備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 回扣突破30練 第21練 圓錐曲線的綜合應(yīng)用 理

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1、 第21練圓錐曲線的綜合應(yīng)用【理】 一.題型考點對對練 1.(直線與圓錐曲線的位置關(guān)系)【黑龍江省齊齊哈爾2018屆模擬】已知橢圓,過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點,其中點是橢圓的上頂點,橢圓的左頂點為,直線分別與直線相交于兩點.則( ) A. B. C. D. 【答案】B 本題選擇B選項. 2.(圓錐曲線中的范圍、最值問題)已知雙曲線右焦點為F,P為雙曲線左支上一點,點,則周長的最小值為 A. (B) C. (D) 【答案】A 3.(圓錐曲線中的定值、定點、存在性問題)如圖, 為橢圓長軸的左、右

2、端點, 為坐標(biāo)原點, 為橢圓上不同于的三點,直線圍成一個平行四邊形,則( ) A. 14 B. 12 C. 9 D. 7 【答案】A 【解析】設(shè), 斜率分別為,則的斜率為,且,所以,同理,因此 .故選A. 4.(軌跡與軌跡方程)已知點,直線,直線垂直于點,線段的垂直平分線交于點. (1)求點的軌跡的方程; (2)已知點,過且與軸不垂直的直線交于兩點,直線分別交于點,求證:以為直徑的圓必過定點. (2)由題意可設(shè)直線,代入,得, 設(shè),則;又,設(shè)直線的斜率分別為,則,設(shè), 令,得,同理,得,從而; .又以為直徑的圓的方程為: ,即,即,令,解

3、得或,從而以為直徑的圓恒過定點和. 5.(直線與圓錐曲線的位置關(guān)系)【2018屆南京市聯(lián)考】已知橢圓: 的右焦點為,過作直線(不過原點)交橢圓于兩點,若的中點為,直線交橢圓的右準(zhǔn)線于 (1)若直線垂直軸時, ,求橢圓的離心率; (2)若橢圓的離心率,當(dāng)直線斜率存在時設(shè)為,直線的斜率設(shè)為,試求的值。 6. (圓錐曲線中的范圍、最值問題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓W: 的離心率為,直線l:y=2上的點和橢圓W上的點的距離的最小值為1. (Ⅰ) 求橢圓W的方程; (Ⅱ) 已知橢圓W的上頂點為A,點B,C是W上的不同于A的兩點,且點B,C關(guān)于原點對稱,直線AB,AC分別交直線l

4、于點E,F(xiàn).記直線與的斜率分別為, . ① 求證: 為定值; ② 求△CEF的面積的最小值. 證法二:直線AC的方程為, 由得, 解得,同理,因為B,O,C三點共線,則由, 整理得,所以. ②直線AC的方程為,直線AB的方程為,不妨設(shè),則, 令y=2,得,而, 所以,△CEF的面積 . 由得,則 ,當(dāng)且僅當(dāng)取得等號,所以△CEF的面積的最小值為. 7. (圓錐曲線中的范圍、最值問題)如圖,過橢圓: 的左右焦點分別作直線, 交橢圓于與,且. (1)求證:當(dāng)直線的斜率與直線的斜率都存在時, 為定值; (2)求四邊形面積的最大值. (2)當(dāng)?shù)膬A斜角為時,

5、與重合,舍去.當(dāng)?shù)膬A斜角不為0時,由對稱性得四邊形為平行四邊形, ,設(shè)直線的方程為,代入,得.顯然, , .所以,設(shè),所以, .所以.當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以.所以平行四邊形面積的最大值為. 8.(圓錐曲線中的定值、定點、存在性問題)已知的頂點,點在軸上移動, ,且的中點在軸上. (Ⅰ)求點的軌跡的方程; (Ⅱ)已知過的直線交軌跡于不同兩點, ,求證: 與, 兩點連線, 的斜率之積為定值. 由得,所以, ,,同理,,所以與, 兩點連線的斜率之積為定值4. 9. (圓錐曲線中的定值、定點、存在性問題)【江蘇省如東2018屆期中】已知橢圓的離心率為,其左、右焦點分別為,點是坐標(biāo)平面

6、內(nèi)一點,且, (為坐標(biāo)原點). (1)求橢圓的方程; (2)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點,在軸上是否存在定點,使以為直徑的圓恒過該點?若存在,求出點的坐標(biāo),若不存在,說明理由. 【解析】(1)設(shè), , ,則由,得; 由得,即.所以. 又因為,所以.因此所求橢圓的方程為: . (2)設(shè)動直線的方程為: ,由得. 設(shè), ,則, .假設(shè)在軸上是否存在定點,滿足題設(shè),則, . ,由假設(shè)得對于任意的, 恒成立,即解得.因此,在軸上存在定點,使以為直徑的圓恒過該點,點的坐標(biāo)為. 二.易錯問題糾錯練 10.(忽略軌跡的純粹性)如圖,拋物線: 與圓: 相交于, 兩點,且點的橫坐標(biāo)

7、為.過劣弧上動點作圓的切線交拋物線于, 兩點,分別以, 為切點作拋物線的切線, , 與相交于點. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求動點的軌跡方程. 【解析】(Ⅰ)由點的橫坐標(biāo)為,可得點的坐標(biāo)為,代入,解得 (Ⅱ)利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,可知方程為,其中, 滿足, ,再利用中點公式,可知滿足,代入得,考慮到,知,動點的軌跡方程為, . 【注意問題】求出軌跡方程后注意范圍,不符合的點. 11. (忽略對直線斜率不存在的情況)已知動圓過定點,并且內(nèi)切于定圓. (1)求動圓圓心的軌跡方程; (2)若上存在兩個點,(1)中曲線上有兩個點,并且三點共線, 三點共線, ,求四邊形的面積的最

8、小值. (2)當(dāng)直線斜率不存在時,直線的斜率為0,易得,四邊形的面積. 當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)其方程為,聯(lián)立方程得 ,消元得 設(shè),則, ∵,∴直線的方程為,,得 設(shè),則, 四邊形的面積, 令, ,上式, 令, (),∴,∴,綜上可得,最小值為8. 【注意問題】設(shè)直線方程時,用到斜率需討論率不存在時. 12.(直線與圓錐曲線有兩個交點忽略)已知橢圓: 的上下兩個焦點分別為, ,過點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點, 的面積為,橢圓的離心力為. (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點,直線: 與軸交于點,與橢圓交于, 兩個不同的點,若存在實數(shù),使得,求的取值范圍.

9、 【解析】(Ⅰ)根據(jù)已知橢圓的焦距為,當(dāng)時, ,由題意的面積為,由已知得,∴,∴,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 且, ,由,得,即,∴,∴,即. 當(dāng)時, 不成立,∴,∵,∴,即,∴,解得或.綜上所述, 的取值范圍為. 【注意問題】在解直線與二次曲線位置關(guān)系是,需考慮直線與二次曲線有有兩個交點即. 三.新題好題好好練 13. 【四川省成都市2018屆一診】已知兩點分別在軸和軸上運動,且,若動點滿足 (1)求出動點的軌跡對應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)直線與曲線交于兩點, ,試問:當(dāng)變化時,是否存在一直線,使得面積為?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由. (2)由方程組得

10、設(shè)則 所以 因為直線過點,所以的面積,令則不成立,不存在直線滿足題意. 14. 【2018屆遼寧省沈陽聯(lián)考】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: ()的離心率是,拋物線: 的焦點是的一個頂點. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)是上動點,且位于第一象限, 在點處的切線與交于不同的兩點, ,線段的中點為,直線與過且垂直于軸的直線交于點. (i)求證:點在定直線上; (ii)直線與軸交于點,記的面積為, 的面積為,求的最大值及取得最大值時點的坐標(biāo). ,由,得且,因此,將其代入得,因為,所以直線方程為.聯(lián)立方程,得點的縱坐標(biāo)為,即點在定直線上 (Ⅱ)由(Ⅰ)知直線方程為,令得,所以, 又 ,所以, ,所以, 令,則,當(dāng),即時, 取得最大值,此時,滿足,所以點的坐標(biāo)為,因此的最大值為,此時點的坐標(biāo)為 16.已知點是長軸長為的橢圓: 上異于頂點的一個動點, 為坐標(biāo)原點, 為橢圓的右頂點,點為線段的中點,且直線與的斜率之積恒為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)過左焦點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點,線段的垂直平分線與軸交于點,點橫坐標(biāo)的取值范圍是,求的最小值. 設(shè), 中點,∴. ∴ ∴的垂直平分線方程為,令,得 ∵,∴,∴. , . - 15 -

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