【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學 北師大版一輪訓練：第8篇 第6講 拋物線

《【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學 北師大版一輪訓練：第8篇 第6講 拋物線》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學 北師大版一輪訓練：第8篇 第6講 拋物線（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第6講　拋物線 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·四川卷)拋物線y2＝8x的焦點到直線x－y＝0的距離是 (　　)． A．2　 B．2　 C．　 D．1 解析　由拋物線方程知2p＝8?p＝4，故焦點F(2,0)，由點到直線的距離公式知，F(xiàn)到直線x－y＝0的距離d＝＝1. 答案　D 2．(20xx·安康中學模擬)已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p＞0)的準線相切，則p的值為 (　　)． A．1　 B．2　 C．　 D．4 解析　圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心為(3,0)，半徑為4.圓心到準線的距

2、離為3－＝4，解得p＝2. 答案　B 3．點M(5,3)到拋物線y＝ax2的準線的距離為6，那么拋物線的方程是(　　)． A．y＝12x2　 B．y＝12x2或y＝－36x2 C．y＝－36x2　 D．y＝x2或y＝－x2 解析　分兩類a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2. 答案　D 4．(20xx·吉安模擬)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F與雙曲線－＝1的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且|AK|＝|AF|，則A點的橫坐標為 (　　)． A．2　 B．3　 C．2　 D．4 解析　拋物線的焦點為，準線為x＝－.雙曲線的右焦點為(3,0)

3、，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.過A做準線的垂線，垂足為M，則|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，設A(x，y)，則y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3. 答案　B 5．(20xx·新課標全國Ⅱ卷)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為 (　　)． A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1) C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1) 解析　法一　由|AF|＝3|BF|，得＝3，而F點坐標為(1,0)，設B(x0，y0)，則從而可解得A

4、的坐標為(4－3x0，－3y0)，因為點A，B都在拋物線上，所以解得x0＝，y0＝±，所以kl＝＝±. 則過點F的直線方程為y＝(x－1)或y＝－(x－1)． 法二　結合焦點弦公式|AB|＝及＋＝求解，設直線AB的傾斜角為θ，由題意知p＝2，F(xiàn)(1,0)，＝3，又＋＝，∴＋＝1， ∴|BF|＝，|AF|＝4，∴|AB|＝. 又由拋物線焦點弦公式：|AB|＝，∴＝， ∴sin2θ＝，∴sin θ＝，∴k＝tan θ＝±，故選C. 答案　C 二、填空題 6．若點P到直線y＝－1的距離比它到點(0,3)的距離小2，則點P的軌跡方程是________． 解析　由題意可知點P到直線y＝

5、－3的距離等于它到點(0,3)的距離，故點P的軌跡是以點(0,3)為焦點，以y＝－3為準線的拋物線，且p＝6，所以其標準方程為x2＝12y. 答案　x2＝12y 7．已知拋物線y2＝4x上一點M與該拋物線的焦點F的距離|MF|＝4，則點M的橫坐標x0＝________. 解析　拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線為x＝－1. 根據(jù)拋物線的定義，點M到準線的距離為4，則M的橫坐標為3. 答案　3 8．(20xx·陜西卷)如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米． 解析　 如圖，建立平面直角坐標系，設拋物線

6、方程為x2＝－2py(p＞0)．由題意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.設B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米． 答案　2 三、解答題 9．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(－3，m)到焦點的距離為5，求拋物線的方程和m的值． 解　法一　根據(jù)已知條件，拋物線方程可設為 y2＝－2px(p＞0)，則焦點F. ∵點M(－3，m)在拋物線上，且|MF|＝5， 故 解得 或 ∴拋物線方程為y2＝－8x，m＝±2. 法二　設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則準線方程為x＝，由拋物線定義，M點到焦點的距離等于M點

7、到準線的距離，所以有－(－3)＝5，∴p＝4. ∴所求拋物線方程為y2＝－8x， 又∵點M(－3，m)在拋物線上， 故m2＝(－8)×(－3)， ∴m＝±2. 10．設拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為C的焦點，過F的直線l與C相交于A，B兩點． (1)設l的斜率為1，求|AB|的大小； (2)求證：·是一個定值． (1)解　∵由題意可知拋物線的焦點F為(1,0)，準線方程為x＝－1，∴直線l的方程為y＝x－1， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6， 由直線l過焦點，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8. (2)證明　

8、設直線l的方程為x＝ky＋1， 由得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)． ∵·＝x1x2＋y1y2 ＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3. ∴·是一個定值． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　)． A．x2＝y(tǒng)　 B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y　 D．x2＝1

9、6y 解析　∵－＝1的離心率為2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦點坐標為，－＝1的漸近線方程為y＝±x，即y＝±x.由題意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，選D. 答案　D 2．(20xx·上饒模擬)已知P是拋物線y2＝4x上一動點，則點P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是 (　　)． A.　 B.　 C．2　 D.－1 解析　由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)．設點P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離

10、，故d＋|PF|的最小值為＝，所以d＋|PF|－1的最小值為－1. 答案　D 二、填空題 3．(20xx·鄭州二模)已知橢圓C：＋＝1的右焦點為F，拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝________. 解析　拋物線的焦點坐標為F(1,0)，準線方程為x＝－1.因為直線AF的傾斜角為120°，所以tan 120°＝，所以yA＝2.因為PA⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4. 答案　4 三、解答題 4．(20xx·臺州質(zhì)量評估)已知拋物線

11、C：x2＝4y的焦點為F，過點K(0，－1)的直線l與C相交于A，B兩點，點A關于y軸的對稱點為D. (1)證明：點F在直線BD上； (2)設·＝，求∠DBK的平分線與y軸的交點坐標． (1)證明　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(－x1，y1)，l的方程為y＝kx－1，由得x2－4kx＋4＝0， 從而x1＋x2＝4k，x1x2＝4. 直線BD的方程為y－y1＝(x＋x1)， 即y－＝(x＋x1)， 令x＝0，得y＝＝1，所以點F在直線BD上． (2)解　因為·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝8－4k2，故8－4k2＝，解得k＝±，所以l的方程為4x－3y－3＝0,4x＋3y＋3＝0. 又由(1)得x2－x1＝±＝±， 故直線BD的斜率為＝±， 因而直線BD的方程為x－3y＋3＝0，x＋3y－3＝0. 設∠DBK的平分線與y軸的交點為M(0，t)， 則M(0，t)到l及BD的距離分別為，， 由＝，得t＝或t＝9(舍去)， 所以∠DBK的平分線與y軸的交點為M.