高中數(shù)學 第三章 數(shù)學歸納法與貝努利不等式課件 新人教B版選修45

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1、本章整合知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題專題數(shù)學歸納法證題的常用技巧在使用數(shù)學歸納法證明時,一般說來,第一步,驗證比較簡明,而第二步歸納步驟情況較復雜.因此,熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的,其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題,歸納假設“P(k)”是問題的條件,而命題P(k+1)成立就是所要證明的結論,因此,合理運用歸納假設這一條件就成了歸納步驟中的關鍵,下面簡要分析一些常用技巧.1.分析綜合法用數(shù)學歸納假設證明關于自然數(shù)n的不等式,從“P(k)”到“P(k+1)”,常常

2、可用分析綜合法.知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題2(ak+1+bk+1)(a+b)(ak+bk)2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)0ak+1-abk-bak+bk+10(a-b)(ak-bk)0.因為a-b與(ak-bk)同正負(或同時為0),所以最后一個不等式顯然成立,即當n=k+1時,不等式成

3、立.知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題2.放縮法涉及關于正整數(shù)n的不等式,從“k”過渡到“k+1”,有時也考慮用放縮法.知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題3.遞推法用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關的問題時,有時要利用an與an+1的關系,實現(xiàn)從“k”到“k+1”的過渡.知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題即當n=k+1時,原不等式也成立.根據(jù)(1)(2)可知,當nN*時,原不等式都成立.知識建構真題放送

4、綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題4.構造配湊法用數(shù)學歸納法證明關于正整數(shù)的命題(尤其是整除)時,從“k”過渡到“k+1”常常用構造配湊法.應用5求證:62n+3n+2+3n是11的倍數(shù)(nN*).證明:(1)當n=1時,621+31+2+31=66,是11的倍數(shù).(2)假設當n=k(kN*,且k1)時,命題成立,即62k+3k+2+3k是11的倍數(shù).則當n=k+1時,62(k+1)+3k+3+3k+1=62k+2+3k+3+3k+1=3662k+33k+2+33k=3362k+362k+33k+2+33k=3362k+3(62k+3k+2+3k).由假設可知3(62

5、k+3k+2+3k)是11的倍數(shù),而3362k也是11的倍數(shù),故n=k+1時,原命題也成立.根據(jù)(1)(2)可知,對任意nN*原命題成立.知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題5.幾何法“幾何類”命題的證題關鍵是先要從證明當n=k+1時命題成立的結論中,分解出當n=k時命題成立的部分,然后去證余下的部分.應用6在同一平面內有n條直線,每兩條不平行,任意三條不共點,求證:它們將此平面分知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構專題知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構(湖北高考)(1)已知函數(shù)f

6、(x)=rx-xr+(1-r)(x0),其中r為有理數(shù),且0r1,求f(x)的最小值;(2)試用(1)的結果證明如下命題:設a10,a20,b1,b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則 a1b1+a2b2;(3)請將(2)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學歸納法證明你所推廣的命題.注:當為正有理數(shù)時,有求導公式(x)=x-1.解:(1)f(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f(x)=0,解得x=1.當0 x1時,f(x)1時,f(x)0,所以f(x)在(1,+)內是增函數(shù).故函數(shù)f(x)在x=1處取得最小值f(1)=0.知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構()假設當n=k時,成立,即若a1,a2,ak為非負實數(shù),b1,b2,bk為正有理數(shù),知識建構真題放送綜合應用綜合應用真題放送知識建構綜合應用真題放送知識建構又(1-bk+1)+bk+1=1,由得 bk+1)+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1,故當n=k+1時,成立.根據(jù)()()可知,對一切正整數(shù)n,所推廣的命題成立.說明:(3)中如果推廣形式中指出式對n2成立,則后續(xù)證明中不需討論n=1的情況.