高等數(shù)學：02第一章 第2節(jié) 數(shù)列的極限

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1、1數(shù)列的極限第二節(jié)一、概念的引入 二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四、數(shù)列極限的性質五、小結2“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入3R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126nnA,nAAAA321S42 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;222121X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖

2、長總和;nnXn2121212天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnX21115二、數(shù)列的定義如果按照某個法則，可以得到一列有序數(shù)：如果按照某個法則，可以得到一列有序數(shù)： ,21nxxx (1) 稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx. 例如例如;,n2842;,n21814121n2n21定義：定義：6注意：注意： 1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一可看作一動點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整

3、標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù)).(nfxn;,)( ,11111n)(11n;,)(,nnn 1134212)(nnn 11nnx2如如Nxxfx 2)(,3333337.)(時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列nnn 111播放播放三、數(shù)列的極限8 .)(,1111無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn問題問題:“無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它如何用數(shù)學語言刻劃它?10nx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:( 1)11nnxn 充分小，充分小，充分大時，充分大時，即當即當1nxn因為所以90 給定給定,)(時時當當 1Nn.成成立立

4、恒恒有有 1nx也就是說：也就是說：充充分分大大即即可可；充充分分小小，只只要要要要使使nxn1或者說：或者說：,（無論多么?。o論多么小）. 1nx要使要使充分大即可辦到，充分大即可辦到，只要只要n多大才能辦到？）多大才能辦到？）（n，要使要使 1nx1nxnnn1111)(, n1只只要要即可，即可，即即 1n，取取 1N101111無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn)(,0 給定給定,（無論多么?。o論多么?。∪?( 1NN總存在正整數(shù)總存在正整數(shù),)(時時使當使當 1 Nn.成成立立恒恒有有 1nx11 如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說

5、數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;.的的無無限限接接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式axaxnn 1.有關有關與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) N2語言）：語言）：N (定義定義,axn及常數(shù)及常數(shù)對于對于,（無論多么小）（無論多么?。? ,N總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)時，時，當當Nn , axn恒有恒有,axxann收斂于收斂于的極限，或稱的極限，或稱是是則稱則稱limnnxa記作()nxan 或12x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa只有有限個的幾何意義：的幾何意義：、axnnlim3, 0 axn axan,NnN，只要，只要可找到一個可找到一個即即0 (,)aa內，項）在這個區(qū)間之外。

6、項）在這個區(qū)間之外。（至多（至多Nnnxa隨著 的增大， 代表的點越來越“密集”在點 附近。nx所有都落在13例例1證證,1 n只要只要,1 n即即,1 N取取,時時則當則當Nn 0nx就有就有. 0limnnx即的的極極限限。是是否否為為、此此定定義義只只能能用用來來判判斷斷nxa4. 0lim,) 1() 1(2nnnnxnx證明證明已知已知,0 ,0 nx要使要使0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11nn114說明說明:, 0 關鍵是任給關鍵是任給用定義證明數(shù)列存在，用定義證明數(shù)列存在，.N但不必要求是最小的例例2.,10 q設證明等比數(shù)列,112nqqq的極限為 0 0 .證

7、證:0 ),1 （設（設,0 nx要使要使0nx110nnqq,1 nq只要只要,lnln) 1( qn即即,N尋求15.lnln1qn 亦即亦即,lnln1 qN 取取,時時則當則當Nn ,0 nq恒有恒有1limlim0.nnnnxq所以16四、數(shù)列極限的性質1.有界性有界性例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.3nnx 數(shù)列數(shù)列有界有界無界無界注：注：不是唯一的；不是唯一的；）（M1.,2MMxMxnn則在數(shù)軸上則在數(shù)軸上）若）若（17定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時恒有時恒有使得當使得當則則

8、. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數(shù)則對一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意注意(1)數(shù)列數(shù)列有界不一定收斂有界不一定收斂.(2) (2) 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .nnx) 1(如如182.唯一性唯一性定理定理2 2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設使使得得則則.,21NN;1 axNnn時恒有時恒有當當;2 bxNnn時恒有時恒有當當 ,max21NNN 取取時有時有則當則當Nn )()(axbxbann axbxnn ab 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂

9、數(shù)列極限唯一., ba 若若,2ab 取取矛盾矛盾ab)()(193. 保號性保號性.定理定理3 3 若,limaxnn且0a,NN則Nn 當時, 有0nx, )0(. )0(證證: 對 a 0 ,取,2aN則,時當Nn axn2anx02aaax2a2a推論推論:若數(shù)列從某項起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)問題：，0nx,limaxnn？是否0a不一定nnx1如20、子數(shù)列、子數(shù)列3定義：定義：，項后任取項后任取，在，在中，第一次抽取中，第一次抽取在在211nnnnxxxxknnnnnxxxxx,2132這樣得到這樣得到，后再任取后再任取在在,knx記作記作的子

10、數(shù)列；的子數(shù)列；為為稱稱nnxxk,1,31,21, 1n如如為子列。為子列。,21,41,21k21系）（收斂數(shù)列與子列的關定理4證明：證明：, 0 .knxalim,nnxa因為0,0,NnN對上面的存在當時，恒有.nxa,kKNKNkKnnnN取則當時，恒有.knxalim.knkxa所以.axaxknn都都收收斂斂于于，則則它它的的任任一一子子列列收收斂斂于于若若KkK要證存在正整數(shù) ，使當時，恒有22說明：說明：發(fā)散；發(fā)散；數(shù)，則數(shù)，則存在兩子列收斂于不同存在兩子列收斂于不同）若）若（1nnxx，如如1111此數(shù)列發(fā)散。此數(shù)列發(fā)散。，收斂于收斂于，收斂于收斂于11212kkxx.,2

11、212自證自證則則若若）對于）對于（axaxaxxnkkn234例例. 0lim0limnnnnnnyxyx，證明，證明有界，又有界，又設設證明：證明：nx因為 有界，0,nMxM所以使；, 0 .0 nnyxNnN時，有時，有，當，當要證要證, 0limnny而而11,NnNM對于給定的當時，恒有0,nnyyM,1NN 取取nN當時，恒有0,nnnnnx yx yM yMMlim0.nnnx y 所以24五.小結數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想,精確定義精確定義,幾何意義幾何意義;收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質: :有界性，唯一性，保號性有界性

12、，唯一性，保號性.251. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時, 下述作法是否正確? 說明理由.設,limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處nnxlim練習與思考題練習與思考題2626231223limnnn證：證：231223nnaxn0只要1N取成立恒有時當則對2312230nnNn231223limnnn注(1)化簡axn（必要時適當?shù)胤糯螅?2)用倒推法得到與n有關的一系列不等式的函數(shù)）僅是）中不含（）（, nn 3、求證1221n121nn1

13、1,n即當1n時，恒有nxa271 1、割圓術：、割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入281 1、割圓術：、割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入29“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入30“割

14、之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入31“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入32“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入33“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又

15、失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入34“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入35“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入36.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極

16、限37.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限38.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限39.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限40.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限41.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限42.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限43.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限44.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限45.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限46.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限47.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限48.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限