2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第22講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（含解析）

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1、第22講與圓有關(guān)的位置關(guān)系1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系(設(shè)d為點(diǎn)P到圓心的距離，r為圓的半徑)： (1)點(diǎn)P在圓上dr； (2)點(diǎn)P在圓內(nèi)dr 2直線和圓的位置關(guān)系 (1)設(shè)r是O的半徑，d是圓心O到直線l的距離直線和圓的位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系公共點(diǎn)名稱直線名稱相交2dr交點(diǎn)割線相切1dr切點(diǎn)切線相離0dr 無(wú)無(wú)(2)切線的性質(zhì)：切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑推論1：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。 推論2：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) (3)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(4)切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的一條切

2、線；這一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角3三角形的外接圓和內(nèi)切圓名稱圖形內(nèi)、外心性質(zhì)三角形的外接圓三邊垂直平分線的交點(diǎn)稱為三角形的外心三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等三角形的內(nèi)切圓三條角平分線的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等考點(diǎn)1：圓的切線的判定與性質(zhì)【例題1】如圖，AB是O的直徑，且長(zhǎng)為10，點(diǎn)P是AB下方的半圓上不與點(diǎn)A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CO交O于點(diǎn)D，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作O的切線交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連CE.(1)若ADC30，求的

3、長(zhǎng)；(2)求證：DACECP；(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若tanDCE，求AD的長(zhǎng)【點(diǎn)撥】(1)利用同弧所對(duì)圓周角與圓心角之間的關(guān)系，可求得DOB60，利用弧長(zhǎng)公式求的長(zhǎng)；(2)先證得四邊形DCPE是矩形，從而證明DACECP；(3)可以利用tanDCE在RtDAC中獲得三邊的數(shù)量關(guān)系，在RtAOC中建立方程求解【解答】解：(1)ADC30，OAOD，OAD30.DOB60.l.(2)證明：連接OP.AOOP，點(diǎn)C是AP的中點(diǎn)，DCP90.DE是O的切線，CDE90.AB是O的直徑，APB90.四邊形DCPE是矩形DCEP.又ACCP，ACDCPE90，DACECP(SAS)(3)由(2)知，四

4、邊形DCPE是矩形，DACECP，ADCCEPDCE.tanDCE，tanADC.設(shè)ACx，則DC2x，ADx.在RtAOC中，OC2x5，AO2AC2OC2，52x2(2x5)2，解得x10(舍去)，x24.AD4.歸納：1.切線的判定：在判定直線與圓相切時(shí)，若直線與圓的公共點(diǎn)已知，證明方法是“連半徑，證垂直”；若直線與圓的公共點(diǎn)未知，證明方法是“作垂線，證半徑”這兩種情況可概括為一句話：“有交點(diǎn)，連半徑，無(wú)交點(diǎn)，作垂線” 2求線段長(zhǎng)度時(shí)通常在構(gòu)造的直角三角形中(注意直徑所對(duì)的圓周角也可得直角三角形)利用三角函數(shù)或勾股定理求解，有時(shí)也需根據(jù)圓中相等的角得到相似三角形，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比

5、例建立等式進(jìn)行求解考點(diǎn)2：圓的切線綜合應(yīng)用【例題2】（甘肅蘭州，27，10分）如圖，三角形ABC是O的內(nèi)接三角形，AB是O的直徑，ODAB于點(diǎn)O，分別交AC、CF于點(diǎn)E、D，且DE=DC（1）求證：CF是O的切線； （2）若O的半徑為5，BC=，求DE的長(zhǎng) 【提示】（1）第一步：連接OC，易知A=OCA，由ODAB證得AAEO=90；第二步：根據(jù)“等邊對(duì)等角”有DEC=DCE，代換得OCE+DCE=90，從而證得結(jié)論；（2）第一步：作DHEC，根據(jù)“等角的余角相等”可得EDH=A，EDC中根據(jù)三線合一得EH =HC=EC，于是AB=10，由勾股定理可得AC=；第三步：由AEOABC得，代入數(shù)據(jù)

6、求得AE，進(jìn)一步求出EC、EH；第四步：由等角的正弦相等得sinA= sinEDH，從而，進(jìn)而求得DE的長(zhǎng)【解答】解：（1）證明：連接OC，則A=OCA， ODAB，AOE=90，AAEO=90， DE =DC，DEC=DCE，AEO=DEC， AEO= DCE，OCE+DCE=90，CF是O的切線 （2）作DHEC，則EDH=A，DE =DC， EH =HC=EC， O的半徑為5，BC= AB=10，AC=，AEOABC，AE=，EC=AC-AE=，EH=EC=， EDH=A，sinA= sinEDH，即，DE=歸納：當(dāng)C與AB相切時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，同時(shí)要注意AB是線段，當(dāng)圓的半徑R在一定范

7、圍內(nèi)時(shí)，斜邊AB與C相交且只有一個(gè)公共點(diǎn)考點(diǎn)3：圓與其它知識(shí)的綜合應(yīng)用 【例題3】【例1】如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓O上一點(diǎn)，直線AC與過(guò)B點(diǎn)的切線相交于D，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，直線CE交直線AB于點(diǎn)F.(1)求證：CF是O的切線；(2)若ED3，cosF，求O的半徑【分析】(1)要判斷CF是切線，根據(jù)切線的判定“有切點(diǎn)，連半徑”，連接CB、OC，根據(jù)圓周角定理得ACB90，即BCD90，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CEBE，所以BCECBE，根據(jù)角之間的等量代換證得OCE90，進(jìn)而證得CF是切線；(2)由題意得CEBEDE3，在RtBFE中，利用cosF和tanF可計(jì)算出BF，再利用勾

8、股定理可得EF，由CFCEEF得CF，最后在RtOCF中，利用正切函數(shù)可計(jì)算出OC.【解析】(1)證明：如圖，連接CB、OC，BD為O的切線，DBAB，ABD90，AB是直徑，ACB90，BCD90，E為BD的中點(diǎn)，CEBE，BCECBE，而OCBOBC，OBCCBEOCBBCE90，OCCF，CF是O的切線； (2)解：CEBEDE3，在RtBFE中，cosF，tanF，BF4，EF5，CFCEEF8，在RtOCF中，tanF，OC6.即O的半徑為6一、選擇題：1. 矩形ABCD中，AB8，BC3，點(diǎn)P在邊AB上，且BP3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是()

9、A點(diǎn)B，C均在圓P外B點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)C點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外D點(diǎn)B，C均在圓P內(nèi)【答案】C【解析】：畫出矩形后求解出DP的長(zhǎng)度即圓的半徑，然后求出BP，CP的長(zhǎng)度與DP的長(zhǎng)度作比較就可以發(fā)現(xiàn)答案在RtADP中，DP7，在RtBCP中，BP6，PC9.PCDP，BPDP，點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外答案：C2. 在ABC中，C90，AC3 cm，BC4 cm，若A，B的半徑分別為1 cm,4 cm，則A，B的位置關(guān)系是()A外切 B內(nèi)切 C相交 D外離【答案】A【解析】：如圖所示，由勾股定理可得AB5(cm)，A，B的半徑分別為1 cm,4 cm，圓心距dRr，A，B的位置關(guān)系是外

10、切答案：A3. （2018重慶市B卷）（4.00分）如圖，ABC中，A=30，點(diǎn)O是邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，O恰好與AC相切于點(diǎn)D，連接BD若BD平分ABC，AD=2，則線段CD的長(zhǎng)是（）A2 B C D【答案】B【解答】解：連接ODOD是O的半徑，AC是O的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，ODAC在RtAOD中，A=30，AD=2，OD=OB=2，AO=4，ODB=OBD，又BD平分ABC，OBD=CBDODB=CBDODCB，即CD=故選：B4. （2019黑龍江哈爾濱3分）如圖，PA.PB分別與O相切于A.B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，連接AC.BC，若P50，則ACB的度數(shù)為（）A6

11、0B75C70D65【答案】D【解答】解：連接OA.OB，PA.PB分別與O相切于A.B兩點(diǎn)，OAPA，OBPB，OAPOBP90，AOB180P18050130，ACBAOB13065故選：D5. (2019湖北仙桃)（3分）如圖，AB為O的直徑，BC為O的切線，弦ADOC，直線CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD下列結(jié)論：CD是O的切線；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)【答案】A【解答】解：連結(jié)DOAB為O的直徑，BC為O的切線，CBO90，ADOC，DAOCOB，ADOCOD又OAOD，DAOADO，CODCOB在COD和COB中，C

12、ODCOB（SAS），CDOCBO90又點(diǎn)D在O上，CD是O的切線；故正確，CODCOB，CDCB，ODOB，CO垂直平分DB，即CODB，故正確；AB為O的直徑，DC為O的切線，EDOADB90，EDA+ADOBDO+ADO90，ADEBDO，ODOB，ODBOBD，EDADBE，EE，EDAEBD，故正確；EDOEBC90，EE，EODECB，ODOB，EDBCBOBE，故正確；故選：A二、填空題：6. （2019江蘇蘇州3分）如圖，為的切線，切點(diǎn)為，連接，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為 .【答案】【解答】切線性質(zhì)得到7. （2018山東泰安3分）如圖，M的半徑為2，圓心M的

13、坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是M上的任意一點(diǎn)，PAPB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則AB的最小值為 .【答案】6【解答】解：PAPB，APB=90，AO=BO，AB=2PO，若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交M于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時(shí)，OP取得最小值，過(guò)點(diǎn)M作MQx軸于點(diǎn)Q，則OQ=3、MQ=4，OM=5，又MP=2，OP=3，AB=2OP=6，8. （2018山東威海3分）如圖，在扇形CAB中，CDAB，垂足為D，E是ACD的內(nèi)切圓，連接AE，BE，則AEB的度數(shù)為【答案】135【解答】解：如圖，連接ECE是ADC的內(nèi)心，AEC=90+

14、ADC=135，在AEC和AEB中，EACEAB，AEB=AEC=135，故答案為1359. （2018年江蘇省泰州市3分）如圖，ABC中，ACB=90，sinA=，AC=12，將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABC，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑作P，當(dāng)P與ABC的邊相切時(shí)，P的半徑為【答案】或【解答】解：如圖1中，當(dāng)P與直線AC相切于點(diǎn)Q時(shí)，連接PQ設(shè)PQ=PA=r，PQCA，=，=，r=如圖2中，當(dāng)P與AB相切于點(diǎn)T時(shí)，易證A、B、T共線，ABTABC，=，=，AT=，r=AT=綜上所述，P的半徑為或三、解答題：10. 在RtABC中，C90，AC3，BC4，若以C為圓

15、心，R為半徑的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，求R的值解：當(dāng)O與AB相切時(shí)，AB5，SABCABCDACBC，CD；如圖，當(dāng)C與斜邊AB相交時(shí)，點(diǎn)A在圓內(nèi)部，點(diǎn)B在圓上或圓外時(shí)，此時(shí)ACRBC，即3R4.故答案為：3R4或R11. 如圖，AB是O的直徑，BAC60，P是OB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C的切線CD交PQ于點(diǎn)D，連接OC.(1)求證：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值【解析】：(1)證明：AB是O的直徑，ACB90.PQAB，APQ90.又BAC60，OAOC，OAC是等邊三角形，ABCQ30.ACO60.DCQ180906030.D

16、CQQ.CDQ是等腰三角形(2)設(shè)O的半徑為x，則AB2x，ACx，BCx.CDQCOB，CQBCx.AQACCQ(1)x.APAQx.BPABAPx，POAPAOx.BPPO.12. (2018揚(yáng)州)如圖，在ABC中，ABAC，AOBC于點(diǎn)O，OEAB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作半圓，交AO于點(diǎn)F.(1)求證：AC是O的切線；(2)若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，OE3，求圖中陰影部分的面積；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PEPF取最小值時(shí)，直接寫出BP的長(zhǎng)【解析】：(1)證明：作OHAC于點(diǎn)H.ABAC，AOBC，AO平分BAC.又OEAB，OHAC，OHOE，即OH為O的半徑

17、AC是O的切線(2)點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，OA2OF2OE6.又OE3，OAE30，AOE60.AE3.S陰影SAOES扇形EOF33.(3)作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交BC于點(diǎn)P，此時(shí)PEPF最小OFOFOE，F(xiàn)OEF.AOEFOEF60，F(xiàn)30.FEAF.EFEA3，即PEPF最小值為3.在RtOPF中，OPtan30OF，在RtABO中，OBtan30OA2，BP2.13. (2018聊城)如圖，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于點(diǎn)E，作EDEB交AB于點(diǎn)D，O是BED的外接圓(1)求證：AC是O的切線；(2)已知O的半徑為2.5，BE4，求BC，AD的長(zhǎng)【點(diǎn)撥】(1)證

18、AC是O的切線，可轉(zhuǎn)化為證OEAC；(2)求BC，AD的長(zhǎng)可通過(guò)證明BDEBEC和AOEABC.【解答】解：(1)證明：連接OE.OBOE，OBEOEB.BE平分ABC，OBECBE.OEBCBE.OEBC.又C90，AEO90，即OEAC.又OE是O的半徑，AC為O的切線(2)EDBE，BEDC90.又DBEEBC，BDEBEC.，即.BC.AEOC90，AA，AOEABC.，即.AD.14. （2019四川省涼山州8分）如圖，點(diǎn)D是以AB為直徑的O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作O的切線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，E是BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F（1）求證：DF是O的切線；（2）若OBBF

19、，EF4，求AD的長(zhǎng)【分析】（1）連接OD，由AB為O的直徑得BDC90，根據(jù)BEEC知13、由ODOB知24，根據(jù)BC是O的切線得3+490，即1+290，得證；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到F30，BEEF2，求得DEBE2，得到DF6，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到ODOA，求得AADOBOD30，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：（1）如圖，連接OD，BD，AB為O的直徑，ADBBDC90，在RtBDC中，BEEC，DEECBE，13，BC是O的切線，3+490，1+490，又24，1+290，DF為O的切線；（2）OBBF，OF2OD，F(xiàn)30，F(xiàn)BE90，BEEF2，DEBE2，D

20、F6，F(xiàn)30，ODF90，F(xiàn)OD60，ODOA，AADOBOD30，AF，ADDF615. （2019湖北省鄂州市）（10分）如圖，PA是O的切線，切點(diǎn)為A，AC是O的直徑，連接OP交O于E過(guò)A點(diǎn)作ABPO于點(diǎn)D，交O于B，連接BC，PB（1）求證：PB是O的切線；（2）求證：E為PAB的內(nèi)心；（3）若cosPAB，BC1，求PO的長(zhǎng)【分析】（1）連結(jié)OB，根據(jù)圓周角定理得到ABC90，證明AOPBOP，得到OBPOAP，根據(jù)切線的判定定理證明；（2）連結(jié)AE，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到PAE+OAE90，證明EA平分PAD，根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念證明即可；（3）根據(jù)余弦的定義求出OA，證明PAO

21、ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可【解答】（1）證明：連結(jié)OB，AC為O的直徑，ABC90，ABPO，POBCAOPC，POBOBC，OBOC，OBCC，AOPPOB，在AOP和BOP中，AOPBOP（SAS），OBPOAP，PA為O的切線，OAP90，OBP90，PB是O的切線；（2）證明：連結(jié)AE，PA為O的切線，PAE+OAE90，ADED，EAD+AED90，OEOA，OAEAED，PAEDAE，即EA平分PAD，PA、PD為O的切線，PD平分APBE為PAB的內(nèi)心；（3）解：PAB+BAC90，C+BAC90，PABC，cosCcosPAB，在RtABC中，cosC，AC，AO，PAOABC，PO520