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1、+二一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料+學(xué)案75不等式選講(二)不等式的證明導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法.2.會用比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法證明比較簡單的不等式自主梳理1證明不等式的常用方法(1)比較法:比較法是證明不等式最基本的方法,具體有作差比較和作商比較兩種,其基本思想是_與0比較大小或_與1比較大小(2)綜合法:從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或_,經(jīng)過推理論證,最終指導(dǎo)出所要證明的不等式成立(3)分析法:從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的_條件,到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)(4)反證法反證法
2、的定義先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,我們把它稱為反證法反證法的特點先假設(shè)原命題不成立,再在正確的推理下得出矛盾,這個矛盾可以是與已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實等矛盾(5)放縮法定義:證明不等式時,通過把不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞或_以利于化簡,并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得出原不等式成立這種方法稱為放縮法思路:分析觀察證明式的特點,適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵(6)數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)有關(guān)的
3、不等式可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明自我檢測1已知Ma2b2,Nabab1,則M,N的大小關(guān)系為_2設(shè)xa2b25,y2aba24a,若xy,則實數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件為_3若a0,b0,給出下列四個不等式:ab2;(ab)()4;ab;a2.其中正確的序號為_4用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)(1)(1)(1)(k1),則當(dāng)nk1時,左端應(yīng)乘上_這個乘上去的代數(shù)式共有因子的個數(shù)是_5用數(shù)學(xué)歸納法證明()n(a,b是非負(fù)實數(shù),nN)時,假設(shè)nk命題成立之后,證明nk1命題也成立的關(guān)鍵是_探究點一比較法證明不等式例1已知a0,b0,求證:.變式遷移1(2011福建)設(shè)不等式|2x1|b0,求證:0,求證: a2.探
4、究點四數(shù)學(xué)歸納法例4用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n2)變式遷移4用數(shù)學(xué)歸納法證明n1(nN*)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(10分)已知f(x)x2pxq.求證:(1)f(1)f(3)2f(2)2;(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于.多角度審題已知f(x),要證f(1)f(3)2f(2)2,只需化簡左邊式子,看是怎樣的形式,然后才能視情況而定如何證明求證|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于包括:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一個大于等于,其余兩個小于;三個中有2個大于等于,另一個小于;三個都大于等于.如果從正面證明,將有7種情況需要證明,非常
5、繁雜,可考慮用反證法證明【答題模板】證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2,f(1)f(3)2f(2)2.2分(2)假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,則|f(1)|2|f(2)|f(3)|b,可以證ac且cb.其中c的確定是最困難的,要憑借對題意的分析和一定的解題經(jīng)驗放縮法的常用措施:(1)舍去或加上一些項,如22;(2)將分子或分母放大(縮小),如, (kN*且k1)等(滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共42分)1已知a、b、mR且ab,則與的大小關(guān)系為_2設(shè)aR且a0,以下四個式子中恒大于1的個數(shù)是_a31;a22a2;a;a2.
6、3在下列不等式中,一定成立的是_(填序號)48aabba;a3a2a1;()m2.4如圖所示,矩形OPAQ中,a1a2,b1”“0,求證:3a32b33a2b2ab2.10(12分)已知x,y,z均為正數(shù),求證:.11(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明.學(xué)案75不等式選講(二)不等式的證明答案自主梳理1(1)差商(2)定理(3)充分(5)放大縮小自我檢測1MN解析MNa2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20,當(dāng)且僅當(dāng)ab1時“”成立MN.2ab1或a2解析由xy,得a2b252aba24a(ab1)2(a2)20,
7、所以有ab1或a2.3解析a0,b0,ab222;(ab)()44;,a2b2(ab)(ab).ab;a0,a0,恒成立4(1)(1)(1)2k1解析因為分母的公差為2,所以乘上去的第一個因式是(1),最后一個是(1),共有2k2k12k1項5兩邊同乘以解析要想辦法出現(xiàn)ak1bk1,兩邊同乘以,右邊也出現(xiàn)了要求證的()k1.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引不等式左、右兩邊是多項式形式,可用作差或作商比較法,也可用分析法、綜合法證明(),又0,0,()20,()0.故.變式遷移1解由|2x1|1得12x11,解得0x1,所以Mx|0x1由和a,bM可知0a1,0b0,故ab1ab.例2解題導(dǎo)引本例不等式中
8、的a、b、c具有同等的地位,證明此類型不等式往往需要通過系數(shù)的變化,利用基本不等式進(jìn)行放縮,得到要證明的結(jié)論證明a、b、c均為正數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立;同理:,當(dāng)且僅當(dāng)bc時等號成立;,當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立三個不等式相加即得,當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立變式遷移2證明x是正實數(shù),由基本不等式知,x12,1x22x,x312,故(x1)(x21)(x31)22x28x3 (當(dāng)且僅當(dāng)x1時等號成立)例3解題導(dǎo)引當(dāng)要證的不等式較復(fù)雜,已知條件信息量太少,已知與待證間的聯(lián)系不明顯時,一般可采用分析法分析法是步步尋求不等式成立的充分條件,而實際操作時往往是先從要證的不等式出發(fā),尋找使不等式成立的必要條
9、件,再考慮這個必要條件是否充分,這種“逆求”過程能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力,也是分析問題、解決問題時常用的思考方法證明欲證,只需證b0,只需證,即1.欲證1,只需證2,即.該式顯然成立欲證1,只需證2,即.該式顯然成立1成立,且以上各步均可逆0,只需證22,從而只要證2 ,只要證42,即a22,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立例4解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,推導(dǎo)nk1也成立時,證明不等式的常用方法,如比較法、分析法、綜合法均要靈活運(yùn)用在證明過程中,常常利用不等式的傳遞性對式子放縮,建立關(guān)系證明(1)當(dāng)n2時,0,不等式成立(2)假設(shè)nk(k2)時,原不等式成立即,則當(dāng)nk1時,左邊.當(dāng)n
10、k1時,原不等式成立由(1)(2)知,原不等式對n2的所有的自然數(shù)都成立,即(n2)變式遷移4證明(1)當(dāng)n1時,顯然命題成立(2)假設(shè)nk(kN*)時,原不等式成立即k1,k2k(k1)2.則當(dāng)nk1時,左邊k2(k1)1.(k1)1.當(dāng)nk1時,原不等式成立由(1)(2)知,原不等式對nN*成立即解析0,.21解析只有a221.3解析取ab1,顯然有444161,4884,不成立;abab,當(dāng)ab0時,ab1,不一定成立;a3a2a1(a1)(a21),當(dāng)a1時,不成立;()272,2(2)272,又m2m21,()m25P,所以(1)(3)錯誤由放縮法易知必介于a,b之間,所以說法(2)
11、正確又,所以說法(4)正確7(1,)解析a3b3a2b2(ab),a2abb2ab,(ab)2abab,ab(ab)2(ab),又0ab()2,0(ab)2(ab)()2,解之得1ab0,所以ab0,3a22b20,(10分)從而(3a22b2)(ab)0,即3a32b33a2b2ab2.(12分)10證明因為x,y,z均為正數(shù),所以,(3分)同理可得,(6分)當(dāng)且僅當(dāng)xyz時,以上三式等號都成立,將上述三個不等式兩邊分別相加,并除以2,得.(12分)11證明(1)當(dāng)n1時,1,命題成立(2分)(2)假設(shè)nk時命題成立,即.則當(dāng)nk1時,(k1),即當(dāng)nk1時不等式也成立(10分)綜合(1)(2),得對一切正整數(shù)n,不等式都成立(12分)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品