七年級數(shù)學(xué)下冊 培優(yōu)新幫手 專題23 與角相關(guān)的問題試題 （新版）新人教版

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1、 23 與角相關(guān)的問題 閱讀與思考 角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角. 角既可以看成有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形. 按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角. 由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，但兩角的和是一個直角或是一個平角的角仍然得到我們的特別關(guān)注. 兩角之和為直角的，這兩個角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個角叫做互為補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角的概念及其應(yīng)用在幾何計(jì)算和證明中都有十分重要的地位. 解與角有關(guān)的問題常用到以下知識與方法： 1. 角的分類； 2. 角平分線的概念；

2、 3. 互余、互補(bǔ)等數(shù)量關(guān)系角； 4. 用方程的觀點(diǎn)來進(jìn)行角的計(jì)算. 例題與求解 【例1】如圖，在3×3的網(wǎng)格上標(biāo)出了∠1和∠2，則 . （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：對圖形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚?，通過拼補(bǔ)求出的值. 【例2】如果與互補(bǔ)，且，則下列表示的余角的式子中：①；②；③；④. 其中正確的有（ ） A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 （2013年浙江省衢江市數(shù)學(xué)競賽試題） 解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數(shù)量關(guān)系即可，而與位置無關(guān). 【例3】已知，O

3、C是不在直線OA，OB上的任一條射線. OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC. 求∠MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角） （湖北省武漢市武昌區(qū)調(diào)考試題） 解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關(guān)鍵. 【例4】鐘表在12點(diǎn)鐘時三針重合，經(jīng)過x分鐘秒針第一次將分鐘和時針?biāo)鶌A的銳角平分，求x的值. （湖北省黃岡市競賽試題） 解題思路：把秒針第一次將分鐘和時針?biāo)鶌A的銳角平分所得的兩個角用x的代數(shù)式表示，通過解方程求出x的值. 【例5】（1）現(xiàn)有一個19°的“模板”（如圖），請你設(shè)計(jì)一種辦法，只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來.

4、 （2）現(xiàn)有一個17°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1°的角來？ （3）用一個21°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1°的角來？ 對（2）（3）兩問，如果能，請你簡述畫法步驟；如果不能，請你說明理由. （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：若只連續(xù)使用模板，則得到的是一個19°（或17°或21°）的整數(shù)倍的角，其實(shí)，解題的關(guān)鍵是在于能否找到19°（或17°或21°）的一個倍數(shù)與某個特殊角的某個倍數(shù)相差1°. 【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC. （1）如圖①，若，求∠DOE的度數(shù)； （2）在圖①中，若，直接

5、寫出∠DOE的度數(shù) （用含α的代數(shù)式表示）； （3）將圖①中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置. ① 探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由； ② 在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由 圖 ① 圖 ② （湖北省武漢市模擬試題） 解題思路：（1）利用互余、互補(bǔ)關(guān)系易求出∠DOE的度數(shù)； （2）先根據(jù)∠DOE與∠COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后用∠BOC

6、表示出∠COE，再根據(jù)互補(bǔ)角的關(guān)系用α表示出所求角的度數(shù)； （3）①可設(shè)∠BOC為一個未知數(shù)，分別表示出∠AOC與∠DOE，可得相應(yīng)關(guān)系；②結(jié)合①把所給等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可. 能力訓(xùn)練 A 級 1. 已知一個角的補(bǔ)角等于這個角余角的6倍，那么這個角等于 . （“祖沖之杯”邀請賽試題） 2. 如圖，，，那么不大于90°的角有 個，它們的度數(shù)之和是 . （“希望杯”邀請賽試題） 3. 如圖，，若，則等于 . 4. 如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，，，OE平分∠BOD，則圖中

7、彼此互補(bǔ)的角有 對. （北京市“迎春杯”競賽試題） 5. 一個角的補(bǔ)角的是6°，則這個角是（ ） A. 68° B. 78° C. 88° D. 98° （“希望杯”邀請賽試題） 6. 用一副三角板可以畫出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）種 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 如圖，若，∠1是銳角，則∠1的余角是（ ） A. B. C. D. （甘肅省蘭州市競賽試題）

8、 8. 如圖，，OD是∠COB的平分線，OE是∠AOC的平分線，設(shè)，則與α的余角相等的角是（ ） A.∠COD B.∠COE C.∠DOA D.∠COA 9. 如圖，已知，OD平分∠AOB，且，求∠AOB的度數(shù). （北京市“迎春杯”競賽試題） 10. 如圖，已知∠AOB與∠BOC互為補(bǔ)角，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內(nèi)，，. 求∠EOC的度數(shù). 11. 已知，OC平分∠AOB，，OE平分∠COD. 求∠AOE的大小. 12. 如圖，已知OB，OC，OD為∠AOE內(nèi)三條射線. （1）圖中共有多

9、少個角？ （2）若OB，OC，OD為∠AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400°，求∠AOE的度數(shù). （3）若，，求圖中所有銳角的和. B 級 1. 已知一個角的補(bǔ)角比這個角余角的3倍大10°，則這個角的度數(shù)是 . （浙江省杭州市競賽試題） 2. α，β，γ中有兩個銳角和一個鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算的值時，有三位同學(xué)分別算出了23°，24°，25°這三個不同的結(jié)果. 其中只有一個是正確的答案，則 . （江蘇省競賽試題） 3. 如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這

10、個圖形中，不大于平角的角共有 個. （五城市聯(lián)賽試題） 4. 如圖，射線OC，OD，OE，OF分別平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若，則 . （2013年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題） 5. 4點(diǎn)鐘后，從時針到分針第二次成90°角，共經(jīng)過（ ）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)） A. 60 B. 30 C. 40 D. 33 （“五羊杯”競賽試題） 6. 如圖是一個3×3的正方形，則圖中的和等于（ ） A. 270° B. 315°

11、 C. 360° D. 405° （廣西省競賽試題） 7. 已知，OM，ON，OP分別是∠AOB，∠BOC，∠AOC的平分線，則下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D.以上情況都有可能 8. 如圖，∠AOC是直角，，且OB，OD分別是∠AOC，∠BOE的平分線，則∠AOE等于（ ） A. 111.5° B. 138° C. 134.5° D. 178° （五城市聯(lián)賽試題） 9. 如圖，在直線AB上取一點(diǎn)O，在AB同側(cè)引射線OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BO

12、E互余，射線OF和OD分別平分∠COE和∠BOE. 求證：. 10. 如圖，∠A1OA11是一個平角， . 求的度數(shù). （山東省競賽試題） 11. 在一個圓形時鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的選擇中心）. 若現(xiàn)在時間恰好是12點(diǎn)整，問經(jīng)過多少秒后，△OAB的面積第一次達(dá)到最大？ （“CASIO杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題） 專題23 與角相關(guān)的問題 例1 45° 提示：如圖，通過拼補(bǔ)得∠1+∠2=45°. 例2．B 提示：①（90°－∠）+∠=90°符合； ②（∠－90°）+∠=∠+∠－90°=180°－90°=90°符合； ③ ④符合

13、. 故①②④能表示的余角. 13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC， ∴∠AOM=∠COM=，∠CON=∠BON= （1）如圖①，若OC在∠AOB內(nèi)，設(shè)∠BOC=x，則 圖? 圖? 圖? 例6 （1），，且與互為相反數(shù)。 且。，，即， （2）有兩種情況，如圖?? 當(dāng)在上時， ；當(dāng)在的延長線上時， ，綜上可 知， （3） 作圖如圖?，結(jié)論?正確，設(shè)，則

14、， ，當(dāng)然對于?我們也不難找出其值不為 定值的原因。，變化，其值也變化 A級 1 或 提示：當(dāng)，在點(diǎn)兩側(cè)時，；當(dāng)，在同一側(cè) 時， 2 20 3 41.6 提示：所有線段長度總和為∠AOC＝80°－x，∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40°． （2）如圖②，若OC在A′OB內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝80°＋x． ∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝40°． （3）如圖③，若OC在∠A′OB′內(nèi)，設(shè)∠BOC ＝x，則 ∠AOC＝280°－x． ∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝140°． （4）如圖④，若OC在

15、∠AOB′內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝x－80°． ∴∠MON＝∠NOC－∠MOC＝40°．綜上所述：∠MON＝40°或 140°． 例4 x＝ 提示：顯然x的值大于1小于2， 依題意得6x－360(x—1)＝360(x—1)—0. 5x． 例5 提示：設(shè)“模板”角度為α，假設(shè)可由k個α角與t個 180°角畫出1°的角來，即k，t滿足等式kα－180t＝1． （1）當(dāng)α＝19°時，取k＝19，t＝2，即用模板連續(xù)畫出19個19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角， 即得1°的角． （2）當(dāng)α＝17°時，即17k一180t＝1，此時，k＝53，

16、t＝5是一組解，即用模板連續(xù)畫53個17°的角，得到901°的角，除去兩個周角和一個平角，即得1°的角． （3）當(dāng)α＝21°時，即21k—180t＝1無整數(shù)解，不能用21°的模板與鉛筆畫出1°的角． 例6 (1) ∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－30°＝150°． 又∵QE 平分∠BOC，∠COE＝∠BOC＝75°， ∠DOE＝90°－75°＝15°． （2）∠DOE＝90°－＝α． （3）①∠AOC＝180°－2∠COE＝180°—2(90°—∠DOE)＝2∠DOE；②設(shè)∠DOE＝x，∠AOF＝y(tǒng)．則 ∠AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y．2∠B

17、OE＋∠AOF＝2∠COE＋∠AOF＝2 ( 90°—∠DOE) ＋∠AOF＝2 ( 90°一 x )＋y＝180°一2x＋y．故 2x—4y＝180°—2x ＋y，即 4x—5y＝180°．所以 4∠DOE－5∠AOF＝180°． A級 1．72° 2．10 450° 提示：一共有10個角，其中∠AOE＝90°， ∠BOD＝45°，∠AOB十∠BOE＝90°，∠AOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠DOE＝90°，∠BOC＋∠COD＝45°．故這10個角的度數(shù)和為90°×4＋45°×2＝360°＋90＝450°． 3．30 4．6 提示：∠AOC 和∠BOC，∠AO

18、D 和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE 和∠DOE ，∠AOE和∠COD，∠AOD 和∠COE． 5．B 6．A 7．C 8．B 9．114° 提示：設(shè)∠AOC＝x°，是∠BOC＝2x°，∠AOD＝(x)°，∠COD＝(x)°，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝114° 10．設(shè)∠AOD＝∠BOD＝x，則∠BOC＝180°—2x． 又∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180°－2x)． 又∵∠BOD＋∠BOE＝∠DOE＝72°，∴x＋(180°－2x)＝72°，解得x＝36°． 則∠EOC＝∠BOC＝(180°—2x)＝72°． 11．（1

19、）如圖①，若 OD在∠A′OB 內(nèi)時，∵∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COE＝∠DOE＝∠COD＝30°，∴∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝70°． （2）如圖②，若OD在∠AOB′內(nèi)時，同理，∠AOC＝40°，∠OOE＝30°，∴∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10°． 綜上所述：∠AOE＝70°或10°． 12．（1）共有：4＋3＋2＋l＝10 個角． （2）∠AOE＝80°． （3）所有銳角度數(shù)和為：416°． B級 1．50° 2．345° 3．15 4．64° 提示：設(shè)∠EOF＝∠COF＝x，則∠AOE＝2

20、x．∴∠BOC＝∠AOC＝2x＋x＋x＝4x，∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝2x，又∵∠FOD＝∠FOC＋∠COD＝x＋2x＝3x＝24°，x＝80°，∴∠AOB＝8x＝64°． 5．D 6．D 沿AB對折，上下圖形能夠完全重合，則∠1＋∠9＝∠4＋∠8＝∠2＋∠6＝90°． 7．B 8．D 9．提示：∠COE＋∠BOE＝90°，∠DOF＝45°，∠AOF＋∠BOD＝135°． 10．由題中條件知∠A3OA2—∠A2OA1＝2°①，∠A4OA3—∠A3OA2＝2° ②，∠A5OA4—∠A4OA3＝2°③，…， ∠A11OA10－∠A10OA9＝2°⑨，以上9個等式相加得∠A11OA10—∠A2 OA1 ＝9×2°＝18°．.即∠A11OA10＝∠A2OA1＋18°．由題設(shè)知，∠A1OA11＝∠A2OA1＋∠A3OA2 ＋∠A4OA3＋…＋∠A11OA10＝(∠A2OA1＋∠A11OA10)×10＝180°． ∴∠A2OA1＋∠A11OA10＝36°，∴∠A11OA10＝27°． 11．經(jīng)過x秒時，OA與OB第一次垂直．由(6－0. 1)x＝90得x＝15． 14