2018年高考數(shù)學(xué)（浙江專用）總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第8講　函數(shù)與方程、函數(shù)的模型及其應(yīng)用 Word版含解析.doc

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1、第8講函數(shù)與方程、函數(shù)的模型及其應(yīng)用最新考綱1.了解函數(shù)零點的概念，掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法；2.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；3.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.知 識 梳 理1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的概念對于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點.(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點.(3)零點存在性定理如果函數(shù)yf(x)滿足：在區(qū)間

2、a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系b24ac000)的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點零點個數(shù)2103.常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0).(2)反比例函數(shù)模型：y(k0).(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0).(4)指數(shù)函數(shù)模型：yabxc(b0，b1，a0).(5)對數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(a0，a1，m0).4.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較 函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平

3、穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)xx0時，有l(wèi)ogaxxnax診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)函數(shù)f(x)lg x的零點是(1，0).()(2)圖象連續(xù)的函數(shù)yf(x)(xD)在區(qū)間(a，b)D內(nèi)有零點，則f(a)f(b)0.()(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時，恒有h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x的零點是1，故(1)錯.(

4、2)f(a)f(b)0是連續(xù)函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)有零點的充分不必要條件，故(2)錯.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P88例1改編)函數(shù)f(x)ex3x的零點個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析由已知得f(x)ex30，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(1)30，因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點.答案B3.(2015安徽卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是()A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析由函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項B、C，又選項D中函數(shù)沒有零點，排除D，ycos x為偶函數(shù)且有零點.答案A4.已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)

5、的關(guān)系為yalog3(x1)，設(shè)這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到()A.100只 B.200只C.300只 D.400只解析由題意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，當(dāng)x8時，y100log39200.答案B5.函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1，1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_.解析因為函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1，1)上是單調(diào)函數(shù)，所以若f(x)在區(qū)間(1，1)上存在一個零點，則滿足f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解得a1.答案6.(2017紹興調(diào)研)已知f(x)則f(f(2)_；函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)為_.解析根據(jù)題意得：

6、f(2)(2)24，則f(f(2)f(4)24216214；令f(x)0，得到2x20，解得：x1，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為1.答案141考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷【例1】 (1)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，)內(nèi) D.(，a)和(c，)內(nèi)(2)設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函數(shù)零點存在性定理可知：在區(qū)間(a

7、，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點；因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A.(2)法一函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點的橫坐標(biāo)所在的取值范圍.作圖如下：可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2).法二易知f(x)ln xx2在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)1210.所以根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可知在區(qū)間(1，2)內(nèi)函數(shù)存在零點.答案(1)A(2)B規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是

8、否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.【訓(xùn)練1】 已知函數(shù)f(x)ln x的零點為x0，則x0所在的區(qū)間是()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析f(x)ln x在(0，)上是增函數(shù)，又f(1)ln 1ln 120，f(2)ln 2ln 210.故f(x)的零點x0(2，3).答案C考點二函數(shù)零點個數(shù)的判斷【例2】 (1)函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是_.(2)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點個數(shù)為_.A.1 B.2 C.3 D.4解析(1)當(dāng)x0

9、時，令x220，解得x(正根舍).所以在(，0上有一個零點.當(dāng)x0時，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù).又因為f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一個零點，綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.(2)令f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x|.設(shè)g(x)|log0.5x|，h(x)，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象(如圖).由圖象知，兩函數(shù)的圖象有兩個交點，因此函數(shù)f(x)有2個零點.答案(1)2(2)B規(guī)律方法函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點，令f(x)0，有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間a，b上

10、是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；(3)利用圖象交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).【訓(xùn)練2】 (2015湖北卷)f(x)2sin xsinx2的零點個數(shù)為_.解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，則函數(shù)的零點即為函數(shù)ysin 2x與函數(shù)yx2圖象的交點，如圖所示，兩圖象有2個交點，則函數(shù)有2個零點.答案2考點三函數(shù)零點的應(yīng)用【例3】 (2017昆明調(diào)研)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0，2上f(x)x，若關(guān)于x的方程f(x)logax有三個不同的實根，求a的取值范圍.解由f(x4

11、)f(x)知，函數(shù)的周期T4.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)f(4x)，因此函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x2對稱.又f(2)f(6)f(10)2.要使方程f(x)logax有三個不同的實根.由函數(shù)的圖象(如圖)，必須有即解之得a0.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_.解析(1)當(dāng)x0時，f(x)3x1有一個零點x.因此當(dāng)x0時，f(x)exa0只有一個實根，aex(x0)，則1am時，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三個不同的根，則有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)D(2)(3，)考點四構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題(易錯警示)

12、【例4】 (1)(2016四川卷)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2018年 B.2019年C.2020年 D.2021年(2)(2017河南省實驗中學(xué)期中)為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C

13、(x)(0x10，k為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.求k的值及f(x)的表達(dá)式；隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小？并求最小值.(1)解析設(shè)2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金為y萬元，則y130(112%)n.依題意130(112%)n200，得1.12n.兩邊取對數(shù)，得nlg1.12lg 2lg 1.3n，n4，從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.答案B(2)解當(dāng)x0時，C8，k40，C(x)(0x10)，f(x)6x6x(0x10).由得f(x)2(3x5)10.令3x5t，t5，35

14、，則y2t1021070，當(dāng)且僅當(dāng)2t即t20時“”成立，此時由3x520得x5.函數(shù)y2t10在t20時取得最小值，此時x5，因此f(x)的最小值為70.隔熱層修建5 cm厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，最小值為70萬元.規(guī)律方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的常見類型與求解方法：構(gòu)建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解.構(gòu)建分段函數(shù)模型，應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法.構(gòu)建f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識求解.(2)解函數(shù)應(yīng)用題的程序是：審題；建模；解模；還原.易錯警示求解過程中不要忽視實際問題是對自變量的限制.【訓(xùn)練4】 (1)(2017成都調(diào)研)某食品的保鮮

15、時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是_小時.(2)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時.研究表明：當(dāng)20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).當(dāng)0x200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；當(dāng)車流密度x為

16、多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時).(1)解析由已知條件，得192eb又48e22kbeb(e11k)2e11k，設(shè)該食品在33 的保鮮時間是t小時，則te33kb192 e33k192(e11k)319224.答案24(2)解由題意，得當(dāng)0x20時，v(x)60；當(dāng)20x200時，設(shè)v(x)axb(a0)，所以解得故當(dāng)0x200時，函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間0，20上的最大值為f(20)60201 200；當(dāng)20x20

17、0時，f(x)x(200x)，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時，等號成立.所以當(dāng)x100時，f(x)在區(qū)間(20，200上取得最大值.綜上可知，當(dāng)x100時，f(x)在區(qū)間0，200上取得最大值3 333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/時.思想方法1.轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.2.判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)通過解方程來判斷.(2)根據(jù)零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷.(3)將函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)與yg(x)

18、圖象公共點的個數(shù)來判斷.3.求解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.易錯防范1.函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)0的實根.2.函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.3.函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯誤.所以，要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)?/p>

19、函數(shù)模型.并根據(jù)實際問題，合理確定函數(shù)的定義域.4.注意問題反饋.在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.(2017贛中南五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)3xx2的零點所在區(qū)間是()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，1) D.(1，0)解析由于f(1)0，f(1)f(0)1時，由f(x)1log2x0，解得x，又因為x1，所以此時方程無解.綜上函數(shù)f(x)的零點只有0.答案D3.(2017杭州調(diào)研)函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)

20、解析因為函數(shù)f(x)2xa在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以0a3.答案C4.(2017德陽一診)將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設(shè)過5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m min甲桶中的水只有 L，則m的值為()A.5 B.8 C.9 D.10解析5 min后甲桶和乙桶的水量相等，函數(shù)yf(t)aent滿足f(5)ae5na，可得nln，f(t)a，因此，當(dāng)k min后甲桶中的水只有 L時，f(k)aa，即，k10，

21、由題可知mk55.答案A5.(2017湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個零點，則實數(shù)的值是()A. B. C. D.解析令yf(2x21)f(x)0，則f(2x21)f(x)f(x)，因為f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x21x，只有一個實根，即2x2x10只有一個實根，則18(1)0，解得.答案C二、填空題6.(2016浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)x33x21，已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，則實數(shù)a_，b_.解析f(x)x33x21，則f(a)a33a21，f(x)f(a)(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)

22、x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx33x2a33a2.由此可得a0，由得a2b，代入式得b1，a2.答案217.(2017湖州調(diào)研)設(shè)在海拔x m處的大氣壓強是y Pa，y與x之間的函數(shù)關(guān)系為ycekx，其中c，k為常量.已知某天的海平面的大氣壓為1.01105 Pa，1 000 m高空的大氣壓為0.90105Pa，則c_，k_，600 m高空的大氣壓強約為_Pa(保留3位有效數(shù)字).解析將x0時，y1.01105 Pa和x1 000時，y0.90105Pa分別代入ycekx，得所以c1.01105，所以e1 000k，所以kln，用計算器算得k1.153104，所以y1.01105e

23、1.153104x，將x600代入上述函數(shù)式，得y9.42104 Pa，即在600 m高空的大氣壓強約為9.42104 Pa.答案1.011051.1531049.421048.(2015安徽卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y2a與函數(shù)y|xa|1的圖象只有一個交點，則a的值為_.解析函數(shù)y|xa|1的圖象如圖所示，因為直線y2a與函數(shù)y|xa|1的圖象只有一個交點，故2a1，解得a.答案三、解答題9.已知二次函數(shù)f(x)x2(2a1)x12a，(1)判斷命題：“對于任意的aR，方程f(x)1必有實數(shù)根”的真假，并寫出判斷過程；(2)若yf(x)在區(qū)間(1，0)及內(nèi)各有一個零點，求實數(shù)a的

24、取值范圍.解(1)“對于任意的aR，方程f(x)1必有實數(shù)根”是真命題.依題意，f(x)1有實根，即x2(2a1)x2a0有實根，因為(2a1)28a(2a1)20對于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有實根，從而f(x)1必有實根.(2)依題意，要使yf(x)在區(qū)間(1，0)及內(nèi)各有一個零點，只需即解得a1時，有交點，即函數(shù)g(x)f(x)xm有零點.答案D12.(2017石家莊質(zhì)檢)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖3記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上

25、述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A.3.50分鐘 B.3.75分鐘C.4.00分鐘 D.4.25分鐘解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡得解得所以p0.2t21.5t22，所以當(dāng)t3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘.答案B13.(2017紹興調(diào)研)已知f(x)m|x|，若f(x)有兩個零點，則實數(shù)m的值為_；若f(x)有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_.解析函數(shù)f(x)的零點，即為方程m|x|0即|x|(x2)的實數(shù)根，令g(x)|x|(x2)其圖象如圖所示，當(dāng)m1時，g

26、(x)圖象與y有2個交點；當(dāng)01時，有3個交點.答案1(1，)14.設(shè)函數(shù)f(x)(x0).(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)0ab，且f(a)f(b)時，求的值；(3)若方程f(x)m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍.解(1)如圖所示.(2)f(x)故f(x)在(0，1上是減函數(shù)，而在(1，)上是增函數(shù).由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，2.(3)由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)0m0時，根據(jù)定義證明f(x)在(，2)單調(diào)遞增；(2)求集合Mkb|函數(shù)f(x)有三個不同的零點.(1)證明當(dāng)x(，2)時，f(x)kxb.任取x1，x2(，2)，設(shè)x2x1.f(x1)f(x2)(x1x2).由所設(shè)得x1x20，又k0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0時，u(x)，v(x)開口均向上.由v(2)10知v(x)在(，2)有唯一零點.為滿足f(x)有三個零點，u(x)在(2，)應(yīng)有兩個不同零點.b2k2.當(dāng)k0知u(x)在(2，)有唯一零點.為滿足f(x)有三個零點，v(x)在(，2)應(yīng)有兩個不同零點.b2k2.綜合可得Mkb|b2k2.