高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第六章 三角函數(shù)講義

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1、第六章 三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1 角，一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍瑒t角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2 角度制，把一周角360等分，每一等價(jià)為一度，弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|=,其中r是圓的半徑。定義3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y），到原點(diǎn)的距離為r,則正弦函數(shù)sin=,余弦函數(shù)cos=,正切函數(shù)tan=，余切函數(shù)c

2、ot=，正割函數(shù)sec=,余割函數(shù)csc=定理1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,sin=，cos=；商數(shù)關(guān)系：tan=；乘積關(guān)系：tancos=sin,cotsin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-co

3、t; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇變偶不變，符號(hào)看象限）。定理3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx（xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+時(shí)，y取最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=3k-時(shí), y取最小值-1。對(duì)稱(chēng)性：直線(xiàn)x=k+均為其對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)（k, 0）均為其對(duì)稱(chēng)中心，值域?yàn)?1，1。這里kZ.定理4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期為2。奇偶性：偶函數(shù)。對(duì)稱(chēng)性：直線(xiàn)x=k均為其

4、對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)均為其對(duì)稱(chēng)中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2k時(shí)，y取最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2k-時(shí)，y取最小值-1。值域?yàn)?1，1。這里kZ.定理5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xk+)在開(kāi)區(qū)間(k-, k+)上為增函數(shù), 最小正周期為，值域?yàn)椋?，+），點(diǎn)（k，0），（k+，0）均為其對(duì)稱(chēng)中心。定理6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=定理7 和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,sinco

5、s=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).定理8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=定理9 半角公式:sin=,cos=,tan=定理10 萬(wàn)能公式: , ,定理11 輔助角公式：如果a, b是實(shí)數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a, b)的一個(gè)角為，則sin=,cos=，對(duì)任意的角.asin+bcos=sin(+).定理12 正弦定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分別是角A

6、，B，C的對(duì)邊，R為ABC外接圓半徑。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對(duì)邊。定理14 圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到y(tǒng)=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(0)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個(gè)單

7、位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義4 函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x-1, 1)，函數(shù)y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函數(shù)稱(chēng)為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x-, +).定理15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+a

8、rctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16 若，則sinxx-1，所以cos，所以sin(cosx) 0,又00，所以cos(sinx)sin(cosx).若，則因?yàn)閟inx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)，所以0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx).綜上，當(dāng)x(0,)時(shí)，總有cos(sinx)0，求證：【證明】 若+，則x0，由-0得coscos(-)=sin,所以0sin(-)=cos, 所以01，所以若+，則x0，由0-cos(-)=sin0,所以1。又0sin1，所以，得

9、證。注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。3最小正周期的確定。例4 求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】 首先，T=2是函數(shù)的周期（事實(shí)上，因?yàn)閏os(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=k+時(shí)，y=0（因?yàn)閨2cosx|2）,所以若最小正周期為T(mén)0，則T0=m, mN+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以T0=2。4三角最值問(wèn)題。例5 已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值。【解法一】 令sinx=,則有y=因?yàn)?，所以，所?，所以當(dāng)，即x=2k-(kZ)時(shí)，ymin=0，當(dāng)，

10、即x=2k+(kZ)時(shí)，ymax=2.【解法二】 因?yàn)閥=sinx+,=2（因?yàn)?a+b)22(a2+b2)），且|sinx|1，所以0sinx+2，所以當(dāng)=sinx，即x=2k+(kZ)時(shí), ymax=2，當(dāng)=-sinx，即x=2k-(kZ)時(shí), ymin=0。例6 設(shè)0，求sin的最大值。【解】因?yàn)?0, cos0.所以sin（1+cos）=2sincos2= =當(dāng)且僅當(dāng)2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan時(shí)，sin(1+cos)取得最大值。例7 若A，B，C為ABC三個(gè)內(nèi)角，試求sinA+sinB+sinC的最大值?！窘狻?因?yàn)閟inA+sinB=2sincos, si

11、nC+sin, 又因?yàn)?，由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,所以sinA+sinB+sinC3sin=,當(dāng)A=B=C=時(shí)，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。5換元法的使用。例8 求的值域?！窘狻?設(shè)t=sinx+cosx=因?yàn)樗杂忠驗(yàn)閠2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因?yàn)閠-1，所以，所以y-1.所以函數(shù)值域?yàn)槔? 已知a0=1, an=(nN+)，求證：an.【證明】 由題設(shè)an0，令an=tana

12、n, an，則an=因?yàn)?，an，所以an=，所以an=又因?yàn)閍0=tana1=1，所以a0=，所以。又因?yàn)楫?dāng)0xx，所以注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng)x時(shí)，有tanxxsinx，這是個(gè)熟知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。6圖象變換：y=sinx(xR)與y=Asin(x+)(A, , 0).由y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，最后向左平移

13、個(gè)單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(0, 0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值?！窘狻?由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對(duì)任意xR成立。又0，解得=，因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).又0，取k=0時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=1時(shí)，=2，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=2時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(x+)在0，上不是單調(diào)

14、函數(shù)，綜上，=或2。7三角公式的應(yīng)用。例11 已知sin(-)=，sin(+)=- ，且-，+，求sin2,cos2的值。【解】 因?yàn)?，所以cos(-)=-又因?yàn)?，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例12 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值?！窘狻?因?yàn)锳=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。又0，所以。例13 求證：tan20+4cos70.【解】 tan20+4co

15、s70=+4sin20三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知銳角x的終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2sin3, -2cos3)，則x的弧度數(shù)為_(kāi)。2適合-2cscx的角的集合為_(kāi)。3給出下列命題：（1）若，則sinsin；（2）若sinsin,則；（3）若sin0，則為第一或第二象限角；（4）若為第一或第二象限角，則sin0. 上述四個(gè)命題中，正確的命題有_個(gè)。4已知sinx+cosx=(x(0, )，則cotx=_。5簡(jiǎn)諧振動(dòng)x1=Asin和x2=Bsin疊加后得到的合振動(dòng)是x=_。6已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則1，2，3，4分別是第_

16、象限角。7滿(mǎn)足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有_個(gè)。8已知，則=_。9=_。10cot15cos25cot35cot85=_。11已知,(0, ), tan, sin(+)=，求cos的值。12已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R，若其周長(zhǎng)為定值c(c0)，當(dāng)扇形面積最大時(shí)，a=_.2. 函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.3. 函數(shù)的值域?yàn)開(kāi).4. 方程=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi).5. 若sina+cosa=tana, a，則_a（填大小關(guān)系）.6. (1+tan1)

17、(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45)=_.7. 若0yx0, k=-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）試求最小正整數(shù)k，使得當(dāng)x在任意兩個(gè)整數(shù)（包括整數(shù)本身）間變化時(shí)，函數(shù)f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（一）1若x, yR，則z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是_.2已知圓x2+y2=k2至少蓋住函數(shù)f(x)=的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.3f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值為_(kāi).4方程sinx+cosx+a=0在（0，2）內(nèi)有相異兩實(shí)根，則+=_.5函數(shù)f(x)=|tanx|+|cotx|的單

18、調(diào)遞增區(qū)間是_.6設(shè)sina0cosa, 且sincos，則的取值范圍是_.7方程tan5x+tan3x=0在0，中有_個(gè)解.8若x, yR, 則M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為_(kāi).9若00)在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖象與函數(shù)g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是_.2若，則y=tan-tan+cos的最大值是_.3在ABC中，記BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，則=_.4設(shè)f(x)=x2-x, =arcsin, =arctan, =arccos, =arccot, 將f(), f(), f(), f()從小到大排列為_(kāi).5logsi

19、n1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將a, b, c, d從小到大排列為_(kāi).6在銳角ABC中，cosA=cossin, cosB=cossin, cosC=cossin，則tantantan=_.7已知矩形的兩邊長(zhǎng)分別為tan和1+cos(00恒成立，則的取值范圍是_.10已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，則cos2x+ cos2y+ cos2z=_.11已知a1, a2, ,an是n個(gè)實(shí)常數(shù)，考慮關(guān)于x的函數(shù)：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) +cos(an+x)。求證：

20、若實(shí)數(shù)x1, x2滿(mǎn)足f(x1)=f(x2)=0，則存在整數(shù)m，使得x2-x1=m.12在ABC中，已知，求證：此三角形中有一個(gè)內(nèi)角為。13求證：對(duì)任意自然數(shù)n, 均有|sin1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n|.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1已知x0, y0, 且x+y0（wR）.2. 已知a為銳角，n2, nN+，求證：2n-2+1.3. 設(shè)x1, x2, xn, y1, y2, yn,滿(mǎn)足x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求證：2xnyn3(n2).4已知，為銳角，且cos2+cos2+cos2=1，求證；+m，求證：對(duì)一切x都有2|sinnx-cosnx|3|sinnx-cosnx|.7在ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。8求的有的實(shí)數(shù)a, 使cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一項(xiàng)均為負(fù)數(shù)。9已知i，tan1tan2tann=2, nN+, 若對(duì)任意一組滿(mǎn)足上述條件的1，2，n都有cos1+cos2+cosn，求的最小值。高考資源網(wǎng)()來(lái)源：高考資源網(wǎng)版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )