2018版高考物理 知識復習與檢測 第四章 曲線運動 專題強化五 地球同步衛(wèi)星 雙星或多星模型

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1、 專題強化五　地球同步衛(wèi)星　雙星或多星模型 專題解讀 1.本專題是萬有引力定律在天體運行中的特殊運用，同步衛(wèi)星是與地球(中心)相對靜止的衛(wèi)星；而雙星或多星模型有可能沒有中心天體，近年來常以選擇題形式在高考題中出現(xiàn)． 2．學好本專題有助于學生加深萬有引力定律的靈活應用，加深力和運動關系的理解． 3．需要用到的知識：牛頓第二定律、萬有引力定律、圓周運動規(guī)律等． 命題點一　地球同步衛(wèi)星 1．定義：相對于地面靜止且與地球自轉具有相同周期的衛(wèi)星叫地球同步衛(wèi)星． 2．“七個一定”的特點 (1)軌道平面一定：軌道平面與赤道平面共面． (2)周期一定：與地球自轉周期相同，即T＝24 h.

2、 (3)角速度一定：與地球自轉的角速度相同． (4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步衛(wèi)星離地面的高度h＝3.6×107 m. (5)速率一定：v＝ ＝3.1×103 m/s. (6)向心加速度一定：由G＝ma得a＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步衛(wèi)星的向心加速度等于軌道處的重力加速度． (7)繞行方向一定：運行方向與地球自轉方向相同． 例1　利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設地球的自轉周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉周期的最小值約為(　　) A．1 h

3、 B．4 h C．8 h D．16 h 答案　B 解析　地球自轉周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉周期也應隨之變小，由開普勒第三定律＝k可知衛(wèi)星離地球的高度應變小，要實現(xiàn)三顆衛(wèi)星覆蓋全球的目的，則衛(wèi)星周期最小時，由數(shù)學幾何關系可作出它們間的位置關系如圖所示． 衛(wèi)星的軌道半徑為r＝＝2R 由＝得 ＝. 解得T2≈4 h. 解決同步衛(wèi)星問題的“四點”注意 1．基本關系：要抓?。篏＝ma＝m＝mrω2＝mr. 2．重要手段：構建物理模型，繪制草圖輔助分析． 3．物理規(guī)律 (1)不快不慢：具有特定的運行線速度、角速度和周期． (2)不高不低：具有特定的位置

4、高度和軌道半徑． (3)不偏不倚：同步衛(wèi)星的運行軌道平面必須處于地球赤道平面上，只能靜止在赤道上方的特定的點上． 4．重要條件 (1)地球的公轉周期為1年，其自轉周期為1天(24小時)，地球的表面半徑約為6.4×103 km，表面重力加速度g約為9.8 m/s2. (2)月球的公轉周期約27.3天，在一般估算中常取27天． (3)人造地球衛(wèi)星的運行半徑最小為r＝6.4×103 km，運行周期最小為T＝84.8 min，運行速度最大為v＝7.9 km/s . 1．國務院批復，自2016年起將4月24日設立為“中國航天日”．如圖1所示，1970年4月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星

5、東方紅一號，目前仍然在橢圓軌道上運行，其軌道近地點高度約為440 km，遠地點高度約為2 060 km；1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號衛(wèi)星運行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上．設東方紅一號在遠地點的加速度為a1，東方紅二號的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關系為(　　) 圖1 A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1 C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3 答案　D 解析　由于東方紅二號衛(wèi)星是同步衛(wèi)星，則其角速度和赤道上的物體角速度相等，根據(jù)a＝ω2r，r2>r3，則a2>a3；由萬有引力定律

6、和牛頓第二定律得，G＝ma，由題目中數(shù)據(jù)可以得出，r1a2>a3，選項D正確． 2．研究表明，地球自轉在逐漸變慢，3億年前地球自轉的周期約為22小時．假設這種趨勢會持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，未來人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比(　　) A．距地面的高度變大 B．向心加速度變大 C．線速度變大 D．角速度變大 答案　A 解析　地球的自轉周期變大，則地球同步衛(wèi)星的公轉周期變大．由＝m(R＋h)，得h＝ －R，T變大，h變大，A正確． 由＝ma，得a＝，r增大，a減小，B錯誤． 由＝，得v＝ ，r增大，v減小，C錯誤． 由ω＝可

7、知，角速度減小，D錯誤． 3．(多選)地球同步衛(wèi)星離地心的距離為r，運行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a2，地球的第一宇宙速度為v2，半徑為R，則下列比例關系中正確的是(　　) A.＝ B.＝()2 C.＝ D.＝ 答案　AD 解析　設地球的質量為M，同步衛(wèi)星的質量為m1，在地球表面繞地球做勻速圓周運動的物體的質量為m2，根據(jù)向心加速度和角速度的關系有a1＝ωr，a2＝ωR，又ω1＝ω2，故＝，選項A正確；由萬有引力定律和牛頓第二定律得G＝m1，G＝m2，解得＝，選項D正確． 命題點二　雙星或多星模型 1．雙星模型 (1)定義：繞公共

8、圓心轉動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖2所示． 圖2 (2)特點： ①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2 ②兩顆星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2 ③兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L (3)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即＝. 2．多星模型 (1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同． (2)三星模型： ①三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖3甲所示)． ②三顆

9、質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)． 圖3 (3)四星模型： ①其中一種是四顆質量相等的恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)． ②另一種是三顆恒星始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)． 例2　由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內做相同角速度的圓周運動(圖4為A、B、C三顆星體質量不相同時的一般情況)．若A星體質量為2m、

10、B、C兩星體的質量均為m，三角形的邊長為a，求： 圖4 (1)A星體所受合力大小FA； (2)B星體所受合力大小FB； (3)C星體的軌道半徑RC； (4)三星體做圓周運動的周期T. 答案　(1)2G　(2)G　(3)a　(4)π 解析　(1)由萬有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為FBA＝G＝G＝FCA 方向如圖所示 則合力大小為FA＝FBA·cos 30°＋FCA·cos 30°＝2G (2)同上，B星體所受A、C星體引力大小分別為 FAB＝G＝G FCB＝G＝G 方向如圖所示， 由余弦定理得合力為： FB＝＝G (3)由于mA＝2m，mB＝m

11、C＝m 通過分析可知，圓心O在BC的中垂線AD的中點 則RC＝ ＝a (4)三星體運動周期相同，對C星體，由FC＝FB＝G＝m()2RC，可得T＝π . 4．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為(　　) A.T B.T C.T D.T 答案　B 解析　設兩恒星的質量分別為m1、m2，距離為L， 雙

12、星靠彼此的引力提供向心力，則有 G＝m1r1 G＝m2r2 并且r1＋r2＝L 解得T＝2π 當兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時 T′＝2π＝·T 故選項B正確． 5．銀河系的恒星中大約四分之一是雙星．如圖5所示，某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點O做勻速圓周運動．由天文觀察測得它們的運動周期為T，若已知S1和S2的距離為r，引力常量為G，求兩星的總質量M. 圖5 答案　 解析　設星體S1、S2的質量分別為m1、m2，運動的軌道半徑分別為R1、R2，則運動的角速度為ω＝ 根據(jù)萬有引力定律和向

13、心力公式有 G＝m1ω2R1＝m2ω2R2 又R1＋R2＝r 聯(lián)立解得兩星的總質量為 M＝m1＋m2＝＋＝＝. 一、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上隨地球自轉的物體的比較 如圖6所示，a為近地衛(wèi)星，半徑為r1；b為同步衛(wèi)星，半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉的物體，半徑為r3. 圖6 近地衛(wèi)星 同步衛(wèi)星 赤道上隨地球自轉的物體 向心力 萬有引力 萬有引力 萬有引力的一個分力 軌道半徑 r1r3＝r1 角速度 由＝mrω2得ω＝ ，故ω1>ω2 同步衛(wèi)星的角速度與地球自轉角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 線速度 由＝得v＝

14、，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝rω2得a2>a3 a1>a2>a3 二、衛(wèi)星追及相遇問題 典例　(多選)如圖7所示，三個質點a、b、c的質量分別為m1、m2、M(M遠大于m1及m2)，在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的有(　　) 圖7 A．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8 B．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4 C．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線12次 D．

15、從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次 點評　某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠之 分，但它們都處在同一條直線上，由于它們的軌道不是重合的，因此在最近和最遠的相遇問題上不能通過位移或弧長相等來處理，而是通過衛(wèi)星運動的圓心角來衡量，若它們初始位置在同一直線上，實際上內軌道所轉過的圓心角與外軌道所轉過的圓心角之差為π的整數(shù)倍時就是出現(xiàn)最近或最遠的時刻，而本題中a、b、c三個質點初始位置不在一條直線上，故在列式時要注意初始角度差． 答案　AD 解析　根據(jù)開普勒第三定律：周期的平方與半徑的三次方成正比，則周期之比為1∶8，A對；設圖示位置夾角為θ<，b轉動一周(圓心角為

16、2π)的時間為t＝Tb，則a、b相距最遠時：Tb－Tb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n<6.75，n可取7個值；a、b相距最近時：Tb－Tb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m<6.25，m可取7個值，故在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次，D對． 題組1　同步衛(wèi)星 1．(多選)據(jù)報道，北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)利用其定位、導航等功能加入到馬航MH370失聯(lián)客機搜救工作，為指揮中心調度部署人力、物力提供決策依據(jù)，保證了搜救船只準確抵達相關海域，幫助搜救船只規(guī)劃搜救航線，避免搜救出現(xiàn)遺漏海域，目前北斗衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)由高度均約為36 000 km

17、的5顆靜止軌道衛(wèi)星和5顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星以及高度約為21 500 km的4顆中軌道衛(wèi)星組網運行，下列說法正確的是(　　) A．中軌道衛(wèi)星的周期比同步衛(wèi)星的周期大 B．所有衛(wèi)星均位于以地心為中心的圓形軌道上 C．同步衛(wèi)星和中軌道衛(wèi)星的線速度均小于第一宇宙速度 D．赤道上隨地球自轉的物體的向心加速度比同步衛(wèi)星的向心加速度大 答案　BC 解析　由開普勒第三定律可知，軌道半徑較小的中軌道衛(wèi)星的周期比同步衛(wèi)星的周期小，A項錯；由題意知，北斗導航系統(tǒng)的衛(wèi)星軌道高度一定，因此衛(wèi)星均位于以地心為中心的圓形軌道上，B項正確；第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球的最大運行速度，C項正確；赤道上物體與同步衛(wèi)星的

18、角速度相同，由a＝ω2r可知，同步衛(wèi)星的向心加速度較大，D項錯． 2．如圖1所示，軌道Ⅰ是近地氣象衛(wèi)星軌道，軌道Ⅱ是地球同步衛(wèi)星軌道，設衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上都繞地心做勻速圓周運動，運行的速度大小分別是v1和v2，加速度大小分別是a1和a2，則(　　) 圖1 A．v1>v2　a1v2　a1>a2 C．v1a2 答案　B 解析　根據(jù)G＝m＝ma，可知v＝ ，a＝，所以v1>v2，a1>a2.選項B正確． 3．設地球的質量為M，半徑為R，自轉周期為T，引力常量為G.“神舟九號”繞地球運行時離地面的高度為h，則“神舟九

19、號”與“同步衛(wèi)星”各自所在軌道處的重力加速度的比值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設“神舟九號”與“同步衛(wèi)星”各自所在軌道處的重力加速度分別為g神九、g同步，則m神九g神九＝G，m同步g同步＝G＝，聯(lián)立可得＝，故C正確． 4．“神舟八號”飛船繞地球做勻速圓周運動時，飛行軌道在地球表面的投影如圖2所示，圖中標明了飛船相繼飛臨赤道上空所對應的地面的經度．設“神舟八號”飛船繞地球飛行的軌道半徑為r1，地球同步衛(wèi)星飛行軌道半徑為r2.則r∶r等于(　　) 圖2 A．1∶24 B．1∶156 C．1∶210 D．1∶256 答案　D 解析　從圖象中

20、可以看出，飛船每運行一周，地球自轉22.5°，故飛船的周期為T1＝×24 h＝1.5 h，同步衛(wèi)星的周期為24 h，由開普勒第三定律可得＝＝()2＝，故選D. 題組2　雙星、多星模型 5．(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖3所示，三顆質量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，萬有引力常量為G，則(　　) 圖3 A．每顆星做圓周運動的線速度為 B．每顆星做圓周運動的角速度為 C．每顆星做圓周運動的周期為2π D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無

21、關 答案　ABC 解析　由圖可知，每顆星做勻速圓周運動的半徑r＝＝R.由牛頓第二定律得·2cos 30°＝m＝mω2r＝mr＝ma，可解得v＝ ，ω＝ ，T＝2π，a＝，故A、B、C均正確，D錯誤． 6．2016年2月11日，美國科學家宣布探測到引力波的存在，引力波的發(fā)現(xiàn)將為人類探索宇宙提供新視角，這是一個劃時代的發(fā)現(xiàn)．在如圖4所示的雙星系統(tǒng)中，A、B兩個恒星靠著相互之間的引力正在做勻速圓周運動，已知恒星A的質量為太陽質量的29倍，恒星B的質量為太陽質量的36倍，兩星之間的距離L＝2×105 m，太陽質量M＝2×1030 kg，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π2＝1

22、0.若兩星在環(huán)繞過程中會輻射出引力波，該引力波的頻率與兩星做圓周運動的頻率具有相同的數(shù)量級，則根據(jù)題目所給信息估算該引力波頻率的數(shù)量級是(　　) 圖4 A．102 Hz B．104 Hz C．106 Hz D．108 Hz 答案　A 解析　A、B的周期相同，角速度相等，靠相互之間的引力提供向心力， 有G＝MArA① G＝MBrB② 有MArA＝MBrB，rA＋rB＝L， 解得rA＝L＝L＝L. 由①得T＝ ， 則f＝＝ ＝ Hz≈1.6×102 Hz. 7．經過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在

23、形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)由兩個星體組成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當成孤立系統(tǒng)來處理．現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動． (1)計算出該雙星系統(tǒng)的運動周期T； (2)若該實驗中觀測到的運動周期為T觀測，且T觀測∶T＝1∶(N>1)．為了理解T觀測與T的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布這種暗物質．若不考慮其他暗物質的影響，根據(jù)這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度． 答案　(1)πL　(2) 解析　(1)雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，萬有引力提供向心力，則G＝M2·，解得T＝πL. (2)N>1，根據(jù)觀測結果，星體的運動周期為T觀測＝T