高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 第4課時(shí) 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 理

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1、第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第第4課時(shí)函數(shù)的奇偶性和周期性課時(shí)函數(shù)的奇偶性和周期性 1了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，并能運(yùn)用奇偶性的定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性 2掌握奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖像對稱關(guān)系，并能熟練地利用對稱性解決函數(shù)的綜合問題 請注意 函數(shù)的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命題時(shí)主要是與函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)綜合在一起考查而近幾年的高考中加大了對非三角函數(shù)的周期性和抽象函數(shù)的奇偶性、周期性的考查力度 1奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇偶性 對于函數(shù)f(x)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱： (1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就是奇函數(shù)； (2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)

2、任意一個(gè)x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就是偶函數(shù)； (3)如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù))，那么稱這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)具有奇偶性f(x)f(x)f(x)f(x) 2證明函數(shù)奇偶性的方法步驟 (1)確定函數(shù)定義域關(guān)于對稱； (2)判定f(x)f(x)(或f(x)f(x)，從而證得函數(shù)是奇(偶)函數(shù)原點(diǎn) 3奇偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)圖像關(guān)于 對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于 對稱； (2)若奇函數(shù)f(x)在x0處有意義，則f(0)； (3)若奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性 ； 若偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性 (4)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(|x|)，反

3、之也成立y軸0一致相反原點(diǎn) 4一些重要類型的奇偶函數(shù) (1)函數(shù)f(x)axax為函數(shù)，函數(shù)f(x)axax為函數(shù)；偶奇奇 奇 奇 5周期函數(shù) 若f(x)對于定義域中任意x均有 (T為不等于0的常數(shù))，則f(x)為周期函數(shù) 6函數(shù)的對稱性 若f(x)對于定義域中任意x，均有f(x)f(2ax)，或f(ax)f(ax)，則函數(shù)f(x)關(guān)于對稱f(xT)f(x)xa 1判斷下列說法是否正確(打“”或“”) (1)偶函數(shù)圖像不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖像一定過原點(diǎn) (2)函數(shù)f(x)0，x(0，)即是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對稱 (4)若函數(shù)yf(

4、xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱 (6)若函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù) 答案(1)(2)(3)(4)(5)(6) 答案D 3(2014新課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是() Af(x)g(x)是偶函數(shù) B|f(x)|g(x)是奇函數(shù) Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 答案C 解析利用函數(shù)奇偶性的定義求解A項(xiàng)，令h(x)f(x)g(x)，則h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函數(shù)，A錯(cuò)

5、 B項(xiàng)，令h(x)|f(x)|g(x)，則h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò) C項(xiàng)，令h(x)f(x)|g(x)|，則h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函數(shù)，C正確D項(xiàng)，令h(x)|f(x)g(x)|，則h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函數(shù)，D錯(cuò) 4若函數(shù)yf(x)(xR)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)yf(x)圖像上的是() A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 答案B 解析函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)

6、，f(a)f(a) 即點(diǎn)(a，f(a)一定在函數(shù)yf(x)的圖像上 答案3 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性，并證明 (1)f(x)x3x； (2)f(x)x3x1； (3)f(x)x2|x|1，x1,4； (4)f(x)|x1|x1|；題型一題型一 判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性 【解析】(3)由于f(x)x2|x|1，x1,4的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，因此，f(x)是非奇非偶函數(shù) (4)函數(shù)的定義域x(，)，關(guān)于原點(diǎn)對稱 f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)， f(x)|x1|x1|是奇函數(shù) 【答案】(1)奇函數(shù)(2)非奇非偶函數(shù)(3)非奇非偶(4)奇函數(shù)(5)奇函

7、數(shù)(6)偶函數(shù) 探究1判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下幾種方法： (1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，再判斷f(x)是否等于f(x) (2)圖像法：奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖像關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對稱 (3)性質(zhì)法：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)(注：利用上述結(jié)論時(shí)要注意各函數(shù)的定義域)判斷下列函數(shù)的奇偶性思考題思考題1 (3)方法一：f(x)的定義域?yàn)镽， 當(dāng)x0時(shí)，

8、x0， f(x)(x)22(x)x22xf(x) 當(dāng)x0時(shí)，f(0)0f(0) 當(dāng)x0時(shí)，x0， f(x)(x)22(x)x22xf(x) 對于xR總有f(x)f(x) f(x)為偶函數(shù) 方法二：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22xx22|x|. 當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22xx22|x|. f(x)x22|x|. f(x)(x)22|x|x22|x|f(x) f(x)為偶函數(shù) 【答案】(1)奇函數(shù)(2)奇函數(shù)(3)偶函數(shù) 例2(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，x0時(shí)，f(x)x1，f(x)的解析式為_ (3)若函數(shù)f(x1)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸方程為_題型二題型二 奇偶性的應(yīng)用

9、奇偶性的應(yīng)用 【解析】(1)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x) 當(dāng)x0時(shí)，有f(0)f(0)，f(0)0. 當(dāng)x0時(shí)，x0. f(x)f(x)(x1)x1. (3)f(x1)為偶函數(shù)， 函數(shù)g(x)f(x1)的圖像關(guān)于直線x0對稱 又函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)g(x)f(x1)的圖像向右平移一個(gè)單位而得到， 函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱 探究2奇偶函數(shù)的性質(zhì)主要體現(xiàn)在： (1)若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)； 若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x) (2)奇偶函數(shù)的對稱性 (3)奇偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性(1)若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在0，)上是減函數(shù)，則滿足

10、f()f(a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 【解析】若a0，f(x)在0，)上是減函數(shù)， 且f()f(a)，得a，0a. 若a0，f()f()，則由f(x)在0，)上是減函數(shù)，得知f(x)在(，0上是增函數(shù) 由于f().即a0. 由上述兩種情況知a(，) 【答案】(，)思考題思考題2 (2)若函數(shù)yf(x2)為奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像的對稱中心為_ 【解析】f(x2)為奇函數(shù)， f(x2)的圖像的對稱中心為(0,0) 又f(x)的圖像可由函數(shù)f(x2)的圖像向左平移兩個(gè)單位而得， f(x)的圖像的對稱中心為(2,0) 【答案】(2,0) 例3設(shè)函數(shù)f(x)在(，)上滿足f(2x)f(2x)，f

11、(7x)f(7x)，且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0. (1)證明：函數(shù)f(x)為周期函數(shù)； (2)試求方程f(x)0在閉區(qū)間2 005,2 005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論 【思路】用周期函數(shù)的定義證明題型三題型三 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 (2)f(3)f(1)0, f(11)f(13)f(7)f(9)0，故f(x)在0,10和10,0上均有兩個(gè)解 從而可知函數(shù)yf(x)在0,2 005上有402個(gè)解， 在2 005,0上有400個(gè)解， 所以函數(shù)yf(x)在2 005,2 005上有802個(gè)解 【答案】(1)略(2)802個(gè) 探究3(1)證明函數(shù)是周期函數(shù)應(yīng)緊扣周期函數(shù)的定義

12、(2)若函數(shù)f(x)對任意x滿足f(xa)f(xb)，則f(x)為周期函數(shù)若函數(shù)f(x)對任意x滿足f(xa)f(bx)，則函數(shù)圖像為軸對稱圖形思考題思考題3 f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5) 22.53，由題意，得f(2.5)2.5. f(105.5)2.5. 【答案】2.5 (2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對任意xR，都有f(x8)f(x)f(4)，且x0,4時(shí)，f(x)4x，則f(2 015)的值為_ 【解析】f(4)0，f(x8)f(x)，T8. f(2 015)f(7)f(1)f(1)3. 【答案】3 例4已知f(x)為偶函數(shù)，且f(1x)f(1x)，當(dāng)

13、x0,1時(shí)，f(x)x1，求x5,7時(shí)，f(x)的解析式 【解析】方法一：f(1x)f(1x)， f(x)f(2x)，f(x)為周期函數(shù)，T2. f(x)為偶函數(shù)， x1,0時(shí)，x0,1 f(x)f(x)x1. x5,6時(shí)，x61,0 f(x)f(x6)(x6)1x5. x6,7時(shí)，x60,1 f(x)f(x6)(x6)1x7. 方法二：f(1x)f(1x)， T2.又f(x)是偶函數(shù)， f(x)在R上的圖像如圖： 探究4高考中對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值，以及解決與周期有關(guān)的函數(shù)綜合問題解決此類問題的關(guān)鍵是充分利用題目提供的信息，找到函數(shù)的周期，利用周期在

14、有定義的范圍上進(jìn)行求解設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2xx2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解析式； (3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 015) 【解析】(1)f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期為4的周期函數(shù)思考題思考題4 (2)當(dāng)x2,0時(shí)，x0,2，由已知得 f(x)2(x)(x)22xx2. 又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2. f(x)x22x. 又當(dāng)x2,4時(shí)，x42,0， f(x4)(x4)22(x4) 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)

15、， f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8. 從而求得x2,4時(shí)，f(x)x26x8. (3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0. f(0)f(1)f(2)f(2 015)0. 【答案】(1)略(2)f(x)x26x8，x2,4(3)0 常用結(jié)論記心中，快速解題特輕松： 1(1)若f(x)定義域不對稱，則f(x)不具有奇偶性 (2)若f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0. (3)若f(x)為偶函

16、數(shù)，則f(|x|)f(x) (2)若函數(shù)yf(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f(x)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)為偶函數(shù) 3函數(shù)f(x)關(guān)于xa對稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x) 4(1)若函數(shù)f(x)滿足f(xa)f(x)，則f(x)周期T2a. 5(1)若f(x)關(guān)于xa，xb都對稱，且ab，則f(x)是周期函數(shù)且T2(ba) (2)若f(x)關(guān)于(a,0)，(b,0)都對稱，且ab，則f(x)是周期函數(shù)，且T2(ba) (3)若f(x)關(guān)于(a,0)及xb都對稱，且a0Bf(x)f(x)0 Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x

17、)0 答案D 解析f(x)f(x)，f(x)f(x)f2(x)0. 2下列函數(shù)中，不具有奇偶性的函數(shù)是() 答案D 3(2015衡水調(diào)研卷)函數(shù)f(x)在定義域R上不是常數(shù)函數(shù)，且f(x)滿足：對任意xR，都有f(2x)f(2x)，f(1x)f(x)，則f(x)是() A奇函數(shù)但非偶函數(shù) B偶函數(shù)但非奇函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù) 答案B 解析依題意，得f(x2)f(x1)f(x)，即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，所以f(x2)f(x)又f(2x)f(2x)，因此有f(x)f(x)，即f(x)是偶函數(shù)；若f(x)是奇函數(shù)，則有f(x)f(x)f(x)，得f(x)0，這與“f(x)不是常數(shù)函數(shù)”相矛盾，因此f(x)是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)，選B. 答案C 答案 6(2014新課標(biāo)全國)已知偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，f(2)0.若f(x1)0，則x的取值范圍是_ 答案(1,3) 解析由題可知，當(dāng)2x0.f(x1)的圖像是由f(x)的圖像向右平移1個(gè)單位長度得到的，若f(x1)0，則1x3.