高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第1章 第58課 排列與組合

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1、 第58課 排列與組合 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 排列與組合 √ 1．排列與組合的概念 名稱 定義 排列 從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列 組合 并成一組 2.排列數(shù)與組合數(shù) (1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示． (2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示． 3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì) 公式 (1)A＝n(n－

2、1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝ 性質(zhì) (1)0?。?；A＝n! (2)C＝C；C＝C＋C 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(　　) (2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(　　) (3)若組合式C＝C，則x＝m成立．(　　) (4)排列定義規(guī)定給出的n個元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況．也就是說，如果某個元素已被取出，則這個元素就不再取了．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知－＝，則C＝___

3、_____. 28　[∵－＝， ∴－＝， 化簡，得m2－23m＋42＝0， 解得m＝2或m＝21(舍去) ∴C＝C＝＝28.] 3．方程3A＝2A＋6A的解為________． x＝5　[由排列數(shù)的定義可知 ，解得x≥3，且x∈N＋. ∴原方程可化為 3x(x－1)(x－2)＝2x(x＋1)＋6x(x－1)． 即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍)． ∴原方程的解為x＝5.] 4．(2016·四川高考改編)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為________． 72　[第一步，先排個位，有C種選擇； 第二步，排前4位，有A

4、種選擇． 由分步計數(shù)原理，知有C·A＝72(個)．] 5．某市委從組織機關(guān)10名科員中選3人擔(dān)任駐村第一書記，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為________． 49　[法一(直接法)：甲、乙兩人均入選，有CC種方法， 甲、乙兩人只有1人入選，有CC種方法， ∴由分類計數(shù)原理，共有CC＋CC＝49種選法． 法二(間接法)：從9人中選3人有C種方法， 其中甲、乙均不入選有C種方法， ∴滿足條件的選排方法有C－C＝84－35＝49種．] 排列應(yīng)用題 　(1)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有________

5、種． (2)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． (1)216　(2)36　[(1)第一類：甲在左端， 有A＝5×4×3×2×1＝120種方法； 第二類：乙在最左端， 有4A＝4×4×3×2×1＝96種方法， 所以共有120＋96＝216種方法． (2)記其余兩種產(chǎn)品為D，E，A，B相鄰視為一個元素，先與D，E排列，有AA種方法．再將C插入，僅有3個空位可選，共有AAC＝2×6×3＝36種不同的擺法．] [規(guī)律方法]　1.第(1)題求解的關(guān)鍵是按特殊元素甲、乙的位置進行分類．注意特殊元素(位置)優(yōu)先原則，即先排

6、有限制條件的元素或有限制條件的位置．對于分類過多的問題，可利用間接法． 2．對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法等常用的解題方法． [變式訓(xùn)練1]　在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有________種. 【導(dǎo)學(xué)號：62172318】 96　[程序A的順序有A＝2種結(jié)果，將程序B和C看作一個元素與除A外的元素排列有AA＝48種結(jié)果， 由分步乘法計數(shù)原理，實驗編排共有2×48＝96種方法．] 組合應(yīng)用題 　(1)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4

7、個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有________種． (2)(2016·全國卷Ⅲ改編)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有________個． (1)66　(2)14　[(1)共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)， ∴不同的取法共有C＋C＋CC＝66種． (2)由題意知：當(dāng)m＝4時，“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項，其中4項為0,4項為1，且必有a1＝0，a8＝1.不考慮限制條件

8、“對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)”，則中間6個數(shù)的情況共有C＝20(種)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)少于1的個數(shù)的情況有：①若a2＝a3＝1，則有C＝4(種)；②若a2＝1，a3＝0，則a4＝1，a5＝1，只有1種；③若a2＝0，則a3＝a4＝a5＝1，只有1種．綜上，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20－6＝14(種)． 故共有14個．] [規(guī)律方法]　1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。? (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題

9、型：若直接法分類復(fù)雜時，逆向思維，間接求解． 2．第(2)題是“新定義”問題，首先理解“規(guī)范01數(shù)列”的定義是解題的關(guān)鍵，注意分類討論時要不重不漏，并重視間接法的應(yīng)用． [變式訓(xùn)練2]　現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________． 472　[第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法CC＝264種．第二類，不含有紅色卡片，不同的取法C－3C＝220－12＝208種． 由分類計數(shù)原理，不同的取法共264＋208＝472種．] 排列與組合的綜合應(yīng)用 角度1　簡單的排列與組合

10、的綜合問題 　用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有________個． 120　[當(dāng)五位數(shù)的萬位為4時，個位可以是0,2，此時滿足條件的偶數(shù)共有CA＝48個；當(dāng)五位數(shù)的萬位為5時，個位可以是0,2,4，此時滿足條件的偶數(shù)共有CA＝72個， 所以比40 000大的偶數(shù)共有48＋72＝120個．] 角度2　分組分配問題 　將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，上海交通大學(xué)，浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法有________種. 【導(dǎo)學(xué)號：62172319】 150　[5名學(xué)生可分為2,2,1和3,1,1兩組

11、方式． 當(dāng)5名學(xué)生分成2,2,1時，共有CCA＝90種方法；當(dāng)5名學(xué)生分成3,1,1時，共有CA＝60種方法． 由分類加法計數(shù)原理知共有90＋60＝150種保送方法．] [規(guī)律方法]　1.解排列與組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．對于排列與組合的綜合題目，一般是先取出符合要求的元素，再對取出的元素排列． 2．(1)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法． (2)對于相同元素的“分配”問題，常用的方法是采用“隔板法”．

12、[思想與方法] 1．解有附加條件的排列與組合應(yīng)用題的三種思路： (1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先原則． (2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一． (3)解排列與組合的綜合題一般是先選再排，先分組再分配． 2．求解排列與組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．” [易錯與防范] 1．易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān)． 2．計算A時易錯算為n(n－1)(n－2)…(n－m)． 3．易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個具體的排法，不是

13、數(shù)，是一件事，而排列數(shù)是所有排列的個數(shù)，是一個正整數(shù)． 4．解組合應(yīng)用題時，應(yīng)注意“至少”“至多”“恰好”等詞的含義． 5．對于分配問題，一般是堅持先分組，再分配的原則，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏． 課時分層訓(xùn)練(二) A組　基礎(chǔ)達標(biāo) (建議用時：30分鐘) 1．(2016·江蘇高考)(1)求7C－4C的值； (2)設(shè)m，n∈N＋，n≥m，求證：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C. [解]　(1)7C－4C＝7×－4×＝0. (2)證明：當(dāng)n＝m時，結(jié)論顯然成立． 當(dāng)n>m時，(k＋1)C＝＝(m＋1)· ＝

14、(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n. 又因為C＋C＝C， 所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n. 因此，(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C＝(m＋1)C＋[(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C] ＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)] ＝(m＋1)C. 2．某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有多少種？ 【導(dǎo)學(xué)號：62172320】 [解]　贈送1本畫冊，3本集郵冊．需從4人中選取1人贈送畫冊，其余贈送集郵冊，有C種方

15、法． 贈送2本畫冊，2本集郵冊，只需從4人中選出2人贈送畫冊，其余2人贈送集郵冊，有C種方法． 由分類加法計數(shù)原理，不同的贈送方法有C＋C＝10種． 3．將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有多少種？ [解]　1個路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA種.1個路口1人，2個路口各2人的分配方法有CCA種， 由分類計數(shù)原理知，甲、乙在同一路口的分配方案為CCA＋CCA＝36種． 4．男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)至少有1名女運動員； (2)既要

16、有隊長，又要有女運動員． [解]　(1)法一：至少有1名女運動員包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男， 由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為 CC＋CC＋CC＋CC＝246(種)． 法二：“至少有1名女運動員”的反面為“全是男運動員”可用間接法求解． 從10人中任選5人有C種選法，其中全是男運動員的選法有C種． 所以“至少有1名女運動員”的選法為C－C＝246(種)． (2)當(dāng)有女隊長時，其他人選法任意，共有C種選法． 不選女隊長時，必選男隊長，共有C種選法．其中不含女運動員的選法有C種，所以不選女隊長時共有C－C種選法，所以既有隊長又有女運動員的選法共有C

17、＋C－C＝191(種)． 5．7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各有不同站法多少種？ (1)兩個女生必須相鄰而站； (2)4名男生互不相鄰； (3)老師不站中間，女生甲不站左端. 【導(dǎo)學(xué)號：62172321】 [解]　(1)∵兩個女生必須相鄰而站， ∴把兩個女生看做一個元素， 則共有6個元素進行全排列，還有女生內(nèi)部的一個排列共有AA＝1 440種站法． (2)∵4名男生互不相鄰， ∴應(yīng)用插空法， 對老師和女生先排列，形成四個空再排男生共有AA＝144種站法． (3)當(dāng)老師站左端時其余六個位置可以進行全排列共有A＝720種站法． 當(dāng)

18、老師不站左端時，老師有5種站法，女生甲有5種站法，余下的5個人在五個位置進行排列共有A×5×5＝3 000種站法．根據(jù)分類計數(shù)原理知共有720＋3 000＝3 720種站法． 6．用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有多少個？ [解]　個位、十位和百位上的數(shù)字為3個偶數(shù)的有CAC＋AC＝90(個)；個位、十位和百位上的數(shù)字為1個偶數(shù)2個奇數(shù)的有CAC＋CCAC＝234(個)，所以共有90＋234＝324(個)． B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,

19、5的五個盒子，現(xiàn)將這五個球放入五個盒子內(nèi)． (1)只有一個盒子空著，共有多少種投放方法？ (2)沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？ (3)每個盒子內(nèi)投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的，有多少種投放方法？ [解]　(1)CA＝1 200種；(2)A－1＝119種． (3)滿足的情形：第一類，五個球的編號與盒子編號全同的放法：1種； 第二類，四個球的編號與盒子編號相同的放法：0種； 第三類，三個球的編號與盒子編號相同的放法：10種； 第四類，兩個球的編號與盒子編號相同的放法，2C＝20種． 故滿足條件的放法數(shù)為：1＋10＋20＝31

20、種． 2．(1)3人坐在有八個座位的一排上，若每人的左右兩邊都要有空位，則不同坐法的種數(shù)為幾種？ (2)現(xiàn)有10個保送上大學(xué)的名額，分配給7所學(xué)校，每校至少有1個名額，問名額分配的方法共有多少種？ [解]　(1)由題意知有5個座位都是空的，我們把3個人看成是坐在座位上的人，往5個空座的空檔插，由于這5個空座位之間共有4個空，3個人去插，共有A＝24種． (2)法一：每個學(xué)校至少一個名額，則分去7個，剩余3個名額分到7所學(xué)校的方法種數(shù)就是要求的分配方法種數(shù)，分類：若3個名額分到一所學(xué)校有7種方法； 若分配到2所學(xué)校有C×2＝42種； 若分配到3所學(xué)校有C＝35種． ∴共有7＋42＋

21、35＝84種方法． 法二：10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，相當(dāng)于用6塊檔板插在9個間隔中，共有C＝84種不同方法． 所以名額分配的方法共有84種． 3．(2017·南京模擬)已知整數(shù)n≥3，集合M＝{1,2,3，…，n}的所有含有3個元素的子集記為A1，A2，A3，…，AC，設(shè)A1，A2，A3，…，AC中所有元素之和為Sn. (1)求S3，S4，S5，并求出Sn； (2)證明：S3＋S4＋…＋Sn＝6C. [解]　(1)當(dāng)n＝3時，集合M只有1個符合條件的子集， S3＝1＋2＋3＝6， 當(dāng)n＝4時，集合M每個元素出現(xiàn)了C次． S4＝C(1＋2＋3＋4)＝30. 當(dāng)n

22、＝5時，集合M每個元素出現(xiàn)了C次， S5＝C(1＋2＋3＋4＋5)＝90. 所以 ，當(dāng)集合M有n個元素時，每個元素出現(xiàn)了C，故Sn＝C·. (2)證明：因為Sn＝C·＝＝6C. 則S3＋S4＋S5＋…＋Sn＝6(C＋C＋C＋…＋C) ＝6(C＋C＋C＋…＋C)＝6C. 4．(2017·蘇州期末)如圖58-1，由若干個小正方形組成的k層三角形圖陣，第一層有1個小正方形，第二層有2個小正方形，依此類推，第k層有k個小正方形．除去最底下的一層，每個小正方形都放置在它下一層的兩個小正方形之上．現(xiàn)對第k層的每個小正方形用數(shù)字進行標(biāo)注，從左到右依次記為x1，x2，…，xk，其中xi∈{0,1}

23、(1≤i≤k)，其它小正方形標(biāo)注的數(shù)字是它下面兩個小正方形標(biāo)注的數(shù)字之和，依此規(guī)律，記第一層的小正方形標(biāo)注的數(shù)字為x0. 圖58-1 (1)當(dāng)k＝4時，若要求x0為2的倍數(shù)，則有多少種不同的標(biāo)注方法？ (2)當(dāng)k＝11時，若要求x0為3的倍數(shù)，則有多少種不同的標(biāo)注方法？ [解]　(1)當(dāng)k＝4時，第4層標(biāo)注數(shù)字依次為x1，x2，x3，x4，第3層標(biāo)注數(shù)字依次為x1＋x2，x2＋x3，x3＋x4，第2層標(biāo)注數(shù)字依次為x1＋2x2＋x3，x2＋2x3＋x4， 所以x0＝x1＋3x2＋3x3＋x4. 因為x0為2的倍數(shù)，所以x1＋x2＋x3＋x4是2的倍數(shù)，則x1，x2，x3，x4

24、四個都取0或兩個取0兩個取1或四個都取1，所以共有1＋C＋1＝8種標(biāo)注方法. (2)當(dāng)k＝11時，第11層標(biāo)注數(shù)字依次為x1，x2，…，x11，第10層標(biāo)注數(shù)字依次為x1＋x2 ，x2＋x3，…，x10＋x11，第9層標(biāo)注數(shù)字依次為x1＋2x2＋x3，x2＋2x3＋x4，…，x9＋2x10＋x11，以此類推，可得x0＝x1＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx10＋x11. 因為C＝C＝45，C＝C＝120，C＝C＝210，C＝252均為3的倍數(shù)，所以只要x1＋Cx2＋Cx10＋x11是3的倍數(shù)，即只要x1＋x2＋x10＋x11是3的倍數(shù)， 所以x1，x2，x10，x11四個都取0或三個取1一個取0，而其余七個x3，x4，…，x9可以取0或1，這樣共有(1＋C) ×27＝640種標(biāo)注方法．