3. 答案：3 8．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent.假設過5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m min甲桶中的水只有升，則m的值為________． 解析：因為5 min后甲桶和乙桶的水量相等， 所以函數(shù)y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝a， 可得n＝ln ，所以f(t)＝a·， 因此，當k min后甲桶中的水只有

6、L時， f(k)＝a·＝a，即＝， 所以k＝10，由題可知m＝k－5＝5. 答案：5 9．設函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)，則不等式f(2x)＞f(x＋1)的解集為________． 解析：依題意ln[(2x)2＋1]＞ln[(x＋1)2＋1] 所以4x2＞(x＋1)2，解之得x＞1或x＜－. 答案：∪(1，＋∞) 三、解答題 10．經測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(單位：升)與速度x(單位：千米/時)(50≤x≤120)的關系可近似表示為： y＝ (1)該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？ (2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號汽車

7、勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？ 解：(1)當x∈[50，80)時， y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]， 當x＝65時，y有最小值×675＝9. 當x∈[80，120]時，函數(shù)單調遞減，故當x＝120時，y有最小值10. 因為9＜10，故當x＝65時每小時耗油量最低． (2)設總耗油量為l，由題意可知l＝y(tǒng)·. ①當x∈[50，80)時， l＝y(tǒng)·＝≥(2－130)＝16， 當且僅當x＝，即x＝70時，l取得最小值16. ②當x∈[80，120]時，l＝y(tǒng)·＝－2為減函數(shù)， 當x＝120時，l取得最小值10. 因為10＜

8、16，所以當速度為120千米/時時，總耗油量最少． B級　能力提升 11．已知函數(shù)f(x)＝若方程f(x)＝ax有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是________． 解析：在同一坐標系內，作函數(shù)y＝f(x)與y＝ax的圖象，當y＝ax是y＝ln x的切線時，設切點P(x0，y0)，所以y0＝ln x0，a＝(ln x)′|x＝x0＝，所以y0＝ax0＝1＝ln x0，x0＝e，故a＝. 故y＝ax與y＝f(x)的圖象有三個交點時，0＜a＜. 答案： 12．(2018·江蘇卷節(jié)選)記f′(x)，g′(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f(x0)＝g(

9、x0)且f′(x0)＝g′(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”． (1)證明：函數(shù)f(x)＝x與g(x)＝x2＋2x－2不存在“S點”； (2)若函數(shù)f(x)＝ax2－1與g(x)＝ln x存在“S點”，求實數(shù)a的值． (1)證明：函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2， 則f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2. 由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得 此方程組無解， 因此，f(x)與g(x)不存在“S點”． (2)解：函數(shù)f(x)＝ax2－1，g(x)＝ln x， 則f′(x)＝2ax，g′(x)＝. 設x0為f(x)與g(x)的“S點”，由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得 即(*) 得ln x0＝－，即x0＝e－，則a＝＝. 當a＝時，x0＝e－滿足方程組(*)， 即x0為f(x)與g(x)的“S點”． 因此，a的值為.