2019版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第四章 因式分解試題 （新版）北師大版

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1、 第四章　因式分解 　　1.因式分解的方法 名稱 提公因式法 平方差公式 完全平方公式 公式 ma+mb+mc =m(a+b+c) a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 項(xiàng)數(shù) 最少兩項(xiàng) 兩項(xiàng) 三項(xiàng) 適用 條件 有公因式 平方差形式 (1)兩項(xiàng). (2)每項(xiàng)都是平方的形式.(3)兩項(xiàng)符號(hào)相反 完全平方形式(1)三項(xiàng). (2)兩項(xiàng)是平方的形式. (3)另一項(xiàng)是兩數(shù)乘積的二倍 【例1】分解因式：2x2-6x=________. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】?jī)身?xiàng)中都含有公因式2x，提取公因式2x得2x2-6x=2x(x-3). 答案：

2、2x(x-3) 【例2】分解因式：4x2-1=________. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】4x2-1=(2x)2-12=(2x+1)(2x-1). 答案：(2x+1)(2x-1) 【例3】分解因式：(a+b)3-4(a+b)=________. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】(a+b)3-4(a+b) =(a+b) =(a+b)(a+b+2)(a+b-2). 答案：(a+b)(a+b+2)(a+b-2) 【例4】分解因式：a3-10a2+25a=________. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】a3-10a2+25a=a(a2-10a+25)=a(a-5)2. 答案：a(a-5)2 【例5】分解因式：(2a-b)2+

3、8ab =________. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】(2a-b)2+8ab=4a2-4ab+b2+8ab=4a2+4ab+b2=(2a+b)2. 答案：(2a+b)2 1.下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是(　　) A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4 2.分解因式：(x+3)2-(x+3)=________. 3.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解x4-4=________. 4.因式分解：x3y2-x5=________. 5.分解因式：-a3+a2b-ab2=________. 6.給出三個(gè)多項(xiàng)式x2+x-1，x2+3x+1，x2-x，請(qǐng)

4、你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解. 2.分解因式與整體代入求值 (1)利用平方差公式分解因式，再整體代入求值 通過對(duì)已知條件或?qū)λ蟠鷶?shù)式利用平方差公式進(jìn)行因式分解，再整體代入求值. 【例1】若m2-n2=6，且m-n=2，則m+n=________. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】m2-n2=(m+n)(m-n) =2(m+n)=6，∴m+n=3. 答案：3 (2)利用完全平方公式分解因式，再整體代入求值 通過對(duì)已知條件利用完全平方公式分解因式，對(duì)所求代數(shù)式化簡(jiǎn)分解因式，找出已知條件與所求代數(shù)式之間的關(guān)系，然后整體代入求值. 【例2】已知a2+2ab+b

5、2=0，求代數(shù)式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】∵a2+2ab+b2=0，∴a+b=0， 又∵a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)=a2+4ab-(a2-4b2)=4ab+4b2=4b(a+b). ∴原式=4×b×0=0. 1.若m-n=2，m+n=5，則m2-n2的值為________. 2.已知m+n=3，求2m2+4mn+2n2-6的值. 3.因式分解的解題技巧 (1)通過加減變形，進(jìn)行因式分解 分解某些多項(xiàng)式，有時(shí)需要加上并減去一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，從而在多項(xiàng)式的值保持不變的前提下達(dá)到因式分解的目的. 【例1】分解因式：4a

6、4+1. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】本題只需在原式中加上并減去4a2，即能運(yùn)用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行分解. 原式=4a4+1+4a2-4a2=(4a4+4a2+1)-4a2 =(2a2+1)2-(2a)2=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1). (2)通過拆項(xiàng)變形，進(jìn)行因式分解 當(dāng)多項(xiàng)式的因式分解遇到困難時(shí)，有時(shí)也可考慮采用拆項(xiàng)的方法，將多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)進(jìn)行拆分，然后將新得到的多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)組合，同樣可以實(shí)現(xiàn)因式分解. 【例2】分解因式：2x3+3x2-1. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】將3x2拆成2x2+x2，再將2x2與2x3組合，x2與-1組合，則能運(yùn)用提取公因式法與平方差公式進(jìn)行分解. 原

7、式=2x3+2x2+x2-1 =(2x3+2x2)+(x2-1) =2x2(x+1)+(x+1)(x-1) =(x+1)(2x2+x-1). (3)通過換元變形，進(jìn)行因式分解 當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)較高，且其中含有相同的多項(xiàng)式因子時(shí)，采用換元法就能降低原多項(xiàng)式的次數(shù)，從而簡(jiǎn)化因式分解操作. 【例3】分解因式：(a2+2a)(a2+2a+4)+4. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】設(shè)y=a2+2a，則原式=y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2， ∴(a2+2a)(a2+2a+4)+4=(a2+2a+2)2. (4)由整式的乘法可知，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，根據(jù)因式分解與整

8、式乘法的關(guān)系可得，x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).因此可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式. 例如，將式子x2+3x+2分解因式，這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)2=1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2，因此這是一個(gè)符合x2+(p+q)x+pq型的式子，利用這個(gè)關(guān)系可得x2+3x+2=(x+1)(x+2). 【例4】利用這種方法，將下列多項(xiàng)式分解因式. (1)x2+9x+20.　　(2)x2-7x+12. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)x2+9x+20=(x+4)(x+5). (2)x2-7x+12=(x-3)(x-4). 1.分解因式： (1)x2-7x-8. (2)

9、x2+3x-18. (3)a2+7ab+12b2. (4)(a+b)2-5(a+b)-14. 2.先閱讀以下材料，然后解答問題. 分解因式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)；也可以mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx +ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y). 以上分解因式的方法稱為分組分解法.請(qǐng)用分組分解法分解因式：a3-b3+a2b-ab2. 3.觀察下列分解因式的過程： x2+2ax-3a2 =x

10、2+2ax+a2-4a2(先加上a2，再減去a2) =(x+a)2-4a2(運(yùn)用完全平方公式) =(x+a+2a)(x+a-2a) =(x+3a)(x-a). 像上面這樣通過加減項(xiàng)配出完全平方式，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做配方法.請(qǐng)你用配方法分解因式：x2-4xy+3y2. 跟蹤訓(xùn)練答案解析 　　1.因式分解的方法 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選D.根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2可得，選項(xiàng)A，B，C都不能用完全平方公式進(jìn)行分解因式，D選項(xiàng)x2+4x+4=(x+2)2. 2.【解析】(x+3)2-(x+3) =(x+3)(x+3-1)=(x

11、+3)(x+2). 答案：(x+3)(x+2) 3.【解析】x4-4=(x2+2)(x2-2)= (x2+2)(x+)(x-). 答案：(x2+2)(x+)(x-) 4.【解析】x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y-x)(y+x). 答案：x3(y-x)(y+x) 5.【解析】原式=-a =-a. 答案：-a 6.【解析】如：+=+(x+3x)+(-1+1) =x2+4x=x(x+4). 又如：+=x2+2x+1=(x+1)2. 2.分解因式與整體代入求值 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】m2-n2=(m+n)(m-n)=5×2=10. 答案：10 2.【解

12、析】2m2+4mn+2n2-6=2(m+n)2-6. ∵m+n=3，∴2(m+n)2-6=2×32-6=12. 3.因式分解的解題技巧 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】(1)x2-7x-8=(x-8)(x+1). (2)x2+3x-18=(x+6)(x-3). (3)a2+7ab+12b2=(a+3b)(a+4b). (4)(a+b)2-5(a+b)-14=(a+b-7)(a+b+2). 2.【解析】a3-b3+a2b-ab2=(a3+a2b)-(b3+ab2)=a2(a+b)-b2(b+a)=(a+b)(a2-b2) =(a+b)2(a-b). 3.【解析】x2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2 =x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2 =[(x-2y)+y][(x-2y)-y] =(x-y)(x-3y). 7