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1、 高二數(shù)學必修2知識點總結 第1章 空間幾何體一、空間幾何體的結構1.多面體：一般地，我們把由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。2.旋轉體：我們把由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體。這條定直線叫做旋轉體的軸。3、柱、錐、臺、球的結構特征（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱或
2、用對角線的端點字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母
3、，如五棱臺幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側面是梯形 側棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側面母線交于原圓錐的頂點；側面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半
4、圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。二、空間幾何體的三視圖和直觀圖1.投影：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影。其中我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面。2.中心投影：我們把光由一點向外散射形成的投影，叫做中心投影。3.平行投影：我們把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影。（又分為正投影和斜投影）4空間幾何體的三視圖（1）、定義三視圖：正視圖（從前向后；即光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體
5、的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度； 側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。正側俯（2）、三視圖圖形的位置：（3）、 三視圖長、寬、高的關系：“正側長對齊、正俯高對齊、側俯寬相等”三、空間幾何體的直觀圖1.斜二測畫法：對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖。斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法。2.斜二測畫法原則：橫不變，縱減半。3.斜二測畫法步驟：在已知圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點。畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸與軸，兩軸交于點，且使（或135），它們確定的平面表示水平面。已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直
6、觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段。已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于軸的線段，長度為原來的一半。四、 空間幾何體的表面積與體積（1）、幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。所以，棱柱、棱錐的表面積：各個面的面積之和。（2）：柱 體錐 體臺 體球 體 第二章 直線與平面的位置關系2.1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.11 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示DCBA（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點
7、或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為LAALBL = L ABCBA公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線 = 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。PL（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P =L，且PL公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系1 空間的兩條直線有如
8、下三種關系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線=acabcb強調(diào)：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4 注意點： a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0, ； 當兩條異面直線所成的角是直角時
9、，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交 有且只有一個公共點（3）直線在平面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
10、簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a b = aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交
11、線平行。符號表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間
12、一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形 A 梭 l B 2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章重點總結：一、線面角、面面角：_B_L_A_Q_P_N_M_O1、直線和平面所成角：如圖，一條直線PA和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線
13、AO叫做斜線在這個平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0的角。2、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。如右圖二面角可記作二面角或二面角或二面角或二面角【注意：二面角是一個面面角，范圍是】。在二面角的棱上任取一點O，以點O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線ON和OM，則射線ON和OM構成的NOM叫做二面角的平面角。一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，
14、就說這兩個平面互 二、線、面平行垂直的八大定理：（直線與平面平行的判定）【文字語言】平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（線線平行線面平行）【符號語言】（平面與平面平行的判定）【文字語言】一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。（線面平行面面平行）【符號語言】，引申：推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行，那么這兩個平面平行。（直線與平面平行的性質）一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。（線面平行線線平行）作用：直線與平面平行的性質定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。（
15、平面與平面平行的性質）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）（直線與平面垂直的判定）一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。（平面與平面垂直的判定）一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。（直線與平面垂直的性質）垂直于同一個平面的兩條直線平行。（平面與平面垂直的性質）兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。注：（等角定理）空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。三、補充：證線線平行的方法：.定義法；.線面平行的性質定理；.面面平行的性質定理；.平行公理證線面平行的方法：.線面平行的判定
16、定理；.定義法；.面面平行證線面平行證面面平行的方法：.定義法；.面面平行的判定定理；.平面平行的傳遞性三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條垂線垂直。三垂線定理逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。射影長定理：.從平面外一點向平面所引的斜線段、垂線段中，垂線段最短。.如圖（射影長定理圖）：若，則；若，則。. 如圖（射影長定理圖）：若，則；若，則。最小角定理：斜線和平面所成的角是這個斜線與平面內(nèi)過斜足的所有直線所成角中的最小角。（最小角定理圖）余弦定理：第三章 直線與方程一、直線的傾斜角與斜率1.傾斜
17、角：當直線與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸正向與直線向上方向之間所成的夾角叫做直線的傾斜角。當直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0。則直線的傾斜角的取值范圍為0180。2.確定一條直線的條件：直線上的一點和這個直線的傾斜角可以惟一確定一條直線。3.確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角。4.坡度（傾斜程度）：日常生活中，我們用“升高量與前進量的比”表示傾斜面的“坡度”（傾斜程度），即5.斜率：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，我們用斜率表示直線的傾斜程度。斜率常用小寫字母k表示，即。注意：傾斜角是90的直線沒有斜率。6.經(jīng)過兩點的
18、直線的斜率公式為7.對于兩條不重合的直線，其斜率分別為，有注意：若直線可能重合時，我們得到或8.如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于-1；反之，如果它們的斜率之積等于-1，那么它們互相垂直，即9.兩條直線垂直的條件：二、直線的方程（5個）1.直線的點斜式方程（簡稱點斜式）：【當直線的傾斜角為0時，tan0=0，即k=0，這是直線與x軸平行或重合，的方程就是】注意：直線的點斜式方程僅適用于有斜率的情形，所以在求直線的方程時，應先討論直線有無斜率。截距：我們把直線與x軸交點的橫坐標叫做直線在x軸上的截距。我們把直線與y軸交點的縱坐標b叫做直線在y軸上的截距。注意：截距不是距
19、離，截距是數(shù)。2.直線的斜截式方程（簡稱斜截式）：注意：直線的斜截式方程僅適用于有斜率的直線。3.直線的兩點式方程（簡稱兩點式）：注意：直線的兩點式方程不適用于沒有斜率或斜率為0的直線。若中有或時，直線沒有兩點式方程。當時，直線平行于x軸，直線方程為，或；當時，直線平行于x軸，直線方程為，或。4.直線的截距式方程（簡稱截距式）：注意：直線的截距式方程不適用于平行于x軸（或y軸）或過原點的直線。線段的中點坐標公式：若點的坐標分別為，且線段的中點的坐標為，則M 5.直線的一般式方程（簡稱一般式）：6.在方程中，當時，方程表示的直線平行于x軸；當時，方程表示的直線平行于y軸；當時，方程表示的直線與x
20、軸重合；當時，方程表示的直線與y軸重合。7.已知直線，則的充要條件是：的充要條件是：三、直線的交點坐標與距離公式1.若方程組有唯一解與相交，且有唯一交點；若方程組無解；若方程與方程可化成同一個方程與重合。引申：2.當變化時，方程表示直線束。3.方程表示過直線與直線交點的任意一條直線，但它不能表示這條直線。延展【常用結論】:4.過與交點的直線方程可設為（不表示）或（不表示）5.與直線平行的直線方程可設為6.與直線垂直的直線方程可設為7.兩點間的距離公式為：8.原點與任一點的距離公式為：9.點到直線的距離公式為：10.兩條平行直線與間的距離為： 第四章 圓與方程4.1.1 圓的標準方程1、圓的標準
21、方程：圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程2、點與圓的關系的判斷方法：（1），點在圓外（2）=，點在圓上（3），點在圓內(nèi)4.1.2 圓的一般方程1、圓的一般方程：，圓心為，半徑為為半徑長的圓2、圓的一般方程的特點：(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于0沒有xy這樣的二次項 (2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1 圓與圓的位置關系1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系設直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線
22、的距離為，則判別直線與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點：（1）當時，直線與圓相離；（2）當時，直線與圓相切； （3）當時，直線與圓相交；直線、圓的位置關系注意：1.直線與圓的位置關系 直線與圓相交，有兩個公共點方程組有兩組不同實數(shù)解 直線與圓相切，只有一個公共點方程組有唯一實數(shù)解 直線與圓相離，沒有公共點方程組無實數(shù)解2.求兩圓公共弦所在直線方程的方法：將兩圓方程相減。3.求經(jīng)過兩圓交點的圓系方程：4.2.2 圓與圓的位置關系兩圓的位置關系設兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點：（1）當時，圓與圓相離；（2）當時，圓與圓外切；（3）當時，圓與圓相交；（4）當時，圓與圓內(nèi)切；（5
23、）當時，圓與圓內(nèi)含；4.2.3 直線與圓的方程的應用1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；2、過程與方法用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論三、空間直角坐標系1.如圖是單位正方體。以為原點，分別以射線的方向為正方向，以線段的長為單位長，建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸。這是我們說建立了一個空間直角坐標系，其中點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸。通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱平面、平面、平面。2. 數(shù)軸：
24、一個點與一個實數(shù)一一對應。 平面直角坐標系：一個點與一個有序實數(shù)對一一對應。 空間直角坐標系：一個點與一個有序實數(shù)組一一對應。3. 如圖，設點M位空間的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點P，Q和R.設點P，Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分別是x，y和z，那么點M就對應唯一確定的有序實數(shù)組。反過來，給定有序實數(shù)組，我們可以在x軸、y軸和z軸上依次取坐標為x，y和z的點P，Q和R，分別過P，Q和R各作一個平面，分別垂直于x軸、y軸和z軸，這三個平面的唯一的交點就是有序實數(shù)組確定的點M。這樣，空間一點M的坐標可以用有序實數(shù)組來表示，有序實數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作。其中x叫點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標。4. 表示的圖形是球。5.在空間直角坐標系中，任意一點與原點間的距離 6.空間兩點間的距離公式：設空間中任意一點到點之間的距離公式
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