河北省保定市物探中心學校第一分校高中數(shù)學 3.1.2復數(shù)的幾何意義課件 蘇教版選修22

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1、 3.1.2 3.1.2復數(shù)的幾復數(shù)的幾何意義何意義xo1實數(shù)可以用實數(shù)可以用數(shù)軸數(shù)軸上的點來表示。上的點來表示。一一對應一一對應 規(guī)定了正方向，規(guī)定了正方向，直線直線數(shù)軸數(shù)軸原點，原點，單位長度單位長度實數(shù)實數(shù) 數(shù)軸數(shù)軸上的點上的點 (形形)(數(shù)數(shù))(幾何模型幾何模型)復數(shù)復數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對(a,b)直角坐標系中的點直角坐標系中的點Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角坐標建立了平面直角坐標系來表示復數(shù)的平面系來表示復數(shù)的平面x軸軸-實軸實軸y軸軸-虛軸虛軸（數(shù)）（數(shù)）（形）（形）-復數(shù)平面復數(shù)平面 (簡稱簡稱復平面復平面)一一對應一一對應z=a+bi(A)在復

2、平面內(nèi)，對應于實數(shù)的點都在實軸上；在復平面內(nèi)，對應于實數(shù)的點都在實軸上；(B)在復平面內(nèi)，對應于純虛數(shù)的點都在虛軸上；在復平面內(nèi)，對應于純虛數(shù)的點都在虛軸上；(C)在復平面內(nèi)，實軸上的點所對應的復數(shù)都是實數(shù)；在復平面內(nèi)，實軸上的點所對應的復數(shù)都是實數(shù)；(D)在復平面內(nèi)，虛軸上的點所對應的復數(shù)都是純虛數(shù)在復平面內(nèi)，虛軸上的點所對應的復數(shù)都是純虛數(shù).下列命題中的假命題是（下列命題中的假命題是（ ）D D復數(shù)復數(shù)z=z=a+bia+bi直角坐標系中的點直角坐標系中的點Z(a,bZ(a,b) )一一對應一一對應平面向量平面向量OZ 一一對應一一對應一一對應一一對應xyobaZ(a,b)z=a+bi例例

3、1 已知復數(shù)已知復數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平在復平面面內(nèi)所對應的點位于第二象限，求實數(shù)內(nèi)所對應的點位于第二象限，求實數(shù)m的取值的取值范圍范圍. 表示復數(shù)的點所表示復數(shù)的點所在象限的問題在象限的問題復數(shù)的實部與虛部所滿復數(shù)的實部與虛部所滿足的不等式組的問題足的不等式組的問題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(幾何問題幾何問題)(代數(shù)問題代數(shù)問題)一種重要的數(shù)學思想：一種重要的數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想 020622mmmm解：由解：由 1223mmm或或得得)2 , 1 ()2, 3(m例例1 已知復數(shù)已知復數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平面在復平面內(nèi)所對應的點位于第二象限，

4、求實數(shù)內(nèi)所對應的點位于第二象限，求實數(shù)m允許的允許的取值范圍取值范圍. 變式：變式：證明對一切證明對一切m m，此復數(shù)所對應的點不，此復數(shù)所對應的點不可能位于第四象限可能位于第四象限. .點位于第四象限，點位于第四象限，證明：若復數(shù)所對應的證明：若復數(shù)所對應的 020622mmmm則則 1123mmm或或即即不等式解集為空集不等式解集為空集所以復數(shù)所對應的點不可能位于第四象限所以復數(shù)所對應的點不可能位于第四象限.變式二：已知復數(shù)變式二：已知復數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平面內(nèi)所對應的點在在復平面內(nèi)所對應的點在直線直線x-2y+4=0上，求實數(shù)上，求實數(shù)m的值。的值。 解：解：

5、復數(shù)復數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平面在復平面內(nèi)所對應的點是（內(nèi)所對應的點是（m2+m-6，m2+m-2） (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 m=1或或m=-2實數(shù)絕對值的實數(shù)絕對值的幾何意義幾何意義:能否把絕對值概念推廣到復數(shù)范圍呢？能否把絕對值概念推廣到復數(shù)范圍呢？XOAa| a | = | OA | 實數(shù)實數(shù)a在數(shù)軸上所在數(shù)軸上所對應的點對應的點A到原點到原點O的距離。的距離。xOz=a+biy| z | = |OZ|復數(shù)的絕對值復數(shù)的絕對值 復數(shù)復數(shù) z=z=a+ +bi i在復在復平面上對應的點平面上對應的點Z(a,b)到原點的距離。到原點的距離。(復數(shù)

6、的模復數(shù)的模)的幾何意義的幾何意義:Z (a,b) )a(a)a(a0022ba xyO設(shè)設(shè)z=z=x+yi(x,yRx+yi(x,yR) )滿足滿足|z|=5(zC)的的復數(shù)復數(shù)z對應的點在復平面上將構(gòu)對應的點在復平面上將構(gòu)成怎樣的圖形？成怎樣的圖形？5555522 yx|z|2522 yx圖形圖形: :以原點為圓心以原點為圓心,5,5為半徑的為半徑的圓上圓上例例2.設(shè)設(shè) z C , 滿足下列條件的點滿足下列條件的點 z 的集合的集合是什是什么圖形么圖形?(1)|z|=4; (2)2|z|4.xyoxyo例例3.若復數(shù)若復數(shù)z對應點集為圓對應點集為圓: Ry,x,)y()x( )y,x( 1

7、3122試求試求z的最大值與最小值的最大值與最小值.xyoo121131 例例4:求下列復數(shù)的模：求下列復數(shù)的模：(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0)( 5 )( 5 )(25)m(21 (5a )一一. 數(shù)學知識：數(shù)學知識：二二. 數(shù)學思想：數(shù)學思想：(1)復數(shù)相等復數(shù)相等(2)復平面復平面(3)復數(shù)的模復數(shù)的模(3)類比思想類比思想(2)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想(1)轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想小結(jié)：小結(jié)：xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)OZOZ1 1 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合

8、符合向量向量加法加法的平的平行四行四邊形邊形法則法則.1.1.復數(shù)復數(shù)加法加法運算的幾何意義運算的幾何意義? ?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)復數(shù)復數(shù)z2z1向量向量Z1Z2符合符合向量向量減法減法的三的三角形角形法則法則.2.2.復數(shù)復數(shù)減法減法運算的幾何意義運算的幾何意義? ?表示復平面上兩點表示復平面上兩點Z Z1 1 ,Z,Z2 2的距離的距離(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)| 已知復數(shù)已知復數(shù)z z對應點對應點, ,說明下列各說明下列各式所表示的幾何意義式所表示的幾何意義. .點到點點到點(1,2)(1,2)的距離

9、的距離點到點點到點( (1, 1, 2)2)的距離的距離(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|點到點點到點(1,0)的距離的距離點到點點到點(0, 2)的距離的距離xyO設(shè)設(shè)z=z=x+yi(x,yRx+yi(x,yR) )滿足滿足|z|=2|z|=2(zC)(zC)的的復復數(shù)數(shù)z z對應的點在復平面對應的點在復平面上將構(gòu)成怎樣的圖形？上將構(gòu)成怎樣的圖形？222222|2zxy224xy圖形圖形: :以原點為圓心以原點為圓心,2,2為半徑的為半徑的圓圓2.也可用復數(shù)模的幾何意義直接得到。也可用復數(shù)模的幾何意義直接得到。5xyO設(shè)設(shè)z=x+yi(x,yR)滿足滿足3|z

10、|5(zC)的的復復數(shù)數(shù)z對應的點在復平面對應的點在復平面上將構(gòu)成怎樣的圖形？上將構(gòu)成怎樣的圖形？555533335322 yx25922 yx圖形圖形: :以原點為圓心以原點為圓心, , 半徑半徑3 3至至5 5的的圓環(huán)內(nèi)圓環(huán)內(nèi)變變 式式: :3.3.若若|34 | 2zi ,則則z的最大值是的最大值是_Oxy43C.ZZ52變式變式:z的最小值是的最小值是_,則 的最小值是_4.若復數(shù)若復數(shù) Z 滿足滿足1zi 2z iz i Oyx11. Z1A.Z5.2zz滿足的復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是的復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是_Z.A2Oxy方程方程x=1所表示的直線所表示的直線共同探究

11、：共同探究：已知已知zC,|z|=1,設(shè)設(shè)u=(3+4i)z+(3-4i)z.證明證明:u是實數(shù)是實數(shù)求求u的最大值與最小值的最大值與最小值.設(shè)設(shè)zC,且且 是純虛數(shù)是純虛數(shù),求求|z+i|的最大值的最大值.1zz共同探究：共同探究：鞏固練習與作業(yè)鞏固練習與作業(yè)1.設(shè)設(shè)zC,則方程則方程|z-i|-|z+i|=2所表示的圖形是所表示的圖形是_2.若復數(shù)若復數(shù)z滿足滿足|z+1|+|z-1|=2,則則|z+1+i|的最大值是的最大值是_3.已知復數(shù)已知復數(shù)z1=-1+2i,z2=1-I,z3=3-2i,它們所對應的點分它們所對應的點分別為別為A,B,C.若若,OCxOAyOB 則則x+y的值為的值為_4.若復數(shù)若復數(shù)z滿足滿足1,22,zRzz且則復數(shù)則復數(shù)z=_