高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第2章 第4課 函數(shù)的概念及其表示

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1、 第二章　函數(shù)概念與基本初等函數(shù)(Ⅰ) 第4課 函數(shù)的概念及其表示 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 函數(shù)的概念 √ 1．函數(shù)與映射 函數(shù) 映射 兩集合A、B 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合 對(duì)應(yīng)法則 f：A→B 如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng) 如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng) 名稱 這樣的對(duì)應(yīng)叫作從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù) 稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的映射 記法 y＝f(x)，x∈A f：A

2、→B 2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域： 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，其中所有x組成的集合A稱為函數(shù)y＝f(x)的定義域；將所有y組成的集合叫作函數(shù)y＝f(x)的值域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域． (3)函數(shù)的表示法： 表示函數(shù)的常用方法有列表法、解析法和圖象法． 3．分段函數(shù) 在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式，這樣的函數(shù)，通常叫作分段函數(shù)． 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“

3、×”) (1)函數(shù)是特殊的映射．(　　) (2)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù)．(　　) (3)與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)．(　　) (4)分段函數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)函數(shù)y＝＋的定義域?yàn)開(kāi)_______． ∪(3，＋∞)　[由題意知 解得x≥且x≠3.] 3．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－4))＝________. 4　[∵f(－4)＝24＝16，∴f(f(－4))＝f(16)＝＝4.] 4．(2017·蘇州模擬)已知實(shí)數(shù)m≠0，函數(shù)f(x)＝若f(2－m)＝f(2＋m)，則

4、實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______． 8或－　[當(dāng)m>0時(shí)，2－m<2<2＋m， 由f(2－m)＝f(2＋m)得 3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m， 解得m＝8. 當(dāng)m<0時(shí)，2＋m<2<2－m， 由f(2＋m)＝f(2－m)得 －(2－m)－2m＝3(2＋m)－m， 解得m＝－. 綜上所述m＝8或－.] 5．給出下列四個(gè)命題： ①函數(shù)是其定義域到值域的映射； ②f(x)＝＋是一個(gè)函數(shù)； ③函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線； ④f(x)＝lg x2與g(x)＝2lg x是同一個(gè)函數(shù)． 其中正確命題的序號(hào)是________． ①　[由函數(shù)的定義知①正確． ∵

5、滿足的x不存在，∴②不正確． 又∵y＝2x(x∈N)的圖象是位于直線y＝2x上的一群孤立的點(diǎn)，∴③不正確． 又∵f(x)與g(x)的定義域不同，∴④也不正確．] 求函數(shù)的定義域 　(1)(2016·江蘇高考)函數(shù)y＝的定義域是________． (2)(2017·徐州模擬)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是________． (1)[－3,1]　(2)[0,1)　[(1)要使函數(shù)有意義，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函數(shù)的定義域?yàn)閇－3,1]． (2)由0≤2x≤2，得0≤x≤

6、1，又x－1≠0，即x≠1， 所以0≤x<1，即g(x)的定義域?yàn)閇0,1)．] [規(guī)律方法]　1.求給出解析式的函數(shù)的定義域，可構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解． 2．(1)若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域可由a≤g(x)≤b求出； (2)若已知f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域． [變式訓(xùn)練1]　(1)(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二))函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)開(kāi)_______． (2)已知函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇－1,1]，則f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172018

7、】 (1)(0,1)∪(1,2)　(2)　[(1)要使函數(shù)有意義，只需解得0＜x＜1或1＜x＜2， 即原函數(shù)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,2)． (2)∵f(2x)的定義域?yàn)閇－1,1]， ∴≤2x≤2，即f(x)的定義域?yàn)?] 求函數(shù)的解析式 　(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式． (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式． [解]　(1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝， ∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)． (2)設(shè)f(x

8、)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴即∴f(x)＝x2－x＋2. (3)∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝. 聯(lián)立方程組 解得f(x)＝－(x≠0)． [規(guī)律方法]　求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法； (2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍； (3)構(gòu)造法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式，通過(guò)解方程組求出f(x)

9、； (4)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表達(dá)式． [變式訓(xùn)練2]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172019】 (2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2·f·－1，則f(x)＝________. (1)x2－1(x≥1)　(2) ＋(x＞0)　[(1)(換元法)設(shè)＋1＝t(t≥1)，則＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)＝x2－1(x≥1)． (配湊法)f(＋1)＝x＋2

10、＝(＋1)2－1， 又＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)在f(x)＝2f·－1中，用代替x， 得f＝2f(x)·－1， 由 得f(x)＝ ＋(x＞0)．] 分段函數(shù)及其應(yīng)用 角度1　求分段函數(shù)的函數(shù)值 　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝________. (2)(2017·無(wú)錫期中)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝則f(11)＝________. (1)9　(2)2 [(1)∵－2<1， ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝

11、6. ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. (2)f(11)＝f(10)－f(9)＝f(9)－f(8)－f(9)＝－f(8)， f(8)＝f(7)－f(6)＝f(6)－f(5)－f(6)＝－f(5)， f(5)＝f(4)－f(3)＝f(3)－f(2)－f(3)＝－f(2)， f(2)＝f(1)－f(0)＝f(0)－f(－1)－f(0)＝－f(－1)， ∴f(11)＝f(－1)＝log2(3＋1)＝log24＝2.] 角度2　已知分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù) 　(1)(2017·南京二診)已知函數(shù)f(x)＝若f(f(－1))＝2，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______． (2)設(shè)函

12、數(shù)f(x)＝若f＝4，則b＝________. (1)或－　(2)　[(1)f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±. (2)f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，則3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合題意，舍去；若－b≥1，即b≤，則2－b＝4，解得b＝.] 角度3　解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式 　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________． (2)(2015·山東高考改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是________． (1)(－∞，8]　(2)　[(1)當(dāng)x<1

13、時(shí)，x－1<0，ex－1

14、圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍． 易錯(cuò)警示：當(dāng)分段函數(shù)自變量的范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類討論． [思想與方法] 1．在判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，要緊扣兩點(diǎn)：一是定義域是否相同；二是對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同． 2．定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的討論，必須在定義域內(nèi)進(jìn)行． 3．求函數(shù)解析式的幾種常用方法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、構(gòu)造法． 4．分段函數(shù)問(wèn)題要分段求解． [易錯(cuò)與防范] 1．求函數(shù)定義域時(shí)，不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域發(fā)生變化． 2．用換元法求函數(shù)解析式時(shí)，應(yīng)注意元的范圍，既不能擴(kuò)大，又不能縮小，以免求錯(cuò)函數(shù)的定義域． 3．在求分

15、段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，首先要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；如果x0的范圍不確定，要分類討論． 課時(shí)分層訓(xùn)練(四) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．(2017·南通第一次學(xué)情檢測(cè))函數(shù)f(x)＝＋lg(x＋1)的定義域是________． (－1,1)∪(1，＋∞)　[由題意可知，即x>－1且x≠1.] 2．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是________．(填序號(hào)) ①f(x)＝x，g(x)＝()2； ②f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； ③f(x)＝，g(x)＝|x|； ④f(x)＝0，g(x)＝＋. ③　[在①

16、中，定義域不同，在②中，解析式不同，在④中，定義域不同．]　 3．設(shè)M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，則f(x)的圖象可以是________．(填序號(hào)) ①　　　?、凇　　　、邸　　　、? 圖4-1 ②　[①中，定義域?yàn)閇－2,0]，④中，值域不是[0,2]，③中，當(dāng)x＝0時(shí)有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)．] 4．(2017·徐州質(zhì)檢)已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝x＋2，則f(x)＝________. x＋1　[設(shè)f(x)＝kx＋b，則由f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，∴k2

17、＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，則f(x)＝x＋1.] 5．(2017·如皋中學(xué)高三第一次月考)函數(shù)y＝的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則A∩B＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172020】 [0,2]　[由－x2－2x＋8≥0得－4≤x≤2.即A＝{x|－4≤x≤2}． 由y＝＝可知0≤y≤3， 即B＝{x|0≤x≤3}． ∴A∩B＝{x|0≤x≤2}．] 6．(2016·全國(guó)卷Ⅱ改編)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lg x的定義域和值域相同的是________．(填序號(hào)) ①y＝x；②y＝lg x；③y＝2x；④y＝. ④　[函數(shù)y＝10lg x的定義域與

18、值域均為(0，＋∞)． 函數(shù)y＝x的定義域與值域均為(－∞，＋∞)． 函數(shù)y＝lg x的定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)?－∞，＋∞)． 函數(shù)y＝2x的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，值域?yàn)?0，＋∞)． 函數(shù)y＝的定義域與值域均為(0，＋∞)．] 7．已知函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172021】 －　[由于f(a)＝－3， ①若a≤1，則2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1. 由于2x>0，所以2a－1＝－1無(wú)解； ②若a>1，則－log2(a＋1)＝－3， 解得a＋1＝8，a＝7， 所以f(6－a)＝f(－1)＝2－

19、1－1－2＝－. 綜上所述，f(6－a)＝－.] 8．(2017·南京質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝則f(5)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172022】 1　[由題意得f(5)＝f(3)＝f(1)＝|12－2|＝1.] 9．已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域?yàn)閇－，]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______． [－1,2]　[∵y＝f(x2－1)的定義域?yàn)閇－，]， ∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]， ∴y＝f(x)的定義域?yàn)閇－1,2]．] 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． a≤　[f(x)的圖象如圖，由圖象

20、知，滿足f(f(a))≤2時(shí)，得f(a)≥－2，而滿足f(a)≥－2時(shí)，得a≤.] 二、解答題 11．已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172023】 [解]　設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b， 即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立， ∴ 解得 ∴f(x)＝2x＋7. 12．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ (1)求f(g(2))和g(f(2))的值； (2)求f(g(x))的解析式． [解]　

21、(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， ∴f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＝x－1， 故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x； 當(dāng)x＜0時(shí)，g(x)＝2－x， 故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3. ∴f(g(x))＝ B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．具有性質(zhì)：f＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)： ①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是________．(填序號(hào)) ①③　[對(duì)于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x

22、)，滿足；對(duì)于②，f＝＋x＝f(x)，不滿足；對(duì)于③， f＝ 即f＝故f＝－f(x)，滿足． 綜上可知，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③.] 2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，則當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝________. －　[設(shè)－1≤x≤0，則0≤x＋1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．又因?yàn)閒(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝＝－.] 3．規(guī)定[t]為不超過(guò)t的最大整數(shù)，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x

23、]，進(jìn)一步令f2(x)＝f1[g(x)]． (1)若x＝，分別求f1(x)和f2(x)； (2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同時(shí)滿足，求x的取值范圍． [解]　(1)∵x＝時(shí)，4x＝， ∴f1(x)＝＝1. ∵g(x)＝－＝. ∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3. (2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1， ∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3. ∴∴≤x<. 故x的取值范圍為. 4．如圖4-2所示，在梯形ABCD中，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始沿著折線BC，CD，DA前進(jìn)至A，若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為x，△

24、PAB的面積為y. 圖4-2 (1)寫出y＝f(x)的解析式，指出函數(shù)的定義域； (2)畫出函數(shù)的圖象并寫出函數(shù)的值域． [解]　如圖所示， (1)①當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖①所示， 易知∠B＝60°，y＝×10×(xsin 60°)＝x,0≤x≤4. ②當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖②所示， y＝×10×2＝10，4