高考數(shù)學 三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題23 參數(shù)方程和極坐標方程選修2 Word版含解析

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1、 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標全國】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為. （Ⅰ）把的參數(shù)方程化為極坐標方程； （Ⅱ）求與交點的極坐標（）. 【解析】（1）先利用參數(shù)方程得到C1的一般方程，進而得到極坐標方程；（2）聯(lián)立求出交點坐標，進而求出極坐標. 2.【20xx高考全國1第23題】已知曲線，直線：（為參數(shù)）. （I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程； （II）過曲線上任意一點作與夾角為的直線，交于點，的最大值與最小值． 【解析】（I）曲線C的參數(shù)方程

2、為（為參數(shù)）．直線的普通方程為． （II）曲線C上任意一點到的距離為．則 ．其中為銳角，且． 當時，取到最大值，最大值為． 當時，取到最小值，最小值為． 3．【20xx全國Ⅱ】在直線坐標系中，曲線：（為參數(shù)，） 其中.在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線：，：. (1)求與交點的直角坐標； (2)若與相交于點，與相交于點，求的最大值. 4.【20xx全國Ⅰ】在直角坐標系中，直線：， 圓：，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求的極坐標方程. (2)若直線的極坐標方程為，設與的交點為，求的面積. 解析（1）由：，可得極坐標方程為， 由：

3、， 得極坐標方程為． 【熱點深度剖析】 20xx年高考主要考查圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，普通方程與極坐標方程互化，極坐標方程與普通方程互化，主要考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力. 20xx年高考考查了橢圓和直線的參數(shù)方程，點到直線的距離公式，解直角三角形．20xx年考查了直角坐標與極坐標方程的互化、圓的幾何性質(zhì)、三角函數(shù)的最值 從三年試題來看，高考對這部分要求不是太高，要求會參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與普通方程互化，主要考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，利用參數(shù)方程研究軌跡問題. 預測20xx年高考仍然考查圓，直線，橢圓的參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與普通方程互化，重點是直線和圓

4、的參數(shù)方程，極坐標方程，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力． 【重點知識整合】 1．極坐標和直角坐標的互化公式 若點M的極坐標為(ρ，θ)，直角坐標為(x，y)，則.求曲線的極坐標方程f(ρ，θ)＝0的步驟與求曲線的直角坐標方程步驟完全相同．特別注意的是求極坐標方程時，常常要解一個三角形． (4)極坐標方程ρ＝ρ(θ)表示的平面圖形的對稱性： 若ρ(－θ)＝ρ(θ)，則圖形關于極軸對稱； 若ρ(π－θ)＝ρ(θ)，則圖形關于射線θ＝對稱； 若ρ(π＋θ)＝ρ(θ)，則圖形關于極點對稱． 2.特殊的常見曲線(包括直線)的極坐標方程 ①圓心在極軸上點C(a,0)，過極點的圓方程ρ＝2aco

5、sθ. ②圓心在極點、半徑為r的圓的極坐標方程ρ＝r. ③圓心在處且過極點的圓方程為ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)． ④過極點傾角為α的直線的極坐標方程為： θ＝α或θ＝π＋α. ⑤過A(a,0)(a>0)與極軸垂直的直線ρcosθ＝a. ⑥過A(a>0)與極軸平行的直線ρsinθ＝a. 3.參數(shù)方程的概念 在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)(*)，并且對于t的每一個允許值，由方程組(*)所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，而這條曲線上任一點M(x，y)都可以通過(*)式得到，則方程組(*)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參數(shù)這時，參數(shù)

6、t的幾何意義是：以直線l上點M(x0，y0)為起點，任意一點N(x，y)為終點的有向線段的數(shù)量為MN且|t|＝|MN|. 4．圓的參數(shù)方程 (1)圓心在原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))； (2)圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 5．參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)化參數(shù)方程為普通方程：消去參數(shù)．常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法． (2)化普通方程為參數(shù)方程：引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個關系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．

7、 【應試技巧點撥】 1.極坐標與直角坐標的互化 (1)極坐標與直角坐標互化的前提條件：①極點與原點重合；②極軸與x軸正向重合；③取相同的單位長度． (2)直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式及直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如，，的形式，進行整體代換． 2.求曲線的極坐標方程 求曲線的極坐標方程的步驟：(1)建立適當?shù)臉O坐標系，設是曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關系式；(3)將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程． 3.參數(shù)方程與普通方程的互化

8、 在求出曲線的參數(shù)方程后，通常利用消參法得出普通方程．一般地，消參數(shù)經(jīng)常采用的是代入法和三角公式法，但將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，不只是把其中的參數(shù)消去，還要注意x，y的取值范圍在消參前后應該是一致的，也就是說，要使得參數(shù)方程與普通方程等價，即它們二者要表示同一曲線． 4.直線的參數(shù)方程及應用 根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中的幾何意義，有如下常用結(jié)論： (1)直線與圓錐曲線相交，交點對應的參數(shù)分別為，則弦長； (2)定點是弦的中點?； (3)設弦中點為，則點對應的參數(shù)值 (由此可求及中點坐標)． 5.圓與圓錐曲線的參數(shù)方程及應用 解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關的綜合問題時，要

9、注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關的問題，如最值、范圍等． 【考場經(jīng)驗分享】 1．在極坐標系中，如無特別說明時，，；點的極坐標不惟一，若規(guī)定,，則極坐標系中的點與點的極坐標形成一一對應關系(極點除外)； 曲線上的點的極坐標不一定滿足曲線的極坐標方程，但曲線上一點P的無數(shù)個極坐標中必有一個適合曲線的極坐標方程． 2．極坐標方程表示一條射線并非直線，只有當允許時，才表示一條直線． 3．只有在a2＋b2＝1時，直線(t為參數(shù))中的參數(shù)t才表示由M(x0，y0)指向N(x，y)的有向線段的數(shù)量，而在a2＋b2≠1時，|MN|＝·t. 4．消參后應將

10、原參數(shù)的取值范圍相應地轉(zhuǎn)化為變量x(或y)的取值范圍． 【名題精選練兵篇】 1.【20xx廣西桂林市、北海市、崇左市3月聯(lián)合調(diào)研】已知曲線的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）． （1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程； （2）若直線與曲線相交于、兩點,且,求直線的傾斜角的值． 2.【20xx吉林長春質(zhì)量監(jiān)測（二）】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)）,以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為. （1）求曲線的直角坐標方程,并指出其表示何種曲線； （2）若曲線與曲線交于,兩點,

11、求的最大值和最小值. 【解析】(1) 對于曲線有,即,因此曲線的直角坐標方程為,其表示一個圓. (2) 聯(lián)立曲線與曲線的方程可得：, , 因此的最小值為,最大值為8. 3.【20xx年安徽省“江南十?！甭?lián)考】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知在極坐標系中,,圓的方程為 （Ⅰ）求在平面直角坐標系中圓的標準方程； （Ⅱ）已知為圓上的任意一點,求面積的最大值. 4.【20xx河南新鄉(xiāng)許昌平頂山二調(diào)】 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）,曲線C2的參數(shù)方程為 （β為參數(shù)）,以O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

12、 （Ⅰ）求曲線C1和曲線C2的極坐標方程； （Ⅱ）已知射線l1：θ＝α（）將射線l1順時針旋轉(zhuǎn)得到射線l2：θ＝α－, 且射線l1與曲線C1交于O、P兩點,射線l2與曲線C2交于O、Q兩點,求｜OP｜·｜OQ｜的 最大值． 【解析】（1）曲線的直角坐標方程為,所以極坐標方程為 曲線的直角坐標方程為,所以極坐標方程為 （2）設點極點坐標,即 點極坐標為 即 則= ,, 當即時,取最大值4． 5.【20xx福建4月質(zhì)檢】在直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系中,直線的極坐標方

13、程為. (Ⅰ)求C的普通方程和直線的傾斜角； (Ⅱ)設點P(0,2),和C交于A,B兩點,求. 即（為參數(shù)）,代入并化簡,得． ． 設兩點對應的參數(shù)分別為, 則, 所以所以．　 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）直線的普通方程為. 由消去得, 于是. 設,則,所以. 故 6.【2106遼寧省沈陽質(zhì)量監(jiān)測（一）】在以直角坐標原點為極點,的非負半軸為極軸的極坐標系下,曲線的方程是,將向上平移1個單位得到曲線. (Ⅰ)求曲線的極坐標方程； (Ⅱ)若曲線的切線交曲線于不同兩點,切點為.求的取值范圍. (Ⅱ)由題令,,切線的傾斜角為,所以切線的參數(shù)方程為: (為參

14、數(shù)). 聯(lián)立的直角坐標方程得, , 即由直線參數(shù)方程中,的幾何意義可知, ,因為所以. 此題也可根據(jù)圖形的對稱性推出答案,此種方法酌情給分. 7.【20xx年安慶二?！吭谄矫嬷苯亲鴺讼抵?以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù),為直線的傾斜角）． （I）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程； （II）若直線與曲線有唯一的公共點,求角的大小． 【解析】（Ⅰ）當時,直線的普通方程為； 當時,直線的普通方程為. 由,得, 所以,即為曲線的直角坐標方程.

15、 （Ⅱ）把,代入,整理得. 由,得,所以或, 故直線傾斜角為或. 8.【20xx甘肅蘭州實戰(zhàn)考試,理23】 所以. 9. 【20xx屆陜西省寶雞市九校高三聯(lián)合檢測】坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）.以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系. （Ⅰ）求圓C的極坐標方程； （Ⅱ）射線與圓C的交點為O、P兩點，求P點的極坐標. 10. 【20xx屆河北省唐山市高三第一次模擬】已知橢圓C：，直線（t為參數(shù)）. （Ⅰ）寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線的普通方程； （Ⅱ）設，若

16、橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線的距離相等，求點P的坐標. 【解析】（Ⅰ）C：（θ為參數(shù)），l：x－y＋9＝0． （Ⅱ）設,則，P到直線l的距離．由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得，．故． 11. 【20xx屆河北唐山市高三上學期期末考試】極坐標系的極點為直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同. 已知曲線C的極坐標方程為，斜率為的直線交y軸于點. （1）求C的直角坐標方程，的參數(shù)方程； （2）直線與曲線C交于A、B兩點，求. 【解析】（Ⅰ）由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ

17、)，即x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1) 2＋(y－1) 2＝2．直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù), t∈R） （Ⅱ）將，代入(x－1) 2＋(y－1) 2＝2得t2－t－1＝0，解得，，則 |EA|＋|EB|＝| t1|＋| t2|＝|t1－t2|＝． 12．已知圓錐曲線（為參數(shù)）和定點，、是此圓錐曲線的左、右焦點，以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系． （1）求直線的直角坐標方程； （2）經(jīng)過點且與直線垂直的直線交此圓錐曲線于、兩點，求的值． 13 ．已知曲線的極坐標方程為，以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸建立 平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)） （1）把曲

18、線的極坐標方程化為直角坐標方程，把直線的參數(shù)方程化為普通方程； （2）求直線被曲線截得的線段的長. 14．已知曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）． （Ⅰ）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程； （Ⅱ）設直線與軸的交點是，是曲線上一動點，求的最大值． 【解析】（Ⅰ）曲線的極坐標方程可化為， 又， 所以曲線的直角坐標方程為， （Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標方程，得，令，得，即點的坐標為（2，0）． 又曲線為圓，圓的圓心坐標為（1，0），半徑，則，所以. 15. 在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：，過點P（-2，-4）的直線的

19、參數(shù)方程為（t為參數(shù)）與C分別交于M，N. （1）寫出C的平面直角坐標系方程和的普通方程； （2）若，，成等比數(shù)列，求a 的值. 【解析】（1）曲線C的直角坐標方程為；直線的普通方程為. （2）將直線1的參數(shù)方程與C的直角坐標方程聯(lián)立，得 .設點M，N分別對應參數(shù)t1，t2，恰為上述方程的根.則，，.由題設得，即.由（*）得，，則有，得，或.因為，所以. 16. 已知曲線C： （t為參數(shù)）， C：（為參數(shù)）. （1）分別求出曲線C，C的普通方程； （2）若C上的點P對應的參數(shù)為，Q為C上的動點，求中點到直線 （t為參數(shù)）距離的最小值及此時Q點坐標． 【名師

20、原創(chuàng)測試篇】 1．在直角坐標系中，以原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為． 求曲線的直角坐標方程與曲線的普通方程； 試判斷曲線與是否存在兩個交點？若存在，求出兩交點間的距離；若不存在，說明理由． 【解析】 (1) 對于曲線：，得，故有，對于曲線：，消去參數(shù)得. (2) 顯然曲線：為直線，則其參數(shù)方程可寫為（為參數(shù)），與曲線：聯(lián)立方程組得，可知，所以與存在兩個交點， 由，，得. 2. 已知曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）． （Ⅰ）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程； （Ⅱ）設直線與軸的交點是，是曲線上一動點，求的最

21、大值． 3. 已知曲線的參數(shù)方程： （為參數(shù)）, 曲線上的點對應的參數(shù)，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系． (Ⅰ)求曲線的極坐標方程； （Ⅱ）已知直線過點，且與曲線于兩點，求的范圍． 【解析】(Ⅰ)將點和代入曲線的參數(shù)方程：中得，，所以，，所以曲線的參數(shù)方程為，化為普通方程為，所以曲線的極坐標方程． （Ⅱ）設直線參數(shù)方程為直線的參數(shù)方程：，代入到曲線方程里，得到，，由韋達定理可得到，因為，所以 4. 已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合．曲線C的極坐標方程為，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t∈R)．試在曲線C上求一點M，使它到直線l的距離最大

22、． 5. 以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），圓的極坐標方程是. （Ⅰ）求直線的方程和圓的直角坐標方程； （Ⅱ）求直線被圓截得的弦長． 6. 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，曲線D的參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （Ⅰ）把C的極坐標方程化為直角坐標方程； （Ⅱ）判定曲線C與曲線D間的位置關系． 【解析】（Ⅰ）由得，將，代入得，即為曲線C的普通方程． （Ⅱ）由（1）知曲線C的直角坐標方程為：，即， 是圓心C(1,1)，半徑=的圓．將曲線D的參數(shù)方程化為普通方程為，曲線D是圓心D(,1)，半徑=，∴＜=＜，∴兩圓相交．