2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第33講 不等式的證明方法

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1、 第33講 不等式的證明方法 【知識要點(diǎn)】 不等式的證明常用的有六種方法（不等式證明六法：比綜分放數(shù)反） 一、比較法 包括比差和比商兩種方法. 比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論. 如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差. 二、綜合法 證明不等式時(shí)，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒? 三、分析法 證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后

2、將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過的定理、簡單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的方法. 用分析法證明時(shí)，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明……”. 一般用分析法尋找思路，用綜合法寫出證明過程. 四、放縮法 證明不等式時(shí)，有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡，化難為易，達(dá)到證明的目的，這種方法稱為放縮法. 放縮的常見技巧： ①添加或舍去一些項(xiàng)，如： ②將分子或分母放大或縮小，如： ③利用基本不等式等，如： 五、數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論. 在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法.

3、 六、反證法 證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法. 如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí)，一般用反證法. 【方法講評】 方法一 比較法 使用情景 一般是兩個(gè)實(shí)數(shù) 解題方法 包括比差和比商兩種方法. 比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論. 如果

4、兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差. 【例1】已知，則. 【方法點(diǎn)評】比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論. 【例2】設(shè)，求證： 【證明】作商： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴ 【點(diǎn)評】比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論. 【反饋檢測1】已知、、是實(shí)數(shù)，試比較與的大?。? 方法二 綜合法 使用情景 一般題設(shè)較簡單，題目較簡單. 解題方法 證明不等式時(shí)，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒? 【例

5、3】 設(shè)為正實(shí)數(shù)，求證：． 【點(diǎn)評】該題主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答. 【反饋檢測2】已知是不全相等的正數(shù)，求證： 方法三 分析法 使用情景 一般從題設(shè)入手比較難. 解題方法 證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過的定理、簡單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的方法. 【例4】求證: ,求證: 【點(diǎn)評】用分析法證明時(shí)，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明……”.一般用分析法尋找思路，用綜合法寫出證明過程. 【反饋

6、檢測3】設(shè)為實(shí)數(shù)，求證： 方法四 放縮法 使用情景 一般不方便用其它方法，用放縮法比較簡單. 解題方法 證明不等式時(shí)，有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡，化難為易，達(dá)到證明的目的. 【例5】設(shè)， 求證： 【證明】 【點(diǎn)評】由于這是一個(gè)數(shù)列的問題，所以先要對數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行放縮. 【例6】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明：對一切正整數(shù)，有 （2）證明：當(dāng)； 當(dāng)；

7、 【點(diǎn)評】本題的放縮是一個(gè)難點(diǎn)，放縮一定要適當(dāng)，有時(shí)需要數(shù)列的第一項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮，有時(shí)需要數(shù)列的前兩項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮，有時(shí)需要數(shù)列的前三項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮，……，才能放縮出要證明的結(jié)果.這需要大家平時(shí)的訓(xùn)練和積累. 【反饋檢測4】已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性與極值點(diǎn)； （2）若，證明：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方； （3）證明：. 方法五 數(shù)學(xué)歸納法 使用情景 一般是與正整數(shù)有關(guān)的命題. 解題方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論. 在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法. 【例7】證明不等式() 【證明】(1)當(dāng)?shù)?/p>

8、于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假設(shè)（)時(shí)，不等式成立，即1+＜2， ∴當(dāng)時(shí)，不等式成立. 綜合(1)、(2)得：當(dāng)時(shí)，都有1+＜2. 【點(diǎn)評】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論.在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法.是證明的關(guān)鍵. 【反饋檢測5】數(shù)列{}由下列條件決定： （1）證明：對 總有 （2）證明：對 總有. 方法六 反證法 使用情景 一般從正面著手比較困難. 解題方法 證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)

9、與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法. 【例7】 已知，，，求證：，，中至少有一個(gè)小于等于. 【點(diǎn)評】如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí)，一般用反證法. 【反饋檢測6】已知中至少有一個(gè)小于2. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第33講： 不等式的證明方法參考答案 【反饋檢測1答案】見解析 【反饋檢測1詳細(xì)解析】 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立， ∴． 【反饋檢測2答案】見解析 【反饋檢測3答案】見解析 【反饋檢測3詳細(xì)解析】當(dāng)時(shí)，∵，∴成立． 當(dāng)時(shí)，

10、用分析法證明如下： 要證，只需證， 即證，即證：， ∵對一切實(shí)數(shù)恒成立，∴成立． 綜上所述，對任意實(shí)數(shù)不等式都成立． 【反饋檢測4答案】（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)；（2）見解析；（3）見解析. （2）當(dāng)時(shí)，令， ，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，， ∴在上遞減，在上遞增，∴，∴時(shí)，恒成立. 即時(shí)，恒成立，∴當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方. （3）由（2）知，即，∵，∴， 令，則，∴ ∴ ∴不等式成立. 【反饋檢測5答案】見解析 【反饋檢測6答案】見解析 【反饋檢測6詳細(xì)解析】假設(shè) 都不小于2，則 因?yàn)?，所以? 所以 即，這與已知相矛盾，故假設(shè)不成立. 所以中至少有一個(gè)小于2. 11