【創(chuàng)新設計】2015年高考數(shù)學（人教A版理）一輪復習配套講義：第2篇 第1講 函數(shù)的概念及其表示

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1、 第1講　函數(shù)的概念及其表示 [最新考綱] 1．了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念． 2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)． 3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應用. 知 識 梳 理 1．函數(shù)的基本概念 (1)函數(shù)的定義 一般地，設A，B是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應；那么就稱：f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作y＝f(x)，x∈A. (2)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x

2、叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域． (3)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應關系． (4)表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖象法． (5)分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)． 2．函數(shù)定義域的求法 類型 x滿足的條件 ，n∈N* f(x)≥0 與[f(x)]0 f(x)≠0 logaf(x

3、) f(x)＞0 四則運算組成的函數(shù) 各個函數(shù)定義域的交集 實際問題 使實際問題有意義 3．函數(shù)值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y∈ 性質法 y＝ex y∈(0，＋∞) 單調性法 y＝x＋ y∈[2，＋∞) 換元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 分離常數(shù)法 y＝ y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) 辨 析 感 悟 1．對函數(shù)概念的理解． (1)(教材習題改編)如圖： 以x為自變量的函數(shù)的圖象為②④.(√) (2)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一函數(shù)．(×) 2．函數(shù)的定義域、值域的求法 (

4、3)(2013·江西卷改編)函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為(0,1)．(×) (4)(2014·杭州月考改編)函數(shù)f(x)＝的值域為(0,1]．(√) 3．分段函數(shù)求值 (5)(2013·濟南模擬改編)設函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝.(√) 學生用書第10頁 (6)(2014·浙江部分重點中學調研改編)函數(shù)f(x)＝若f(a)＝，則實數(shù)a的值為或－2.(√) 4．函數(shù)解析式的求法 (7)已知f(x)＝2x2＋x－1，則f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.(√) (8)已知f(－1)＝x，則f(x)＝(x＋1)2.(×) [感悟·提升] 1．一個方法　判斷兩個函數(shù)是否

5、為相同函數(shù)．一是定義域是否相同，二是對應關系即解析式是否相同(注意解析式可以等價化簡)，如(2)． 2．三個防范　一是求函數(shù)的定義域要使給出解析式的各個部分都有意義，如(3)； 二是分段函數(shù)求值時，一定要分段討論，注意驗證結果是否在自變量的取值范圍內，如(6)； 三是用換元法求函數(shù)解析式時，一定要注意換元后的范圍，如(8). 考點一　求函數(shù)的定義域與值域 【例1】 (1)(2013·山東卷)函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　)． A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函數(shù)y＝的值域為_____

6、___． 解析　(1)由題意解得－3＜x≤0. (2)y＝＝＝1－，因為≠0， 所以1－≠1.即函數(shù)的值域是{y|y≠1}． 答案　(1)A　(2){y|y≠1} 規(guī)律方法 (1)求函數(shù)的定義域，其實質就是以函數(shù)解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可． (2)求函數(shù)的值域：①當所給函數(shù)是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考慮用分離常數(shù)法；②若與二次函數(shù)有關，可用配方法；③當函數(shù)的圖象易畫出時，可以借助于圖象求解． 【訓練1】 (1)函數(shù)y＝ln＋的定義域為________． (2)函數(shù)f(x)＝的值域為________． 解析　(1)根據(jù)題意可知，

7、??0＜x≤1，故定義域為(0,1]． (2)當x≥1時，logx≤0；當x＜1時，0＜2x＜2，故值域為(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)． 答案　(1)(0,1]　(2)(－∞，2) 考點二　分段函數(shù)及其應用 【例2】 (1)(2014·東北三校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝，則f(3)的值為(　　)． A．－1 B．－2 C．1 D．2 (2)已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________． 解析　(1)依題意，3＞0，得f(3)＝f(3－1)－f(3－2)＝f(2)－f(1)，又2＞0，所以f(2)＝f(2－

8、1)－f(2－2)＝f(1)－f(0)；所以f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)，又f(0)＝log2(4－0)＝2，所以f(3)＝－f(0)＝－2. (2)當a＞0時，1－a＜1,1＋a＞1. 此時f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－. 不合題意，舍去．當a＜0時，1－a＞1,1＋a＜1， 此時f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.

9、 綜上可知，a的值為－. 答案　(1)B　(2)－ 規(guī)律方法 (1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值． (2)當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍． 【訓練2】 (2014·煙臺診斷)已知函數(shù)f(x)＝則f[f(2 013)]＝(　　)． A. B．－ C．1 D．－1 解析　f(2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以f[f(2 013)]

10、＝f(32)＝2cos ＝2cos ＝－1. 答案　D 學生用書第11頁 考點三　求函數(shù)的解析式 【例3】 (1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式． (2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.試求出f(x)的解析式． (3)定義在(－1,1)內的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函數(shù)f(x)的解析式． 解　(1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝， ∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x＞1)． (2)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3. ∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2

11、)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴∴ ∴f(x)＝x2－x＋3. (3)當x∈(－1,1)時，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．② 由①②消去f(－x)得， f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)． 規(guī)律方法 求函數(shù)解析式常用方法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法； (2)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍； (3)方程法：已知關

12、于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． 【訓練3】 (1)若f(x＋1)＝2x2＋1，則f(x)＝________. (2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________. 解析　(1)令t＝x＋1，則x＝t－1， 所以f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3. 所以f(x)＝2x2－4x＋3. (2)當－1≤x≤0時，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)，又f(x＋1

13、)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－. 答案　(1)2x2－4x＋3　(2)－ 1．函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質的基礎．因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識． 2．函數(shù)有三種表示方法——列表法、圖象法和解析法，三者之間是可以互相轉化的；求函數(shù)解析式比較常見的方法有湊配法、換元法、待定系數(shù)法和方程法等，特別要注意將實際問題轉化為函數(shù)問題，通過設自變量，寫出函數(shù)的解析式并明確定義域． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教你審題1——分段函數(shù)中

14、求參數(shù)范圍問題 【典例】 (2013·新課標全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝?若|f(x)|≥ax?，則a的取值范圍是(　　)． A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] (1) [審題]一審條件?：f(x)＝轉化為一元二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象問題．如圖(1)． 二審條件?：|f(x)|≥ax，由f(x)的圖象得到|f(x)|的圖象如圖(2)． (2) 三審圖形：觀察y＝ax的圖象總在y＝|f(x)|的下方，則當a＞0時，不合題意；當a＝0時，符合題意；當a＜0時，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0， 所以|f(x)|≥ax化簡為x

15、2－2x≥ax， 即x2≥(a＋2)x，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2. 綜上－2≤a≤0. 答案　D [反思感悟] (1)問題中參數(shù)值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標準、全面的考慮； (2)求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求． 【自主體驗】 (2014·德州模擬)已知函數(shù)f(x)＝則f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于(　　)． A．－3 B．－1或3 C．1 D．－3或1 解析　因為f(1)＝lg 1＝0，所以由f(a)＋f(1)＝0得f(a)＝0.當a＞0時，f(a)＝lg a＝0，所以a＝1. 當a

16、≤0時，f(a)＝a＋3＝0，解得a＝－3.所以實數(shù)a的值為a＝1或a＝－3，選D. 答案　D 對應學生用書P227 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是(　　)． A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝1，g(x)＝x2 C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 解析　A選項中的兩個函數(shù)的定義域分別是R和[0，＋∞)，不相同； B選項中的兩個函數(shù)的對應法則不一致； D選項中的兩個函數(shù)的定義域分別是R和{x|x≠1}，不相同，盡管它們的對應法則一致，但也不是相同函數(shù)； C選項中的

17、兩個函數(shù)的定義域都是R，對應法則都是g(x)＝|x|，盡管表示自變量的字母不同，但它們依然是相同函數(shù)． 答案　C 2．(2013·臨沂一模)函數(shù)f(x)＝ln＋的定義域為(　　)． A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞) 解析　要使函數(shù)有意義，則有 即解得x＞1. 答案　B 3．(2013·昆明調研)設M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函數(shù)f(x)的定義域為M，值域為N，則f(x)的圖象可以是(　　)． 解析　A項定義域為[－2,0]，D項值域不是[0,2]，C項對定義域中除2以外的任一x都有兩個y與之

18、對應，都不符合條件，故選B. 答案　B 4．(2014·江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝則f(log27)＝(　　)． A. B. C. D. 解析　因為log27＞1，log2＞1,0＜log2＜1，所以f(log27)＝f(log27－1)＝f(log2)＝f(log2－1)＝f(log2)＝2log2＝. 答案　C 5．函數(shù)f(x)＝(x≠－)滿足f(f(x))＝x，則常數(shù)c等于(　　)． A．3 B．－3 C．3或－3 D．5或－3 解析　f(f(x))＝＝＝x，即x[(2c＋6)x＋9－c2]＝0， 所以解得c＝－3. 答案　B 二、填

19、空題 6．(2014·杭州質檢)函數(shù)f(x)＝ln的定義域是________． 解析　由題意知＞0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＞2或x＜－1. 答案　{x|x＞2，或x＜－1} 7．(2014·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝若f(f(0))＝4a，則實數(shù)a＝________. 解析　f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2. 答案　2 8．已知f＝，則f(x)的解析式為________． 解析　令t＝，由此得x＝(t≠－1)， 所以f(t)＝＝， 從而f(x)的解析式為f(x)＝(x≠－1)． 答案　f(x)＝(x≠－1) 三、解答題 9．設二次函

20、數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)＝0的兩個實根的平方和為10，f(x)的圖象過點(0,3)，求f(x)的解析式． 解　∵f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x)的圖象關于直線x＝2對稱． 于是，設f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)， 則由f(0)＝3，可得k＝3－4a， ∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3. ∵ax2－4ax＋3＝0的兩實根的平方和為10， ∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－， ∴a＝1.∴f(x)＝x2－4x＋3. 10．某人開汽車沿一條直線以60 km/h的速度從A地到150 km遠處的B地．

21、在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽車與A地的距離s(km)表示為時間t(h)(從A地出發(fā)開始)的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象． 解　由題意知：s＝ 其圖象如圖所示． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．設f(x)＝lg，則f＋f的定義域為(　　)． A．(－4,0)∪(0,4) B．(－4，－1)∪(1,4) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－4，－2)∪(2,4) 解析　∵＞0，∴－2＜x＜2，∴－2＜＜2且－2＜＜2，取x＝1，則＝2不合題意(舍去)，故排除A，取x＝2，滿足題意，排除C、D，故選B. 答案　

22、B 2．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，且當x∈(0，＋∞)時，有f(x)＝，則當x∈(－∞，－2)時，f(x) 的解析式為(　　)． A．f(x)＝－ B．f(x)＝－ C．f(x)＝ D．f(x)＝－ 解析　當x∈(－∞，－2)時，則－2－x∈(0，＋∞)， ∴f(x)＝－. 答案　D 二、填空題 3．(2013·濰坊模擬)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＝的x值為________． 解析　當x∈(－∞，1]時，2－x＝＝2－2，∴x＝2(舍去)； 當x∈(1，＋∞)時，log81x＝，即x＝＝＝3. 答案　3 三、解答題 4．若函數(shù)f(x)＝x2－x＋a的定義域和值域均為[1，b](b>1)，求a，b的值． 解　∵f(x)＝(x－1)2＋a－， ∴其對稱軸為x＝1，即函數(shù)f(x)在[1，b]上單調遞增． ∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，① f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b，② 又b>1，由①②解得∴a，b的值分別為，3. 學生用書第12頁