2018年高考數(shù)學 專題33 復數(shù)熱點題型和提分秘籍 文

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1、 專題33 復數(shù) 1.理解復數(shù)的基本概念 2.理解復數(shù)相等的充要條件 3.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 4.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 5.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義 熱點題型一 復數(shù)的有關概念 例1、【2017課標1，文3】下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是 A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i) 【答案】C 【解析】由為純虛數(shù)知選C． 【變式探究】(1)復數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)為(　　) A．2＋i　　　　　　B． 2－i C．5＋i

2、 D．5－i (2)設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)a－(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】（1）D （2）D 【提分秘籍】 處理有關復數(shù)的基本概念問題，關鍵是找準復數(shù)的實部和虛部，從定義出發(fā)，把復數(shù)問題轉化成實數(shù)問題來處理。 【舉一反三】 設a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復數(shù)a＋為純虛數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】ab＝0?a＝0或b＝0，這時a＋＝a－bi不一定為純虛數(shù)，但如果a＋＝a

3、－bi為純虛數(shù)，則有a＝0且b≠0，這時有ab＝0，由此知選B。 熱點題型二 復數(shù)的幾何意義 例2、【2017課標3，文2】復平面內表示復數(shù)的點位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由題意：，在第三象限. 所以選C. 【變式探究】(1)復數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝(　　) A．25 B. C．5 D. 【答案】（1）B （2）C 【提分秘籍】

4、 (1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?。 (2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀。 提醒：|z|的幾何意義：令z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝，由此可知表示復數(shù)z的點到原點的距離就是|z|的幾何意義；|z1－z2|的幾何意義是復平面內表示復數(shù)z1，z2的兩點之間的距離。 【舉一反三】 如圖，在復平面內，點A表示復數(shù)z，則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是(　　) A．A B．B C．C D．D 【答案】B 熱點題

5、型三 復數(shù)的運算 例3．【2017山東，文2】已知i是虛數(shù)單位,若復數(shù)z滿足,則= A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】由得,即,所以,故選A. 【變式探究】(1)已知復數(shù)z＝，是z的共軛復數(shù)，則z·＝__________。 (2)＝__________。 (3)已知復數(shù)z滿足＝2－i，則z＝__________。 【解析】(1)方法一：|z|＝＝，z·＝|z|2＝。 ＝－4i。 (3)由＝2－i，得z＝－i＝－i＝i－－i＝－－i。 【提分秘籍】 利用復數(shù)的四則運算求復數(shù)的

6、一般思路 (1)復數(shù)的乘法運算滿足多項式的乘法法則，利用此法則后將實部與虛部分別寫出即可。 (2)復數(shù)的除法運算主要是利用分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)進行運算化簡。 (3)利用復數(shù)的相關概念解題時，通常是設出復數(shù)或利用已知聯(lián)立方程求解。 【舉一反三】 設z＝1＋i，則＋z2等于(　　) A．1＋i B．－1＋i C．－i D．1－i 【答案】A 【解析】＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝＋2i＝1－i＋2i＝1＋i。 1.【2017課標1，文3】下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是 A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+

7、i) 【答案】C 【解析】由為純虛數(shù)知選C． 2.【2017課標II，文2】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意，故選B. 3.【2017課標3，文2】復平面內表示復數(shù)的點位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由題意：，在第三象限. 所以選C. 4.【2017北京，文2】若復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限，則實數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C）

8、 （D） 【答案】B 5.【2017山東，文2】已知i是虛數(shù)單位,若復數(shù)z滿足,則= A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】由得,即,所以,故選A. 1.【2016高考新課標2文數(shù)】設復數(shù)z滿足，則=（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由得，，所以，故選C. 2. [2016高考新課標Ⅲ文數(shù)]若，則＝（ ） （A）1 （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】，故選

9、D． 3.【2016高考四川文科】設為虛數(shù)單位，則復數(shù)=( ) (A) 0 　　 (B)2 　　　 (C)2　　　 (D)2+2 【答案】C 【解析】由題意，，故選C. 4.【2016高考山東文數(shù)】若復數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則 =（ ） （A）1+i （B）1?i （C）?1+i （D）?1?i 【答案】B 【解析】，選B. 5.【2016高考天津文數(shù)】i是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的實部為_______. 【答案】1 【解析】，所以的實部為1 1.【2015高考新課標1，文3】已知復數(shù)滿足，則（ ） （A） （B）

10、 （C） （D） 【答案】C 【解析】∴，∴，故選C. 2.【2015高考山東，文2】若復數(shù)Z滿足，其中為虛數(shù)單位，則Z=( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】由題意所以，，故選. 3.【2015高考湖南，文1】已知=（為虛數(shù)單位），則復數(shù) ( ) A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由題 ，故選D. 4.【2015高考湖北，文1】為虛數(shù)單位，（ ） A． B．

11、 C． D．1 【答案】. 【解析】因為，所以應選. 5.【2015高考廣東，文2】已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故選D． 6.【2015高考福建，文1】若（是虛數(shù)單位），則的值分別等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得，所以，選A．

12、 7.【2015高考安徽，文1】設是虛數(shù)單位，則復數(shù)（ ） （A）3+3i （B）-1+3i （3）3+i （D）-1+i 【答案】C 【解析】因為，故選 C. 8.【2015高考北京，文9】復數(shù)的實部為 ． 【答案】 【解析】復數(shù)，其實部為. 9.【2015高考重慶，文11】復數(shù)的實部為________. 【答案】-2 【解析】由于,故知其實部為-2，故填：-2. 10.【2015高考四川，文11】設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)＝_________. 【答案】2i 【解析】 11.【2015高考天津，文9】i是虛數(shù)單位

13、,計算 的結果為 ． 【答案】-i 【解析】. 12.【2015高考上海，文3】若復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則 . 【答案】 （2014·浙江卷）已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A　 【解析】由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得所以或故選A. （2014·全國卷）設z＝，則z的共軛復數(shù)為(　　) A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i

14、 【答案】D　 【解析】z＝＝＝＝1＋3i，根據(jù)共軛復數(shù)的定義，其共軛復數(shù)是1－3i. （2014·北京卷）復數(shù)＝________． 【答案】－1　 【解析】＝＝＝－1. （2014·福建卷）復數(shù)z＝(3－2i)i的共軛復數(shù)z等于(　　) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 【答案】C　 【解析】由復數(shù)z＝(3－2i)i＝2＋3i，得復數(shù)z的共軛復數(shù)z＝2－3i. （2014·廣東卷）已知復數(shù)z滿足(3＋4i)z＝25，則z＝(　　) A．－3＋4i B．－3－4i C．3＋4i D．3－4i 【答案】D　 （2014·

15、湖北卷）i為虛數(shù)單位，＝(　　) A．－1 B．1 C．－i D．i 【答案】A　 【解析】＝＝－1.故選A. （2014·湖南卷）滿足＝i(i為虛數(shù)單位)的復數(shù)z＝(　　) A.＋i B.－i C．－＋i D．－－i 【答案】B　 【解析】因為＝i，則z＋i＝zi，所以z＝＝＝. 10．（2014·江西卷）是z的共軛復數(shù)，若z＋＝2，(z－)i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z＝(　　) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 【答案】D　【解析】設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，所以2a＝2，－2b＝2，得a＝1，b＝－1，故z＝

16、1－i. 11．（2014·遼寧卷）設復數(shù)z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝(　　) A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i 【答案】A　 【解析】由(z－2i)(2－i)＝5，得z－2i＝，故z＝2＋3i. 12．（2014·新課標全國卷Ⅰ] ＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 【答案】D　 【解析】＝＝＝－1－i. 13．（2014·新課標全國卷Ⅱ] 設復數(shù)z1，z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 【答案】A　 【解析

17、】由題知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5. 14．（2014·山東卷）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a－i與2＋bi互為共軛復數(shù)，則(a＋bi)2＝(　　) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 【答案】D　 【解析】因為a－i與2＋bi互為共軛復數(shù)，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故選D. 15．（2014·四川卷）復數(shù)＝________． 【答案】－2i　 【解析】＝＝－2i. 16．（2014·天津卷）i是虛數(shù)單位，復數(shù)＝(　　) A．1－i B．－1＋i C.＋i

18、D．－＋i 【答案】A　 【解析】＝＝＝1－i. 1．已知復數(shù)z滿足(3－4i)z＝25，則z＝(　　) A．－3－4i　　B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 【答案】D 【解析】由(3－4i)z＝25?z＝＝＝3＋4i，選D。 2.＝(　　) A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i 【答案】B 【解析】＝＝－1＋2i，故選B。 3．若復數(shù)z滿足z(1＋i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝(　　) A．1 B．2 C. D. 【答案】C 4．設復數(shù)z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝(　　) A．

19、2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i 【答案】A 【解析】方法一：由題知(z－2i)(2－i)＝5，所以z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i。 方法二：設z＝a＋bi(a，b∈R)，所以[a＋(b－2)i](2－i)＝5，利用復數(shù)相等即實部與實部、虛部與虛部分別相等，得到解得所以z＝2＋3i，故選A。 5．i為虛數(shù)單位，2＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 【答案】B 【解析】2＝＝－1，選B。 6．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若a＋i＝2－bi，則(a＋bi)2＝(　　) A．3－4i B．3＋4i C．4－3i D．4＋

20、3i 【答案】A 【解析】由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，則(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i。 7．復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的實部等于__________。 【答案】－3 【解析】直接運算得，＝－(3＋i)＝－3－i，故實部為－3。 8．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，則x＝__________。 【答案】2 【解析】(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由復數(shù)相等的定義知x＝2。 9．已知i是虛數(shù)單位，計算＝__________。 【答案】 【解析】＝＝＝。 10．要使復數(shù)z＝a2－a－6＋i為純虛數(shù)，其中的實數(shù)a是否存在？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由。 13