專題二 第1講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、 第1講　函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考情解讀　1.高考對函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考查以基礎(chǔ)知識為主，難度中等偏下.2.函數(shù)圖象和性質(zhì)是歷年高考的重要內(nèi)容，也是熱點(diǎn)內(nèi)容，對圖象的考查主要有兩個方面：一是識圖，二是用圖，即利用函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題；對函數(shù)性質(zhì)的考查，則主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考查，既有具體函數(shù)也有抽象函數(shù)．常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，且常與新定義問題相結(jié)合，難度較大． 1．函數(shù)的三要素 定義域、值域及對應(yīng)關(guān)系 兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的三要素完全相同時才表示同一函數(shù)，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)是同一函數(shù)． 2．

2、函數(shù)的性質(zhì) (1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號、下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則． (2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性． (3)周期性：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)在其定義域上滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其一個周期T＝|a|. 3．函數(shù)的圖象 對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖、用圖． 作函數(shù)圖象有兩種基本方

3、法：一是描點(diǎn)法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換． 4．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) (1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分01兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)． (2)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)α>0，α<0兩種情況. 熱點(diǎn)一　函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 例1　(1)(2014·課標(biāo)全國Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________． (2)設(shè)奇函數(shù)y＝f(x) (x∈R)，滿足對任意

4、t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈時，f(x)＝－x2，則f(3)＋f的值等于________． 思維啟迪　(1)利用數(shù)形結(jié)合，通過函數(shù)的性質(zhì)解不等式；(2)利用f(x)的性質(zhì)和x∈[0，]時的解析式探求f(3)和f(－)的值． 答案　(1)(－1,3)　(2)－ 解析　(1)∵f(x)是偶函數(shù)， ∴圖象關(guān)于y軸對稱． 又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減， 則f(x)的大致圖象如圖所示， 由f(x－1)>0，得－2

5、得到 f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)， 得函數(shù)y＝f(x)的一個周期為2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－. 所以f(3)＋f＝0＋＝－. 思維升華　函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題． 　(1)(2013·重慶)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5， 則f(lg(lg 2))等于(　　) A．－5 B．－1 C．3 D．4 (2)已知

6、函數(shù)f(x)＝x3＋x，對任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為_________． 答案　(1)C　(2) 解析　(1)lg(log210)＝lg＝－lg(lg 2)， 由f(lg(log210))＝5，得a[lg(lg 2)]3＋bsin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，則f(lg(lg 2))＝a(lg(lg 2))3＋bsin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f(x)為增函數(shù)． 又f(x)為奇函數(shù)，由f(mx－2)＋f(x)<0知， f(mx－2)

7、＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立， 即，∴－2x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c 思維啟迪　(1)可以利用函數(shù)的性質(zhì)或特殊點(diǎn)，利用排除法確定圖象．(2)考慮函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 答案　(1)C　(2)

8、D 解析　(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠－1}，其圖象可由y＝的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，y＝為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，y＝的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)成中心對稱．可排除A，D. 又x>0時，y＝>0，所以，B不正確，選C. (2)由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后得到的圖象關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)y＝f(x)的圖象本身關(guān)于直線x＝1對稱，所以a＝f(－)＝f()，當(dāng)x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等價于函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以b>a>c.選D. 思維升華　(1)作圖：常用描點(diǎn)法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變

9、換、伸縮變換和對稱變換．尤其注意y＝f(x)與y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互關(guān)系． (2)識圖：從圖象與軸的交點(diǎn)及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準(zhǔn)解析式與圖象的對應(yīng)關(guān)系． (3)用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究． 　(1)函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21－x在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是(　　) (2)(2013·課標(biāo)全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞

10、，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)f(x)＝1＋log2x的圖象過定點(diǎn)(1,1)，g(x)＝21－x的圖象過定點(diǎn)(0,2)． f(x)＝1＋log2x的圖象由y＝log2x的圖象向上平移一個單位而得到，且f(x)＝1＋log2x為單調(diào)增函數(shù)，g(x)＝21－x＝2×()x的圖象由y＝()x的圖象伸縮變換得到，且g(x)＝21－x為單調(diào)減函數(shù)．A中，f(x)的圖象單調(diào)遞增，但過點(diǎn)(1,0)，不滿足；B中，g(x)的圖象單調(diào)遞減，但過點(diǎn)(0,1)，不滿足；D中，兩個函數(shù)都是單調(diào)增函數(shù)，也不滿足．選C. (2)函數(shù)y＝|

11、f(x)|的圖象如圖． ①當(dāng)a＝0時，|f(x)|≥ax顯然成立． ②當(dāng)a>0時，只需在x>0時， ln(x＋1)≥ax成立． 比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y＝ax的增長速度． 顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立． ③當(dāng)a<0時，只需在x<0時，x2－2x≥ax成立． 即a≥x－2成立，∴a≥－2.綜上所述：－2≤a≤0.故選D. 熱點(diǎn)三　基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì) 例3　(1)若函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞

12、，－1)∪(0,1) (2)已知α，β∈[－，]且αsin α－βsin β>0，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．α>β B．α＋β>0 C．α<β D．α2>β2 思維啟迪　(1)可利用函數(shù)圖象或分類討論確定a的范圍；(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xsin x，利用f(x)的單調(diào)性． 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)方法一　由題意作出y＝f(x)的圖象如圖． 顯然當(dāng)a>1或－1f(－a)．故選C. 方法二　對a分類討論： 當(dāng)a>0時，log2a>loga，即log2a>0，∴a>1. 當(dāng)a<0時，log(－a)>log2(－a)，即log

13、2(－a)<0， ∴－10，∴f(x)為增函數(shù)， 且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2. 思維升華　(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)是中學(xué)階段所學(xué)的基本初等函數(shù)，是高考的必考內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運(yùn)算能力．(2)比較數(shù)式

14、大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性． 　(1)設(shè)<()b<()a<1，那么(　　) A．a(chǎn)aaa， 故ab

15、當(dāng)x≥0時，g(x)＝f(x)＝2x－為單調(diào)增函數(shù)，所以g(x)≥g(0)＝0；當(dāng)x<0時，g(x)＝f(－x)＝2－x－為單調(diào)減函數(shù)，所以g(x)>g(0)＝0，所以函數(shù)g(x)的最小值是0. 1．判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法 (1)能畫出圖象的一般用數(shù)形結(jié)合法去觀察． (2)由基本初等函數(shù)通過加、減運(yùn)算或復(fù)合而成的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問題． (3)對于解析式較復(fù)雜的一般用導(dǎo)數(shù)法． (4)對于抽象函數(shù)一般用定義法． 2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖象的對稱性，是函數(shù)的整體特性． 利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分(

16、一半)區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑．尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)． 3．函數(shù)圖象的對稱性 (1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．提醒：函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)的圖象對稱軸為x＝0，并非直線x＝a. (2)若f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱． (3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝2b－f(2a－x)，則該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對稱． 4．二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機(jī)的整體，要深刻理解它們之間的相

17、互關(guān)系，能用函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想來研究與“三個二次”有關(guān)的問題，高考對“三個二次”知識的考查往往滲透在其他知識之中，并且大都出現(xiàn)在解答題中． 5．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指、對數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問題時，首先要看底數(shù)a的范圍． 比較兩個對數(shù)的大小或解對數(shù)不等式或解對數(shù)方程時，一般是構(gòu)造同底的對數(shù)函數(shù)，若底數(shù)不同，可運(yùn)用換底公式化為同底的對數(shù)，三數(shù)比較大小時，注意與0比較或與1比較． 6．解決與本講有關(guān)的問題應(yīng)注意函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等思想的運(yùn)用. 真題感悟 1．(2014·安徽)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為

18、4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________. 答案　 解析　∵f(x)是以4為周期的奇函數(shù)， ∴f＝f＝f， f＝f＝f. ∵當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)， ∴f＝×＝. ∵當(dāng)10，且a≠1)的圖象如圖所示，則所給函數(shù)圖象正確的是(　　) 答案　B 解析　由題意得y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過(3,1)點(diǎn)，可解得a＝3.

19、選項(xiàng)A中，y＝3－x＝()x，顯然圖象錯誤；選項(xiàng)B中，y＝x3，由冪函數(shù)圖象可知正確；選項(xiàng)C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項(xiàng)D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關(guān)于y軸對稱，顯然不符，故選B. 押題精練 1．已知函數(shù)f(x)＝e|ln x|－，則函數(shù)y＝f(x＋1)的大致圖象為(　　) 答案　A 解析　據(jù)已知關(guān)系式可得 f(x)＝ 作出其圖象然后將其向左平移1個單位即得函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象． 2．已知函數(shù)f(x)＝|logx|，若m

20、) C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　D 解析　∵f(x)＝|logx|，若m1， ∴m＋3n＝m＋在m∈(0,1)上單調(diào)遞減， 當(dāng)m＝1時，m＋3n＝4，∴m＋3n>4. 3．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當(dāng)|f(x)|

21、　由題意得，利用平移變化的知識畫出函數(shù)|f(x)|，g(x)的圖象如圖， 而h(x)＝， 故h(x)有最小值－1，無最大值． (推薦時間：40分鐘) 一、選擇題 1．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意的x1，x2∈(0，＋∞)時，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－4x＋4 C．f(x)＝2x D．f(x)＝logx 答案　C 解析　函數(shù)f(x)滿足“對任意的x1，x2∈(0，＋∞)時，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”等價于x1－x2與f(x1)－f(x2)的值的符號相同，即可化為

22、>0，表示函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由此可得只有函數(shù)f(x)＝2x符合．故選C. 2．(2014·浙江)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是(　　) 答案　D 解析　方法一　分a>1,01時，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C； 當(dāng)0

23、)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯，D對；C項(xiàng)中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知a>1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越快的變化趨勢，故C錯． 3．已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝lg x，則f的值等于(　　) A. B．－ C．lg 2 D．－lg 2 答案　D 解析　當(dāng)x<0時，－x>0，則f(－x)＝lg(－x)． 又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)， 所以當(dāng)x<0時，f(x)＝－lg(－x)． 所以f＝lg ＝－2， f＝f(－2)＝－lg 2. 4．若a>b，則下列不等式成立的是(　　) A．

24、ln a>ln b B．0.3a>0.3b C． D.> 答案　D 解析　因?yàn)閍>b，而對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，所以ln a>ln b不一定成立； 因?yàn)閥＝0.3x是減函數(shù)，又a>b，則0.3a<0.3b，故B錯； 因?yàn)閥＝在(0，＋∞)是增函數(shù)，又a>b，則不一定成立，故C錯； y＝在(－∞，＋∞)是增函數(shù)，又a>b，則，即>成立，選D. 5．設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}等于(　　) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 答案　B 解析　由

25、于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，因此有f(|x|)＝f(x)，不等式f(x－2)>0， 即f(|x－2|)>0， f(|x－2|)＝2|x－2|－4>0，|x－2|>2， 即x－2<－2或x－2>2，由此解得x<0或x>4. 于是有{x|f(x－2)>0}＝{x|x<0或x>4}，故選B. 6．使log2(－x)

26、1－的奇偶性、單調(diào)性均相同的是(　　) A．y＝ex B．y＝ln(x＋) C．y＝x2 D．y＝tan x 答案　B 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x－1－＝(2x－)，可知函數(shù)f(x)在定義域上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，y＝ex為非奇非偶函數(shù)，y＝x2為偶函數(shù)，y＝tan x在定義域上是奇函數(shù)，但不單調(diào)遞增，只有y＝ln(x＋)在定義域上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選B. 8．(2013·天津)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，則a的取值范圍是(　　) A．[1,2] B. C.

27、 D．(0,2] 答案　C 解析　由題意知a>0，又loga＝log2a－1＝－log2a. ∵f(x)是R上的偶函數(shù)， ∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(loga)． ∵f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)， ∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)． 又∵f(x)在[0，＋∞)上遞增． ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a∈，選C. 二、填空題 9．已知函數(shù)f(x)＝，則f(ln 3)＝________. 答案　e 解析　f(ln 3)＝f(ln 3＋1)＝eln 3＋1＝e，故填e. 10．已知函數(shù)f(x)

28、＝x|x－a|，若對任意的x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 答案　{a|a≤2} 解析　f(x)＝，由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0知，函數(shù)y＝f(x)在[2，＋∞)單調(diào)遞增，當(dāng)a≤0時，滿足題意，當(dāng)a>0時，只需a≤2，即0

29、，即f＝f. 又因?yàn)閒＝－a＋1，f＝＝， 所以－a＋1＝. 整理，得a＝－(b＋1)．① 又因?yàn)閒(－1)＝f(1)， 所以－a＋1＝，即b＝－2a.② 將②代入①，得a＝2，b＝－4. 所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10. 12．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足以下三個條件： ①對于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)； ②對于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)； ③函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關(guān)于y軸對稱． 則判斷f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小關(guān)系為________． 答案　f(4.5)＜f(7)＜f(6

30、.5) 解析　由已知得f(x)是以4為周期且關(guān)于直線x＝2對稱的函數(shù)．所以f(4.5)＝f(4＋)＝f()， f(7)＝f(4＋3)＝f(3)， f(6.5)＝f(4＋)＝f()． 又f(x)在[0,2]上為增函數(shù)． 所以作出其在[0,4]上的圖象知 f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)． 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x∈Z)，給出以下三個結(jié)論： ①f(x)為偶函數(shù)；②f(x)為周期函數(shù)；③f(x＋1)＋f(x)＝1，其中正確結(jié)論的序號是________． 答案　①②③ 解析　對于x∈Z，f(x)的圖象為離散的點(diǎn)，關(guān)于y軸對稱，①正確；f(x)為周期函數(shù)，T＝2，②正確；f(x

31、＋1)＋f(x)＝＋＝1＋＝1，③正確． 14．能夠把圓O：x2＋y2＝16的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓O的“和諧函數(shù)”，下列函數(shù)是圓O的“和諧函數(shù)”的是________． ①f(x)＝ex＋e－x　 ②f(x)＝ln ③f(x)＝tan　 ④f(x)＝4x3＋x 答案　②③④ 解析　由“和諧函數(shù)”的定義知，若函數(shù)為“和諧函數(shù)”，則該函數(shù)為過原點(diǎn)的奇函數(shù)，①中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的圖象不過原點(diǎn)，故f(x)＝ex＋e－x不是“和諧函數(shù)”；②中f(0)＝ln＝ln 1＝0，且f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝ln為“和諧函數(shù)”；③中，f(0)＝tan 0＝0，且f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)，故f(x)＝tan為“和諧函數(shù)”；④中，f(0)＝0，且f(x)為奇函數(shù)，故f(x)＝4x3＋x為“和諧函數(shù)”，所以，②③④中的函數(shù)都是“和諧函數(shù)”．