《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 第41課 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 第41課 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第41課 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)最新考綱內(nèi)容要求ABC直線與平面垂直的判定及性質(zhì)兩平面垂直的判定及性質(zhì)1直線與平面垂直圖形條件結(jié)論判定ab，b(b為內(nèi)的任意一條直線)aam，an，m，n，mnOaab，ab性質(zhì)a，baba，bab2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直角，就說這兩個平面互相垂直(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面l1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打
2、“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行()(3)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行()(4)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面()答案(1)(2)(3)(4)2(2017南京模擬)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個平面，有下列四個命題：(1)若l，m，則lm；(2)若l，lm，則m；(3)若l，m，則lm；(4)若l，m，則lm，則其中正確的命題是_(填序號)(1)(2)l，ma，lm，故(1)正確；若l，lm，由線面垂直的第二判定定理，我們可得m，故(2)正確；若l，m，則l與m可能平行也可能垂直，
3、故(3)錯誤；若l，m，則l與m可能平行也可能垂直也可能異面，故(4)錯誤3如圖411，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個數(shù)為_圖4114PA平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，從而BCPC.ABC，PBC也是直角三角形4(教材改編)在三棱錐PABC中，點P在平面ABC中的射影為點O，(1)若PAPBPC，則點O是ABC的_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點O是ABC的_心(1)外心(2)垂心PO平面ABC，且PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心(2)PAPB，PAPC，PBPCP，P
4、A平面PBC，PABC，又POBCBC平面PAOAOBC，同理BOAC，COAB，O是ABC的垂心5邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為_a如圖所示，取BD的中點O，連結(jié)AO，CO，則AOC是二面角ABDC的平面角即AOC90，又AOCOa，ACa，即折疊后AC的長(AC)為a.線面垂直的判定與性質(zhì)如圖412所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且ADDB，點C為圓O上一點，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.圖412求證：PACD. 【導(dǎo)學(xué)號：62172224】證明因為AB為圓O的直徑，所以ACCB，在RtABC中，由ACBC，得ABC30.設(shè)A
5、D1，由3ADDB，得DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAO.因為PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDAOD，得CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.規(guī)律方法1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；(3)面面平行的性質(zhì)(a，a)；(4)面面垂直的性質(zhì)2證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想變式訓(xùn)練1如圖413，在三棱錐ABCD中，AB平面BCD，CDBD.圖413
6、(1)求證：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M為AD中點，求三棱錐AMBC的體積解(1)證明：因為AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD.又因為CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD平面ABD.(2)由AB平面BCD，得ABBD.又ABBD1，所以SABD12.因為M是AD的中點，所以SABMSABD.根據(jù)(1)知，CD平面ABD，則三棱錐CABM的高h(yuǎn)CD1，故三棱錐VAMBCVCABMSABMh.面面垂直的判定與性質(zhì)如圖414，三棱臺DEFABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點圖414(1)求證：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，
7、求證：平面BCD平面EGH.證明(1)如圖所示，連結(jié)DG，CD，設(shè)CDGFM，連結(jié)MH.在三棱臺DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點，可得DFGC，DFGC，所以四邊形DFCG為平行四邊形則M為CD的中點，又H為BC的中點，所以HMBD，由于HM平面FGH，BD平面FGH，故BD平面FGH.(2)連結(jié)HE.因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H為BC的中點，所以EFHC，EFHC，因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CFHE.由于CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH.所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH
8、.規(guī)律方法1.面面垂直的證明的兩種思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線；(2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題2垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線垂直線面垂直面面判定性質(zhì)垂直變式訓(xùn)練2如圖415，在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分別為AB，PA的中點圖415(1)求證：PB平面MNC；(2)若ACBC，求證：PA平面MNC. 【導(dǎo)學(xué)號：62172225】證明(1)因為M，N分別為AB，PA的中點，所以MNPB，又因為MN平面MNC，PB平面MNC，所以PB平面MNC
9、.(2)因為PAPB，MNPB，所以PAMN.因為ACBC，AMBM，所以CMAB.因為平面PAB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB.所以CM平面PAB.因為PA平面PAB，所以CMPA.又MNCMM，所以PA平面MNC.平行與垂直的綜合問題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明(2016江蘇高考)如圖416，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.圖416求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因為D，E分
10、別為AB，BC的中點，所以DEAC，于是DEA1C1.又因為DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因為A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因為A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因為B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因為B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因為直線B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.規(guī)律方法1.
11、三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化2垂直與平行結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用角度2平行垂直中探索開放問題如圖所示，在RtABC中，C90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖所示圖417(1)求證：A1FBE；(2)線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？并說明理由證明(1)由已知，得ACBC，且DEBC.所以DEAC，則DEDC，DEDA1，因為DCDA1D，所以DE平面A1DC.由于A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因為A1FCD，CDDED，所以A1
12、F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(2)線段A1B上存在點Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，連結(jié)PQ，則PQBC.又因為DEBC，則DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEQP.由(1)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，所以A1CDP.又DPDED，所以A1C平面DEQP.從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點Q，使得A1C平面DEQ.規(guī)律方法1.對命題條件探索性的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性2平
13、行(垂直)中點的位置探索性問題：一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點思想與方法1證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義：a與內(nèi)任一直線都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala.2證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線垂直面面判定性質(zhì)垂直 易錯與防范1在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)
14、化2面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可課時分層訓(xùn)練(四十一)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、填空題1已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是_(填序號) 【導(dǎo)學(xué)號：62172226】且m；且m；mn且n；mn且.由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知正確2(2017徐州模擬)設(shè)l是直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是_(填序號)若l，l，則；若l，l，則；若，l，則l；若，l，則l.中，或與相交，不正確中，過直線l作平面，設(shè)l，則ll，
15、由l，知l，從而，正確中，l或l，不正確中，l與的位置關(guān)系不確定3如圖418，在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是_(填序號)圖418BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面PAE；平面PDE平面ABC.因為BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故正確在正四面體中，AEBC，PEBC，DFBC，所以BC平面PAE，則DF平面PAE，從而平面PDF平面PAE.因此均正確4設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是_(填序號)若mn，n，則m；若m，則m；若m，n，n，則m；若mn，n，則m.中，由m
16、n，n可得m或m與相交或m，錯誤；中，由m，可得m或m與相交或m，錯誤；中，由m，n可得mn，又n，所以m，正確；中，由mn，n，可得m或m與相交或m，錯誤5如圖419，在三棱錐DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是_(填序號)圖419平面ABC平面ABD；平面ABD平面BCD；平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE；平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE.因為ABCB，且E是AC的中點，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因為AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.6如圖4110所示，在四
17、棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可) 【導(dǎo)學(xué)號：62172227】圖4110DMPC(或BMPC等)由定理可知，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時，有PC平面MBD.又PC平面PCD，平面MBD平面PCD.7(2016全國卷)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)對于，可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤對于，由線面平行
18、的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正確對于，因為，所以，沒有公共點又m，所以m，沒有公共點，由線面平行的定義可知m，故正確對于，因為mn，所以m與所成的角和n與所成的角相等因為，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確8如圖4111，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長都相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是_圖4111取BC的中點E，連接AE，DE，則AE平面BB1C1C.所以ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角設(shè)三棱柱的所有棱長為a，在RtAED中，AEa，DE.所以ta
19、nADE，則ADE.故AD與平面BB1C1C所成的角為.9.如圖4112，直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長為2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1平面C1DF，則線段B1F的長為_圖4112設(shè)B1Fx，因為AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可得A1B1，設(shè)RtAA1B1斜邊AB1上的高為h，則DEh.由面積相等得2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E.由面積相等得x，得x.10.(2017南京模擬)如圖4113，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上
20、的射影，給出下列結(jié)論：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.圖4113其中正確結(jié)論的序號是_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172228】由題意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，且PAACA，BC平面PAC，BCAF.AFPC，且BCPCC，AF平面PBC，AFPB，又AEPB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF，故正確11(2017鹽城模擬)如圖4114，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設(shè)AB1的中點為D，B1CBC1E，求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.圖4114證明(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DEAC.因為DE
21、平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因為棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因為AC平面ABC，所以ACCC1.因為ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.因為BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因為BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因為AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.因為AB1平面B1AC，所以BC1AB1.12(2016蘇州期末)如圖4115，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，A1C1
22、與B1D1交于點O.(1)求證：A1，C1，F(xiàn)，E四點共面；(2)若底面ABCD是菱形，且ODA1E，求證：OD平面A1C1FE. 【導(dǎo)學(xué)號：62172229】圖4115證明(1)連結(jié)AC，因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以EF是ABC的中位線，所以EFAC.由直棱柱知AA1綊CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以ACA1C1.所以EFA1C1，故A1，C1，F(xiàn)，E四點共面(2)連結(jié)BD，因為直棱柱中DD1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，所以DD1A1C1.因為底面A1B1C1D1是棱形，所以A1C1B1D1.又DD1B1D1D1，所以A1C1平面BB1D1D
23、.因為OD平面BB1D1D，所以O(shè)DA1C1.又ODA1E，A1C1A1EA1，A1C1平面A1C1FE，A1E平面A1C1FE，所以O(shè)D平面A1C1FE.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1如圖4116，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是_(填序號)圖4116O是AEF的垂心；O是AEF的內(nèi)心；O是AEF的外心； O是AEF的重心由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA平面PEF，從而PAEF，而PO平面AEF，則POEF，因為POPAP，所以EF
24、平面PAO，所以EFAO，同理可知AEFO，AFEO，所以O(shè)為AEF的垂心2如圖4117，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當(dāng)AF_時，CF平面B1DF.圖4117a或2aB1D平面A1ACC1，CFB1D.為了使CF平面B1DF，只要使CFDF(或CFB1F)設(shè)AFx，則CD2DF2FC2，x23ax2a20，xa或x2a.3(2016四川高考)如圖4118，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.圖4118(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得
25、直線CM平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB平面PBD.解(1)取棱AD的中點M(M平面PAD)，點M即為所求的一個點理由如下：連結(jié)CM，因為ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)證明：由已知，PAAB，PACD，因為ADBC，BCAD，所以直線AB與CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.因為ADBC，BCAD，M為AD的中點，連結(jié)BM，所以BCMD，且BCMD，所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BM
26、CDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.4O的直徑AB4，點C，D為O上兩點，且CAB45，F(xiàn)為的中點沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖)圖4119(1)求證：OF平面ACD；(2)在AD上是否存在點E，使得平面OCE平面ACD？若存在，試指出點E的位置；若不存在，請說明理由解(1)證明：由CAB45，知COB90，又因為F為的中點，所以FOB45，因此OFAC，又AC平面ACD，OF平面ACD，所以O(shè)F平面ACD.(2)存在，E為AD中點，因為OAOD，所以O(shè)EAD.又OCAB且兩半圓所在平面互相垂直所以O(shè)C平面OAD.又AD平面OAD，所以ADOC，由于OE，OC是平面OCE內(nèi)的兩條相交直線，所以AD平面OCE.又AD平面ACD，所以平面OCE平面ACD.
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 第41課 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
