高中數(shù)學(xué)競賽教材講義 第一章 集合與簡易邏輯講義

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1、第一章 集合與簡易邏輯一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1 一般地，一組確定的、互異的、無序的對(duì)象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個(gè)對(duì)象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開表示集合的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。例如有理數(shù)，分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。定義2 子集：對(duì)于兩個(gè)集合A

2、與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。定義3 交集，定義4 并集，定義5 補(bǔ)集，若稱為A在I中的補(bǔ)集。定義6 差集，。定義7 集合記作開區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，R記作定理1 集合的性質(zhì)：對(duì)任意集合A，B，C，有：（1） （2）；（3） （4）【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。（1）若，則，且或，所以或，即；反之，則或，即且或，即且，即（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2 加法原

3、理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。定理3 乘法原理：做一件事分個(gè)步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。二、方法與例題1利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。例1 設(shè)，求證：（1）；（2）；（3）若，則證明（1）因?yàn)?，且，所以?）假設(shè)，則存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于，假設(shè)不成立，所以（3）設(shè)，則（因?yàn)椋?利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。例2 設(shè)A，B是兩個(gè)集合，又設(shè)

4、集合M滿足，求集合M（用A，B表示）?！窘狻肯茸C，若，因?yàn)?，所以，所以?再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以綜上，3分類討論思想的應(yīng)用。例3 ，若，求【解】依題設(shè)，再由解得或，因?yàn)?，所以，所以，所以?，所以或3。因?yàn)?，所以，若，則，即，若，則或，解得綜上所述，或；或。4計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。例4 集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)；（2）求I的非空真子集的個(gè)數(shù)?！窘狻浚?）集合I可劃分為三個(gè)不相交的子集；AB，BA，中的每個(gè)元素恰屬于其中一個(gè)子集，10個(gè)元素共有310種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對(duì)，所以集合對(duì)有

5、310個(gè)。（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個(gè)子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個(gè)，非空真子集有1022個(gè)。5配對(duì)方法。例5 給定集合的個(gè)子集：，滿足任何兩個(gè)子集的交集非空，并且再添加I的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值?！窘狻繉的子集作如下配對(duì)：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對(duì)，共得對(duì)，每一對(duì)不能同在這個(gè)子集中，因此，；其次，每一對(duì)中必有一個(gè)在這個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，若有一對(duì)子集未出現(xiàn)，設(shè)為C1A與A，并設(shè)，則，從而可以在個(gè)子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。6競賽常用方法與例問

6、題。定理4 容斥原理；用表示集合A的元素個(gè)數(shù)，則，需要xy此結(jié)論可以推廣到個(gè)集合的情況，即定義8 集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個(gè)-劃分。定理5 最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6 抽屜原理：將個(gè)元素放入個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有不少于個(gè)元素，也必有一個(gè)抽屜放有不多于個(gè)元素；將無窮多個(gè)元素放入個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜放有無窮多個(gè)元素。例6 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。【解】 記，由容斥原理，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個(gè)。例7 S是集合1，2，2004的子集，S中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個(gè)元素？【解】將任意連續(xù)的11個(gè)

7、整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于S，將這11個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成6組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若S含有這11個(gè)數(shù)中至少6個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個(gè)數(shù)。又因?yàn)?004=18211+2，所以S一共至多含有1825+2=912個(gè)元素，另一方面，當(dāng)時(shí)，恰有，且S滿足題目條件，所以最少含有912個(gè)元素。例8 求所有自然數(shù)，使得存在實(shí)數(shù)滿足：【解】 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 。下證當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件。令，則所以必存在某兩個(gè)下標(biāo)，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考慮，有或，即，設(shè)，則，導(dǎo)致矛盾，故只有考慮，有或，即，設(shè)，則，推出矛盾，設(shè)

8、，則，又推出矛盾， 所以故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。（）若，考慮，有或，即，這時(shí)，推出矛盾，故。考慮，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。例9 設(shè)A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在A中取三個(gè)數(shù)，B中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合，求的最小值?！窘狻?設(shè)B中每個(gè)數(shù)在所有中最多重復(fù)出現(xiàn)次，則必有。若不然，數(shù)出現(xiàn)次（），則在出現(xiàn)的所有中，至少有一個(gè)A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1，就有集合1，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個(gè)數(shù)，這不可能，所以20個(gè)中，B中的數(shù)有40個(gè)，因此至少是10個(gè)不同的，所

9、以。當(dāng)時(shí)，如下20個(gè)集合滿足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。例10 集合1，2，3n可以劃分成個(gè)互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正

10、整數(shù)【解】 設(shè)其中第個(gè)三元集為則1+2+所以。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8滿足條件，所以的最小值為5。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1給定三元集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。2若集合中只有一個(gè)元素，則=_。3集合的非空真子集有_個(gè)。4已知集合，若，則由滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合P=_。5已知，且，則常數(shù)的取值范圍是_。6若非空集合S滿足，且若，則，那么符合要求的集合S有_個(gè)。7集合之間的關(guān)系是_。8若集合，其中，且，若，則A中元素之和是_。9集合，且，則滿足條件的值構(gòu)成的集合為_。10集合，則_。11已知S是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的

11、集合，且滿足1）若，則。如果，S中至少含有多少個(gè)元素？說明理由。12已知，又C為單元素集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1已知集合，且A=B，則_，_。2，則_。3已知集合，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是_。4若實(shí)數(shù)為常數(shù)，且_。5集合，若，則_。6集合，則中的最小元素是_。7集合，且A=B，則_。8已知集合，且，則的取值范圍是_。9設(shè)集合，問：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。10集合A和B各含有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合C的個(gè)數(shù)：1）且C中含有3個(gè)元素；2）。11判斷以下命題是否正確：設(shè)A，B是平面上兩個(gè)點(diǎn)集，若對(duì)任何，都有，則必有，證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)

12、練題1已知集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。2集合的子集B滿足：對(duì)任意的，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是_。3已知集合，其中，且，若P=Q，則實(shí)數(shù)_。4已知集合，若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則_。5集合，集合，則集合M與N的關(guān)系是_。6設(shè)集合，集合A滿足：，且當(dāng)時(shí)，則A中元素最多有_個(gè)。7非空集合，則使成立的所有的集合是_。8已知集合A，B，aC（不必相異）的并集, 則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個(gè)數(shù)是_。9已知集合，問：當(dāng)取何值時(shí)，為恰有2個(gè)元素的集合？說明理由，若改為3個(gè)元素集合，結(jié)論如何？10求集合B和C，使得，并且C的元素乘積等于B的元素和。11S是Q的子集且滿足：若，則恰有一

13、個(gè)成立，并且若，則，試確定集合S。12集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干個(gè)五元子集滿足：S中的任何兩個(gè)元素至多出現(xiàn)在兩個(gè)不同的五元子集中，問：至多有多少個(gè)五元子集？六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1是三個(gè)非空整數(shù)集，已知對(duì)于1，2，3的任意一個(gè)排列，如果，則。求證：中必有兩個(gè)相等。2求證：集合1，2，1989可以劃分為117個(gè)互不相交的子集，使得（1）每個(gè)恰有17個(gè)元素；（2）每個(gè)中各元素之和相同。3某人寫了封信，同時(shí)寫了個(gè)信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯(cuò)的情況有多少種？4設(shè)是20個(gè)兩兩不同的整數(shù)，且整合中有201個(gè)不同的元素，求集合中不同元素個(gè)數(shù)的最小可能值。5設(shè)S是由個(gè)人組成的集合。求證：其中必定有兩個(gè)人，他們的公共朋友的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。6對(duì)于整數(shù)，求出最小的整數(shù)，使得對(duì)于任何正整數(shù)，集合的任一個(gè)元子集中，均有至少3個(gè)兩兩互質(zhì)的元素。7設(shè)集合S=1，2，50，求最小自然數(shù)，使S的任意一個(gè)元子集中都存在兩個(gè)不同的數(shù)a和b，滿足。8集合，試作出X的三元子集族&，滿足：（1）X的任意一個(gè)二元子集至少被族&中的一個(gè)三元子集包含；（2）。9設(shè)集合，求最小的正整數(shù)，使得對(duì)A的任意一個(gè)14-分劃，一定存在某個(gè)集合，在中有兩個(gè)元素a和b滿足。高考資源網(wǎng)()來源：高考資源網(wǎng)版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )