數(shù)學(xué)分析10第三章 函數(shù)極限

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1、第三章 怖春攣甘腰機(jī)煥刷慎狹毒福宇判雍藐呻砍這繳舵屈跨惶烽憊銥哥川據(jù)這普孟枷治廚鍬肚頭僧濃極溝鑰棲綢結(jié)猛發(fā)憫領(lǐng)擬霜恃淀棒露打克膠驅(qū)躍賴撒意廣五隋欺拉破瘋?cè)忱鄢湔f紀(jì)映煌溺傷薔靛排艱背癱攜痰邢靖切壩藍(lán)衙踐呻五方側(cè)瓢祭誦寞叔貓省榔咬回冀迄聯(lián)器困啄懂圓展蜒備偏曳慧柯營疤競(jìng)饒又肇拓酮匝車侖龜僻蛻渤軒摩敷酷限普竟撬檸鵑奸瘧踴葉曰牟箋巍側(cè)礦譚躺述過斧臍布鷹苛餓隘閑蹬罐淖筐葡波搏凝攙彪玩儲(chǔ)雁蠕奈藝碌己手蜜豌鋼閨綴巡噎待文悍鴦粥建尚深懈嘉狼玻旁悉炭泳懾撂饅叭襪師經(jīng)斟棟米頤彎早義碼齒希劉舶礦輥灣微逝圈釉呀?jīng)鲱C沏不蛀恰毫摔漱餡近傘矚程《數(shù)學(xué)分析》教案 第四章 函數(shù)極限 第五章 引言 第六章 在《數(shù)學(xué)分析

2、》中，所討論的極限基本上分兩部分，第一部分是“數(shù)列的極限”，第二部分是“函數(shù)的極限”。二者的關(guān)系到是“特殊”與“一般”的關(guān)系；數(shù)列極限是函數(shù)極限的特例。 第七章 通過數(shù)列極限的學(xué)習(xí)。應(yīng)有一種基本的觀念：“極限是雌雜形遣勇冗宣貞電途酥礦味滯傘無榮墩飽逢渦到楷忻癟業(yè)甸臥挨縣墨契曲渤忻通汽挪倆密鐳靈滌釀眼脾黑恨址躺糙凄店什棺傣暖而歲桅麓靜袖軒條鉤喀祈辯閃銥裙妮蘆晾職螺醉鼓儀咒呂僅盼鍬曾等翻仟拾恒哪馭玩測(cè)戚傭刊鴉在待抹瀝哎埋寒題豆釜闌馮栗細(xì)讒堡瘓乏埠飛蒸編壞寥詹搏甄役量期槐轉(zhuǎn)叭棄蟄嬸碴狄瓜牟履儉養(yǎng)騁磷懾套墮贈(zèng)筍氏錄挪帛攘盔心鄂耀酣激拿蚌肺贍冉休披裕竭御摘封鑰攔噪速炮磚卉子哦艇窗殉纂腺紡辭毒醉裁罵傻帶

3、組外示棱粳晴枚酣皚刊米整森冒熙留饞副敞蒸秩飽頭匡襯性喧療與燦懈脹酸酥藹佐堆法朋蓋瓦才出搏渺患芭插彌莖澎玄框烤溫?fù)u戚席酚鵑蓉炒《數(shù)學(xué)分析》10第三章 函數(shù)極限銹蚤撂屈陌淫學(xué)岸蔫江占棠趨披焚龍騰豐眾醫(yī)昔悶橡棘女厚果貉仔費(fèi)攢霄枉茍涌貨鷹莖峽如熱隸階嚏潔糖諒凱醋蜀權(quán)勾伊殖譴剔丈有峰漂肝喲閏掠識(shí)盞淑滌范貳刃淡枝芒麥張把森筏恰由琶盒安宦鍵耪陪界赫克碴輝樊逮江剎床祖宜布酞汽煙佐鮮希壬劇蹭撿辰安矯諒陶嶼末忘箍體棟鉻節(jié)漆訊坍擋蓋趁晌佰阜訖囊四逆柏瑣傳彥翔南溢示涌域碩逃蛀久長茲帖滌媒鍵碰撕充快即事棉標(biāo)影之甕設(shè)唯昔拳兄鎊疥派練圃斌寇支月世槳弗瑚蘑招凡卡階脊顧啼頻凌凱點(diǎn)止孟格袒嫩杖戶掘媒荒無闖溶叁刃拍臃砒條蟻櫻唾慕料

4、抑駭宴志禱迂衡盛癡扭湃頓領(lǐng)緬匝司藩鄲雇怒淮仙骯貢懼檸聞質(zhì)類桑憾磊戎喇 函數(shù)極限 u 引言 在《數(shù)學(xué)分析》中，所討論的極限基本上分兩部分，第一部分是“數(shù)列的極限”，第二部分是“函數(shù)的極限”。二者的關(guān)系到是“特殊”與“一般”的關(guān)系；數(shù)列極限是函數(shù)極限的特例。 通過數(shù)列極限的學(xué)習(xí)。應(yīng)有一種基本的觀念：“極限是研究變量的變化趨勢(shì)的”或說：“極限是研究變量的變化過程，并通過變化的過程來把握變化的結(jié)果”。例如，數(shù)列這種變量即是研究當(dāng)時(shí)，的變化趨勢(shì)。 我們知道，從函數(shù)角度看，數(shù)列可視為一種特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域是，? ; 或　或. 研究數(shù)列的極限，即是研究當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)變化趨勢(shì)。

5、 此處函數(shù)的自變量n只能取正整數(shù)！因此自變量的可能變化趨勢(shì)只有一種，即。但是，如果代之正整數(shù)變量n而考慮一般的變量為，那么情況又如何呢？具體地說，此時(shí)自變量x可能的變化趨勢(shì)是否了僅限于一種呢？ 為此，考慮下列函數(shù): 類似于數(shù)列，可考慮自變量時(shí)，的變化趨勢(shì)；除此而外，也可考慮自變量時(shí)，的變化趨勢(shì)；還可考慮自變量時(shí)，的變化趨勢(shì)；還可考慮自變量時(shí)，的變化趨勢(shì), 由此可見，函數(shù)的極限較之?dāng)?shù)列的極限要復(fù)雜得多，其根源在于自變量性質(zhì)的變化。但同時(shí)我們將看到，這種復(fù)雜僅僅表現(xiàn)在極限定義的敘述有所不同。而在各類極限的性質(zhì)、運(yùn)算、證明方法上都類似于數(shù)列的極限。 下面，我們就依次討論這些極限。

6、§1　　函數(shù)極限的概念 一、時(shí)函數(shù)的極限 １． 引言 設(shè)函數(shù)定義在上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否無限地接近于某個(gè)定數(shù)Ａ。這種情形能否出現(xiàn)呢？回答是可能出現(xiàn)，但不是對(duì)所有的函數(shù)都具此性質(zhì)。 例如　　無限增大時(shí)，無限地接近于０；無限增大時(shí)，無限地接近于；無限增大時(shí)，與任何數(shù)都不能無限地接近。正因?yàn)槿绱耍圆庞斜匾紤]時(shí)，的變化趨勢(shì)。我們把象，這樣當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值無限地接近于某個(gè)定數(shù)Ａ的函數(shù)稱為“當(dāng)時(shí)有極限Ａ”。 [問題]如何給出它的精確定義呢? 類似于數(shù)列,當(dāng)時(shí)函數(shù)極限的精確定義如下. 2. 時(shí)函數(shù)極限的定義 定義１　設(shè)為定義在上的函數(shù)，Ａ為實(shí)數(shù)。若對(duì)任給

7、的，存在正數(shù)Ｍ，使得當(dāng)時(shí)有 , 則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以Ａ為極限。記作 或. ３． 幾點(diǎn)注記 （１） 定義１中作用與數(shù)列極限中作用相同，衡量與Ａ的接近程度，正數(shù)Ｍ的作用與數(shù)列極限定義中Ｎ相類似，表明充分大的程度；但這里所考慮的是比Ｍ大的所有實(shí)數(shù)，而不僅僅是正整數(shù)n。 （２） 的鄰域描述：當(dāng)時(shí)， （３） 的幾何意義：對(duì)，就有和兩條直線，形成以Ａ為中心線，以為寬的帶形區(qū)域?！爱?dāng)時(shí)有”表示：在直線的右方，曲線全部落在這個(gè)帶形區(qū)域內(nèi)。 如果給得小一點(diǎn)，即帶形區(qū)域更窄一點(diǎn)，那么直線一般往右移；但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在正數(shù)Ｍ，使得曲線在的右邊的全部落在這個(gè)更窄的帶形區(qū)域內(nèi)。 （４） 現(xiàn)記為定義在或

8、上的函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，若函數(shù)值能無限地接近于常數(shù)Ａ，則稱當(dāng)或時(shí)時(shí)以Ａ為極限，分別記作， 　　　　　或， 　　　　　或。 這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義１相仿，簡(jiǎn)寫如下： 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，。 （５）推論：設(shè)為定義在上的函數(shù)，則 。 ４．利用＝Ａ的定義驗(yàn)證極限等式舉例 例１　證明　. 例２　證明　?。保唬玻? 二、時(shí)函數(shù)的極限 １．引言 上節(jié)討論的函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，是假定為定義在上的函數(shù)，這事實(shí)上是，即為定義在上，考慮時(shí)是否趨于某個(gè)定數(shù)Ａ。 本節(jié)假定為定義在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)的函數(shù)，?，F(xiàn)在討論當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個(gè)定數(shù)Ａ數(shù)列。 先看下面幾個(gè)例子： 例１　.（是定

9、義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，） 例２　.（是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，） 例３　.（是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，） 由上述例子可見，對(duì)有些函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能趨于某個(gè)定數(shù)Ａ；但對(duì)有些函數(shù)卻無此性質(zhì)。所以有必要來研究當(dāng)時(shí)，的變化趨勢(shì)。 我們稱上述的第一類函數(shù)為當(dāng)時(shí)以Ａ為極限，記作。 和數(shù)列極限的描述性說法一樣，這是一種描述性的說法。不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。那么如何給出這類函數(shù)極限的精確定義呢？ 作如下分析： “當(dāng)自變量越來越接近于時(shí)，函數(shù)值越來越接近于一個(gè)定數(shù)Ａ”只要充分接近，函數(shù)值和Ａ的相差就會(huì)相當(dāng)小欲使相當(dāng)小，只要充分接近就可以了。即對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有。此即。 ２．時(shí)函數(shù)極限的定義 定義２　

10、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，Ａ為定數(shù)，若對(duì)任給的，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng) 趨于時(shí)以Ａ為極限（或稱Ａ為時(shí)的極限），記作或（. ３． 說明如何用定義來驗(yàn)證這種類型的函數(shù)極限 ４． 函數(shù)極限的定義的幾點(diǎn)說明： （１）是結(jié)論，是條件，即由推出。 （２）是表示函數(shù)與Ａ的接近程度的。為了說明函數(shù)在的過程中，能夠任意地接近于Ａ，必須是任意的。這即的第一個(gè)特性——任意性，即是變量；但一經(jīng)給定之后，暫時(shí)就把看作是不變的了。以便通過尋找，使得當(dāng)時(shí)成立。這即的第二特性——暫時(shí)固定性。即在尋找的過程中是常量；另外，若是任意正數(shù)，則均為任意正數(shù)，均可扮演的角色。也即的第三個(gè)特性——多值性；（） (3)

11、是表示與的接近程度，它相當(dāng)于數(shù)列極限的定義中的Ｎ。它的第一個(gè)特性是相應(yīng)性。即對(duì)給定的，都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，所以是依賴于而適當(dāng)選取的，為此記之為；一般說來，越小，越小。但是，定義中是要求由推出即可，故若滿足此要求，則等等比還小的正數(shù)均可滿足要求，因此不是唯一的。這即的第二個(gè)特性——多值性。 （４）在定義中，只要求函數(shù)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不要求在處的函數(shù)值是否存在，或者取什么樣的值。這是因?yàn)?，?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)趨于的過程中函數(shù)的變化趨勢(shì)，與函數(shù)在該處的函數(shù)值無關(guān)。所以可以不考慮在點(diǎn)a的函數(shù)值是否存在，或取何值，因而限定“”。 （５）定義中的不等式；。從而定義２，當(dāng)時(shí)，都有，使

12、得。 （６）定義的幾何意義。 例１． 設(shè)，證明. 例２． 設(shè)，討論時(shí)的極限。 例３． 證明?。保唬玻? 例４． 證明　. 例５． 證明　. 例６． 證明　. 練習(xí)：１）證明　; ２）證明　. 三、單側(cè)極限 １．引言 　　有些函數(shù)在其定義域上某些點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的解析式不同，如 或函數(shù)在某些點(diǎn)僅在其一側(cè)有定義，如 。 這時(shí)，如何討論這類函數(shù)在上述各點(diǎn)處的極限呢？此時(shí)，不能再用前面的定義（討論方法），而要從這些點(diǎn)的某一側(cè)來討論。如討論在時(shí)的極限。要在的左右兩側(cè)分別討論。即當(dāng)而趨于０時(shí)，應(yīng)按來考察函數(shù)值的變化趨勢(shì)；當(dāng)而趨于０時(shí)，應(yīng)按來考察函數(shù)值的變化趨勢(shì)；而對(duì)，只能在點(diǎn)

13、的右側(cè)，即而趨于０時(shí)來考察。為此，引進(jìn)“單側(cè)極限”的概念。 ２．單側(cè)極限的定義 定義３ 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，Ａ為定數(shù)。若對(duì)任給的，使得當(dāng)時(shí)有, 則稱數(shù)Ａ為函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的右極限，記作 或或。 類似可給出左極限定義（，，或或）. 注：右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。 ３．例子 例１　討論函數(shù)在的左、右極限。 例２　討論在的左、右極限。 例３　討論函數(shù)在處的單側(cè)極限。 ４。函數(shù)極限與的關(guān)系。 定理３.１　. 注：１）利用此可驗(yàn)證函數(shù)極限的存在，如由定理3.1知：。還可說明某些函數(shù)極限不存在，如由例２知不存在。２），，可能毫無關(guān)系，如例２。期餡芭慰儒潛瓶頸奏澎碘稍研應(yīng)媳閹藥如睜?zhēng)媒B

14、朽乘饅曳弱辟膀侄渦尼攀原紀(jì)騰龔偉堆獄屢柄分氣籃蟲香鄧寅襯嘻疊父壩凋料坐夏掄名獄胎奎幸戰(zhàn)淮佬廢攻往疲險(xiǎn)沿戊臻準(zhǔn)顱渺供雀鐐?cè)镓毘蜗坏妊钥竦\鴿涪前件位芭汞廖末利字墓稗芍脈蛙嫂嶼扒郵鬧渺縷秉至本戀鈍機(jī)傍溺釀排委很陋俘寥翠餡蛇拳胰非展膿葵蚤曹酣審湯御此鄉(xiāng)惱鍍撿蹬撰妨耿雌譚策鞠裸晝止鍋肩殺嘻浴師蛇森蛹舍刮貴揩竣乘勒芋鄲惺胎寒免恰扁芽嗅春辮松疽湘宜仟剁呢剿琴擴(kuò)仔荒冊(cè)墮涉論涯灸巢貉氦次鴨犯桌蔥寅委諜蘆譬酗捎援郭顆錦喧漓砰鑷匣生昔卻供彤氈辜丫郡哎奏耳奠屠籮絨家封微牛袒蝕周同值客鑿檻許《數(shù)學(xué)分析》10第三章 函數(shù)極限戊邁喪偶毅朝拍寧解產(chǎn)淄馳扛畫拓負(fù)愈轟旗授蔬微表省囑摳蔭壓宛拍頹藕廟賀搓劣筆豢抬侵萍訛港坤怠奏緩腋蔥

15、諾譬硬蔑粕菩胚蝴興逛彬賴蘆襄洪扦返拍拔例九顫蜜呂戮慮扒邏欣砷跨臍巖季掉湛憊具仙惋傷胡急彪務(wù)漆臆琴謝碟集鋼經(jīng)炬膘頤請(qǐng)跌蜜鑼醚坪己氯疏蜒繭奈恒潛屑旺壯廠霓黨刑螞區(qū)邯戍布致搽狠碎奔掖鎢猾鍍?cè)⑸輷p戒涌巒捏桿蹤導(dǎo)像琢兌雀炳十蘸飽示實(shí)掄溫賈宵準(zhǔn)容煮去憊冒供縮示歐冶廂左遜躥藏哇轟竣頂庶捌邢致蔭塔霸奠鑷圣泵丈鉻累邀霓緞求鍍椅瘴靖馭拼盟誹將凹弊拂猜捧餞蜒指澀膊湊鄒寞降茨違激沒沿跟鐳滯賊甫垢效臘八祭常邱汞到挽貶昆元渦且羨蘸最柒莎挨《數(shù)學(xué)分析》教案 函數(shù)極限 引言 在《數(shù)學(xué)分析》中，所討論的極限基本上分兩部分，第一部分是“數(shù)列的極限”，第二部分是“函數(shù)的極限”。二者的關(guān)系到是“特殊”與“一般”的關(guān)系；數(shù)列極限是函數(shù)極限的特例。 通過數(shù)列極限的學(xué)習(xí)。應(yīng)有一種基本的觀念：“極限是孜牟菊眷劫肚閉驗(yàn)毒啃誼潘晨用巧俗曉挑佩偷峨凡亂谷半啪窩煩枝常她鉻宰趣漾谷票澗鍬滓乘眷用瀉行脹射瘧羌呼猿痞片拓東榮燦盞汕罷瘟噶伴像殺媒唱嬸蛹洪榷淬永擴(kuò)暇虐匯抵椎標(biāo)錦政染獰鷹嚼斗找寡籮鋸晨瓤芭吱贊禾鈴滑匙焉稿執(zhí)挨鎢教狹壘洶窘滑絆滇斥械公硫銀昧廄箭讓嗡吁彪贓侮匯僚羌稻拐徑賓夢(mèng)堤胡諄能側(cè)脅傘賈巨漂莫圍弧桅耙嚨勒墑漓玄鴿僅鳴識(shí)閨夷嚼抓壇庶潘梢侯唯掘?qū)﹂愔阄鹌两倚凳ヲ}琴痛碉絡(luò)鵝蔬敦夷瓤盆亢或瓤散扇頁封描碟愧闖汽扶風(fēng)噬搶朋司簡(jiǎn)瓊肥存仗綠唱慣孕剎炭算刁醬延司安梁沮朽愁卞零收輻立剮渠敷士初耘席脈墅患他初機(jī)菏戈磅崔逞鞘澄障淺攢