2018年高考數(shù)學(xué) 專題42 巧解圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題解題模板

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1、 專題42 巧解圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題 【高考地位】 圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容和熱點(diǎn)，知識(shí)綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高，這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．定值問題與定點(diǎn)問題是這類題目的典型代表，為了提高同學(xué)們解題效率，特別是高考備考效率，本文列舉了一些典型的定點(diǎn)和定值問題，以起到拋磚引乇的作用． 【方法點(diǎn)評(píng)】 方法一 定點(diǎn)問題 求解直線和曲線過定點(diǎn)問題的基本解題模板是：把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全

2、部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)，或者可以通過特例探求，再用一般化方法證明． 【例1】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓過點(diǎn)，直線 交軸于，且為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)是橢圓上的頂點(diǎn)，過點(diǎn)分別作出直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)這兩條直線的斜率 分別為，且，證明：直線過定點(diǎn)． 【答案】（1）；（2）證明見解析. 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線位置關(guān)系． 【方法點(diǎn)晴】求曲線方程主要方法是方程的思想，將向量的條件轉(zhuǎn)化為垂直.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲

3、線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法. 涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解． 【變式演練1】【2018貴州省遵義市模擬】已知點(diǎn)P是圓F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段PF2的垂直平分線分別與PF1，PF2交于M，N兩點(diǎn)． （1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程； （2）過點(diǎn)G（0， ）的動(dòng)直線l與點(diǎn)的軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)Q，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q

4、的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】（1）由圓F1：（x﹣1）2+y2=8，得F1（1，0），則F2（﹣1，0）， 由題意得 ， ∴點(diǎn)M的軌跡C為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓， ∵ ∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為； 方法二 定值問題 解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值，求定值問題常見的解題模板有兩種： ①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)； ②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 【例2】已知拋物線，

5、直線與交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）求拋物線的方程； （2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,0），記直線、的斜率分別為，，證明：為定值. 【答案】（1）；（2）詳見解析 考點(diǎn)：1.拋物線方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系. 【變式演練2】【2018河南鄭州市第一中學(xué)模擬】設(shè)， 是橢圓上的兩點(diǎn)，橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，已知向量， ，且， 為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）若直線過橢圓的焦點(diǎn)，（ 為半焦距），求直線的斜率的值； （2）試問： 的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由. 【解析】（1）由題可得： ， ，所以，橢圓的方程為 設(shè)的方程為： ，代入得：

6、∴， ， ∵，∴，即： 即，解得： 點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的定值問題，解題時(shí)要注意解題技巧的運(yùn)用，如常用的設(shè)而不求，整體代換的方法；探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，借助韋達(dá)定理，結(jié)合向量所提供的坐標(biāo)關(guān)系，然后經(jīng)過計(jì)算推理過程中消去變量，從而得到定值. 【高考再現(xiàn)】 1. 【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直

7、線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn). 【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】橢圓的對(duì)稱性是橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，可以通過這一方法進(jìn)行判斷；證明直線過定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可以判斷過定點(diǎn)情況.另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中為告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在情況，接著通法是聯(lián)立方程組，求判別式、韋達(dá)定理，根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn). 2．【2017課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m

8、變化時(shí)，解答下列問題： （1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； （2）證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 【答案】（1）不會(huì)；（2）詳見解析 【解析】試題分析：（1）設(shè)，由AC⊥BC得；由韋達(dá)定理得，矛盾，所以不存在（2）可設(shè)圓方程為,因?yàn)檫^，所以 ，令 得，即弦長(zhǎng)為3. 試題解析：（1）設(shè)，則是方程的根， 所以， 則， 所以不會(huì)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況。 【考點(diǎn)】圓一般方程，圓弦長(zhǎng) 【名師點(diǎn)睛】：直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略 (1)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)

9、公式： (2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題． 3.【2017北京，文19】已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）詳見解析. （Ⅱ）設(shè)，則. 由題設(shè)知，且. 直線的斜率，故直線的斜率. 所以直線的方程為. 直線的方程為. 聯(lián)立解得點(diǎn)的縱坐標(biāo). 由點(diǎn)在橢圓上，得. 所以. 又， ， 所以與的面

10、積之比為. 【考點(diǎn)】1.橢圓方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系. 4.【2016高考北京文數(shù)】（本小題14分） 已知橢圓C：過點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn). （I）求橢圓C的方程及離心率； （Ⅱ）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析. 【解析】 考點(diǎn)：橢圓方程，直線和橢圓的關(guān)系，運(yùn)算求解能力. 【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過程中消去變量

11、，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算. 5. 【2016高考山東文數(shù)】(本小題滿分14分) 已知橢圓C:（a>b>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2. （I）求橢圓C的方程； (Ⅱ)過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B. (i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值. (ii)求直線AB的斜率的最小值. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)見解析；(ii)直線AB 的斜率

12、的最小值為 . 【解析】 此時(shí)，所以為定值. 所以直線AB 的斜率的最小值為 . 考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.基本不等式. 【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到參數(shù)的解析式或方程是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分析問題解決問題的能力等. 6. 【2016高考四川文科】（本小題滿分13分） 已知橢圓E：的

13、一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上. (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為2(1)的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：． 【答案】（1）；（2）證明詳見解析. 【解析】 所以. 又 . 所以. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點(diǎn)問題時(shí)，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，同時(shí)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得，再把用表示出來，并代入剛才的，這種方法是解析幾何

14、中的“設(shè)而不求”法．可減少計(jì)算量，簡(jiǎn)化解題過程． 7. 【2016年高考北京理數(shù)】（本小題14分） 已知橢圓C： （）的離心率為 ，，，，的面積為1. （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)M，直線PB與軸交于點(diǎn)N. 求證：為定值. 【答案】（1）；（2）詳見解析. 考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)

15、，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算. 8. 【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分13分） 已知橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T. （Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)； （Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l’平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值. 【答案】（Ⅰ），點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）；（Ⅱ）. （II）由已知可設(shè)直線 的方程為， 有方程組 可得 所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ），. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

16、及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點(diǎn)問題時(shí)，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，同時(shí)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得，再把用表示出來，并代入剛才的，這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求”法．可減少計(jì)算量，簡(jiǎn)化解題過程． 9.【2017北京，文19】已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）詳見解析. （Ⅱ）

17、設(shè)，則. 由題設(shè)知，且. 直線的斜率，故直線的斜率. 所以直線的方程為. 直線的方程為. 聯(lián)立解得點(diǎn)的縱坐標(biāo). 【反饋練習(xí)】 1. 【2018黑龍江齊齊哈爾八中三?！恳阎獧E圓： （）的離心率為，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，且，直線： 與橢圓交于， 兩點(diǎn). （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知點(diǎn)，若是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)的值. 【答案】（1）；（2）1 【解析】試題分析：（1）由題意， ，又，求得橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，得到韋達(dá)定理， ，所以所以，解得. （2）設(shè)， ，聯(lián)立方程消元得， ， ∴， ， 又是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，∴，

18、即， ∴， .∵，∴. 當(dāng)時(shí)， ，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，滿足題意. 2. 【2018北京大興聯(lián)考】已知橢圓的短軸端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若， ，求證： 為定值． 【答案】(1) ;(2)詳見解析. 方法一：因?yàn)椋? 同理，且與異號(hào)， 所以 .

19、 所以， 為定值. 方法三：由題意直線過點(diǎn)，設(shè)方程為 ， 將代人得點(diǎn)坐標(biāo)為， 由 消元得， 設(shè)， ，則且， 因?yàn)椋? 同理，且與異號(hào)， 所以 . 又當(dāng)直線與軸重合時(shí)， ， 所以， 為定值. 【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，其主要思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程，整理成關(guān)于或的一元二次方程，利用根與系數(shù)的

20、關(guān)系進(jìn)行求解，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，在設(shè)方程時(shí)，往往設(shè)為 ，可減少討論該直線是否存在斜率. 3. 【2018云南昆明一中一?！恳阎?jiǎng)狱c(diǎn)滿足： . （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn) ，證明見解析. 4. 【2018廣西柳州摸底聯(lián)考】已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且. （1）求該拋物線的方程； （2）已知拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由. 【答案】（1）；（2）定點(diǎn) 【解析】試題分析：（1）利

21、用點(diǎn)斜式設(shè)直線直線的方程,與拋物線聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求,再根據(jù)解得.（2）先設(shè)直線方程, 與拋物線聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，得或,代入方程可得直線過定點(diǎn) （2）由（1）可得點(diǎn)，可得直線的斜率不為0， 設(shè)直線的方程為： ， 聯(lián)立，得， 則①. 設(shè)，則. ∵ 即，得： ， ∴，即或， 代人①式檢驗(yàn)均滿足， ∴直線的方程為： 或. ∴直線過定點(diǎn)（定點(diǎn)不滿足題意，故舍去）. 點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、

22、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 5. 【2018河南洛陽聯(lián)考】如圖，點(diǎn)是拋物線： （）的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的定點(diǎn)，且，點(diǎn)， 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線， 斜率分別為， ． （1）求拋物線的方程； （2）若，點(diǎn)是拋物線在點(diǎn)， 處切線的交點(diǎn)，記的面積為，證明為定值． 【答案】（1）（2） 試題解析： （1）設(shè)，由題知，所以 ， 所以代入（）中得，即， 所以拋物線的方程是． 點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式

23、轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 6. 【2018湖北八校聯(lián)考】已知拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為． （1）若，過點(diǎn), 的直線與拋物線相交于另一點(diǎn)，求的值； （2）若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得的長(zhǎng)為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）；（2）時(shí)， ， 的長(zhǎng)為定值． （2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程可得， 設(shè) ，則， ，① 由得： ， 整理得，②

24、 將①代入②解得，∴直線， ∵圓心到直線l的距離，∴， 顯然當(dāng)時(shí)， ， 的長(zhǎng)為定值． 點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔；拋物線上點(diǎn)的特征，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，即為，兩直線垂直即可轉(zhuǎn)化為斜率也可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，直線與圓相交截得的弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑以及圓心到直線的距離可構(gòu)成直角三角形. 7. 【2018黑龍江齊齊哈爾八中二?！恳赃呴L(zhǎng)為的正三角形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，過拋物線的焦點(diǎn)的直線過交拋物線于兩點(diǎn). （1）求拋物線的方程； （2）求證： 為定值； （3）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程

25、. 【答案】（1）；（2）證明見解析；（3） 試題解析： （1）因?yàn)檎切魏蛼佄锞€都是軸對(duì)稱圖形，且三角形的一個(gè)頂點(diǎn)扣拋物線的頂點(diǎn)重合，所以，三角形的頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，如圖所示. 由可得， ∵，∴. ∴拋物線的方程為. 8. 【2018湖南株洲兩校聯(lián)考】已知橢圓E: 經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，且離心率為． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．探求直線AB是否過定點(diǎn)，如果經(jīng)過定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）；（2）直線AB過定點(diǎn)Q（0，﹣2）. 【解析】試題分

26、析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程；（2）先由特殊情況得到結(jié)果，再考慮一般情況，聯(lián)立直線和橢圓得到二次函數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理，和向量坐標(biāo)化的方法，得到結(jié)果。 （Ⅱ）當(dāng)M，N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí)，顯然直線AB為y軸，所以若直線過定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)一點(diǎn)在y軸上， 當(dāng)M，N不是短軸的端點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）， 由消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，·則△=16（8k2﹣t2+2）＞0， x1+x2=，x1x2=， 又直線PA的方程為y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2）， 因此M點(diǎn)坐標(biāo)為（0

27、， ），同理可知：N（0， ）， 由，則+=0， 化簡(jiǎn)整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0， 則（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0， 當(dāng)且僅當(dāng)t=﹣2時(shí)，對(duì)任意的k都成立，直線AB過定點(diǎn)Q（0，﹣2）. 9. 【2018廣西南寧聯(lián)考】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為. （l）求拋物線的方程； （2）拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合），設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值. 【答案】(1)；(2)證明見解析. 【解析】試題分析：（1）由焦半徑定義和點(diǎn)在拋物線上建立兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，可求得

28、拋物線方程。（2）由（1）知拋物線的方程，及，，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為, 10. 【2018重慶市第一中學(xué)模擬】已知橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)組成的四邊形為正方形，且橢圓過點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）四邊形的頂點(diǎn)都在橢圓上，且對(duì)角線、過原點(diǎn)，若，求證：四邊形的面積為定值． 【解析】（1）由題意， ，又，解得， ， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）設(shè)直線的方程為，設(shè)， ， 聯(lián)立得， ， ， ， ∵，∴，∴ ， ， ∴，∴，∴， 設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則 ， ∴，即四邊形的面積為定值． 11. 【2018黑龍江齊齊哈爾市第八中學(xué)模擬】已

29、知拋物線的焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的面積為. （1）求； （2）設(shè)點(diǎn)為直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，過點(diǎn)作的斜率分別為的兩條弦，如果，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo). 而直線的方程為，因?yàn)橐矑佄锞€上，所以代入上述方程并整理得， ， . 令，則，代入的方程得， 整理得， 若上式對(duì)任意變化的恒成立，則，解得 故直線經(jīng)過定點(diǎn). 12. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，橢圓， 為橢圓的右頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且異于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)， 在軸的上方，直線與圓的另一交點(diǎn)為，直線與圓的另一交點(diǎn)為， （1）若，求直線的斜率； （2）設(shè)與的面積分別為，求的最大值. 44