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1、本章優(yōu)化總結本章優(yōu)化總結專題探究精講專題探究精講本本章章優(yōu)優(yōu)化化總總結結知識體系網絡知識體系網絡知識體系網絡知識體系網絡專題探究精講專題探究精講數列通項公式的求法數列通項公式的求法數列的通項公式是數列的重要內容之一，只要數列的通項公式是數列的重要內容之一，只要存在數列的通項公式，許多問題就可迎刃而解存在數列的通項公式，許多問題就可迎刃而解.對于等差數列和等比數列的通項公式的求解可對于等差數列和等比數列的通項公式的求解可直接使用通項公式求解，而對于非等差、等比直接使用通項公式求解，而對于非等差、等比數列的通項公式的求解可通過適當的變形、構數列的通項公式的求解可通過適當的變形、構造等，使之成為等差
2、或等比數列求解因此造等，使之成為等差或等比數列求解因此數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的關鍵，現根據數列的結構特征把常見求解方的關鍵，現根據數列的結構特征把常見求解方法和技巧總結如下：法和技巧總結如下：1觀察法觀察法就是根據數列的前幾項的變化規(guī)律，觀察歸納就是根據數列的前幾項的變化規(guī)律，觀察歸納出數列的通項公式的方法出數列的通項公式的方法 設數列設數列an的前的前n項和為項和為Sn2n2，bn為為等比數列，且等比數列，且a1b1，b2(a2a1)b1，求數列，求數列an和和bn的通項公式的通項公式【解】【解】當當n1時，時，a1S12；當當n2時
3、，時，anSnSn12n22(n1)24n2，當，當n1也適用也適用故故an的通項公式為的通項公式為an4n2，即即an是是a12，公差，公差d4的等差數列的等差數列3累加法累加法求形如求形如an1anf(n)(f(n)為等差或等比數列或為等差或等比數列或其他可求和的數列其他可求和的數列)的數列通項，可用累加法的數列通項，可用累加法求通項，即令求通項，即令n1,2,3，n1得到得到n1個個式子累加求得通項累加法是反復利用遞推關式子累加求得通項累加法是反復利用遞推關系得到系得到n1個式子累加求出通項，這種方法最個式子累加求出通項，這種方法最終轉化為求終轉化為求f(n) 的前的前n項的和，要注意求
4、和的項的和，要注意求和的技巧技巧 已知數列已知數列an中，中，a11，且，且an1an3nn，求數列，求數列an的通項公式的通項公式【解】由【解】由an1an3nn，得得anan13n1(n1)，an1an23n2(n2)，a3a2322，a2a131.【規(guī)律小結】【規(guī)律小結】對于由形如對于由形如an1anf(n)型型的遞推公式求通項公式，的遞推公式求通項公式，(1)當當f(n)d為常數時，為等差數列，則為常數時，為等差數列，則ana1(n1)d；(2)當當f(n)為為n的函數時，用累加法的函數時，用累加法方法如下：由方法如下：由an1anf(n)得得當當n2時，時，anan1f(n1)，an
5、1an2f(n2)，(3)已知已知a1a，an1anf(n)，其中，其中f(n)可以可以是關于是關于n的一次函數、二次函數、指數函數、的一次函數、二次函數、指數函數、分式函數，求通項分式函數，求通項an.若若f(n)是關于是關于n的一次函數，累加后可轉化的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；為等差數列求和；若若f(n)是關于是關于n的二次函數，累加后可分組的二次函數，累加后可分組求和；求和；若若f(n)是關于是關于n的指數函數，累加后可轉化的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；為等比數列求和；若若f(n)是關于是關于n的分式函數，累加后可裂項的分式函數，累加后可裂項求和求和4累乘法累乘法若
6、數列若數列an能寫成能寫成anan1f(n1)(n2)的形式的形式,則可由則可由anan1f(n1)，an1an2f(n2)，an2an3f(n3)，a2a1f(1)連乘求得通連乘求得通項公式累乘法是反復利用遞推關系得到項公式累乘法是反復利用遞推關系得到n1個式子累乘求出通項，這種方法最終轉化為求個式子累乘求出通項，這種方法最終轉化為求f(n)的前的前n1項的積，要注意求積的技巧項的積，要注意求積的技巧 已知數列已知數列an滿足滿足an12nan，且，且a11,求求an.數列求和的常用方法數列求和的常用方法數列的求和是數列運算中的重要內容，對于等數列的求和是數列運算中的重要內容，對于等差數列和
7、等比數列可直接利用公式計算，對于差數列和等比數列可直接利用公式計算，對于有具體特征的非等差、等比數列可轉化為等差有具體特征的非等差、等比數列可轉化為等差數列或等比數列的形式，再求其前數列或等比數列的形式，再求其前n項和常用項和常用的求和方法有公式法、分組法、裂項相消法、的求和方法有公式法、分組法、裂項相消法、倒序相加法、錯位相減法等，解題時要認真研倒序相加法、錯位相減法等，解題時要認真研究數列通項的特點，從而確定恰當的求和方法究數列通項的特點，從而確定恰當的求和方法.1裂項相消法裂項相消法對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數列，對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數列，在求和時常用在求和時常用“
8、裂項法裂項法”，分式的求和多利，分式的求和多利用此法可用待定系數法對通項公式進行拆用此法可用待定系數法對通項公式進行拆項，相消時應注意消去項的規(guī)律，即消去哪項，相消時應注意消去項的規(guī)律，即消去哪些項，保留哪些項常見的拆項公式有：些項，保留哪些項常見的拆項公式有：2分組法分組法如果一個數列的每一項都是由幾個獨立的項如果一個數列的每一項都是由幾個獨立的項組合而成，并且各獨立項可組成等差或等比組合而成，并且各獨立項可組成等差或等比數列，則可利用其求和公式分別求和，從而數列，則可利用其求和公式分別求和，從而得到原數列的和得到原數列的和3倒序相加法倒序相加法若所給數列若所給數列an中與首、末項等距的兩項
9、之和中與首、末項等距的兩項之和相等，則把所給數列按下標從小到大的順序書相等，則把所給數列按下標從小到大的順序書寫和的等式，再按下標從大到小的順序書寫和寫和的等式，再按下標從大到小的順序書寫和的等式，再把這兩個等式左右兩邊相加即得數的等式，再把這兩個等式左右兩邊相加即得數列的前列的前n項和此種方法通稱為倒序相加法項和此種方法通稱為倒序相加法.例例如：等差數列前如：等差數列前n項和公式的推導方法項和公式的推導方法.【思路點撥】【思路點撥】本題是求函數值的和，通過本題是求函數值的和，通過對其解析式的研究，尋找它們的規(guī)律然后解對其解析式的研究，尋找它們的規(guī)律然后解題題.【名師點評】【名師點評】倒序相加法是等差數列前倒序相加法是等差數列前n項項和公式的推導方法，即將和公式的推導方法，即將Sn倒寫后再與倒寫后再與Sn相相加，從而達到加，從而達到(化多為少化多為少)求和的目的常用于求和的目的常用于組合數列求和組合數列求和
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