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1、+二一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料+第2講 雙曲線 一、填空題1若雙曲線1(a0)的離心率為2，則a_.解析b，c，2，a1.答案12若雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為_解析焦點(diǎn)(c,0)到漸近線yx的距離為b，則由題意知b2a，又a2b2c2，5a2c2，離心率e.答案3已知雙曲線1的右焦點(diǎn)為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于_解析 右焦點(diǎn)為(3,0)，c3，又c2a2b2a259，a24，a2，e.答案 4已知雙曲線x2y21，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1PF2，則|PF1|PF2|的值為_解析 設(shè)|PF1|m，|PF2|n，則解
2、得mn2，(mn)2m2n22mn8412，mn2，即|PF1|PF2|2.答案 25設(shè)P為直線yx與雙曲線1(a0，b0)左支的交點(diǎn)，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e_.解析 PF1x軸，xPc，代入1，得yp，來源:P在yx上，yp，3bc，9b2c2，9(c2a2)c2，e.答案 6 已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y216x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為_解析 由已知得解之得雙曲線方程為1.答案 17 過雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段OF(O為原點(diǎn))的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為_解析 如圖
3、所示，不妨設(shè)F為右焦點(diǎn)，過F作FP垂直于一條漸近線，垂足為P，過P作PMOF于M.由已知得M為OF的中點(diǎn)，由射影定理知|PF|2|FM|FO|，又F(c,0)，漸近線方程為bxay0，|PF|b，b2c，即2b2c2a2b2，a2b2，e.答案 8設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3PF14PF2，則PF1F2的面積是_解析由可解得又由F1F210可得PF1F2是直角三角形，則SPF1F2PF1PF224.答案249. 如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點(diǎn)A、B為左、右焦點(diǎn)，且雙曲線過C、D兩頂點(diǎn)若AB4，BC3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(
4、a0，b0)由題意得B(2,0)，C(2,3)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.答案x2110過雙曲線C：1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2y2a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.若AOB120(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為_解析 如圖，由題知OAAF，OBBF且AOB120，AOF60，又OAa，OFc，cos 60，2.答案2二、解答題11已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為2xy0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求此雙曲線的方程；(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、第二象限，若，求AOB的面積解 (1)依題意得解得故雙曲線的方程為x21.(
5、2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y2x，設(shè)A(m,2m)，B(n,2n)，其中m0，n0，由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x21，整理得mn1，設(shè)AOB2，則tan ，從而sin 2，又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|OB|sin 22mn2.12設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且F1F22，橢圓的長半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cosF1PF2的值解(1)由已知，得c，設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a，b，雙曲線實(shí)半軸、虛半軸長分別為m、n，則解得a7，m3.所以b6，n2.故橢
6、圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則PF1PF214，PF1PF26，所以PF110，PF24.又F1F22，故cosF1PF2.13已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，)(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：0；(3)求F1MF2的面積(1)解e，設(shè)雙曲線方程為x2y2.又雙曲線過(4，)點(diǎn)，16106，雙曲線方程為x2y26.(2)證明法一由(1)知ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2，又點(diǎn)(3，m)在雙曲線上，m23，kMF1kM
7、F21，MF1MF2，0.法二(32，m)，(23，m)(32)(32)m23m2.M在雙曲線上，9m26，m23，0.(3)解在F1MF2中，F(xiàn)1F24，且|m|，SF1MF2F1F2|m|46.14已知斜率為1的直線l與雙曲線C：1(a0，b0)相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M(1,3)(1)求C的離心率；(2)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|DF|BF|17，證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切(1)解由題意知，l的方程為yx2，代入C的方程并化簡，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由M(1,3)為BD的中點(diǎn)，知1，故1，即b23a2，c2a，C的離心率e2.(2)證明由知，C的方程為3x2y23a2.A(a,0)，F(xiàn)(2a,0)，x1x22，x1x20.故不妨設(shè)x1a，x2a，|BF|a2x1，|FD|2x2a，|BF|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|FD|17，故5a24a817，解得a1或a(舍去)故|BD|x1x2| 6.連接MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，從而MAMBMD，DAB90，因此以M為圓心，MA為半徑的圓過A、B、D三點(diǎn)，且在A處與x軸相切過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十章 第2講雙曲線
