山東省龍口市蘭高鎮(zhèn)2018年中考數(shù)學(xué) 三角形分類訓(xùn)練四 解直角三角形 魯教版

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1、魯教版中考數(shù)學(xué)三角形分類訓(xùn)練四（解直角三角形） 典例詮釋： 考點(diǎn)一 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用 例1 (2016·大興一模)《九章算術(shù)》中記載：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”譯文：有一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？如圖1-10-95，我們用線段OA和線段AB來表示竹子，其中線段AB表示竹子折斷部分，用線段OB表示竹梢觸地處離竹根的距離，則竹子折斷處離地面的高度OA是 尺. 圖1-10-95 【答案】 【名師點(diǎn)評(píng)】 本題是以古代數(shù)學(xué)著作為背景，首先要讀懂題目，哪些線

2、段是已知，哪些線段是未知：OB=3，OA+AB=10，求OA的長，利用勾股定理即可得解. 考點(diǎn)二 求三角函數(shù)值 例2 (2016·延慶一模)如圖1-10-96，在4×4的正方形網(wǎng)格中，tan α的值等于( ) 圖1-10-96 A.2 B. C. D. 【答案】 A 【名師點(diǎn)評(píng)】求三角函數(shù)方法較多，解法靈活，在具體的解題中要根據(jù)已知條件采取靈活的計(jì)算方法．常用的方法有：①根據(jù)特殊的三角函數(shù)值求值；②直接應(yīng)用三角函數(shù)定義;③借助變量之間的數(shù)量關(guān)系求值;④根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求值;⑤構(gòu)造直角三角形求值. 例3 (2016·懷柔二模)如圖1-10-97，在

3、地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹頂B的仰角為α度，AC=7米，則樹高BC為( ) 圖1-10-97 A．7sin α米 B．7cos α米 C．7tan α米 D．(7+α)米 【答案】 C 【名師點(diǎn)評(píng)】 此題考查三角函數(shù)的定義和仰角的知識(shí)，已知∠A、AC，求BC，利用∠A的正切值即可. 考點(diǎn)三 特殊三角函數(shù)值的計(jì)算 例4 (2016·懷柔一模)2sin 45°－． 【答案】 2 【名師點(diǎn)評(píng)】 此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是關(guān)鍵，另外要求我們熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值． 考點(diǎn)四 解直角三角形 例5 如圖1-10-9

4、8，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的長. 圖1-10-98 【答案】 3+ 【名師點(diǎn)評(píng)】 將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形是解決三角形中有關(guān)計(jì)算的重要思想方法，解決的方法是作三角形的高． 例6 (2016·東城二模)如圖1-10-99，矩形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD于點(diǎn)E． (1)求證：∠BAM=∠AEF； (2)若AB=4，AD=6，cos∠BAM=，求DE的長. 圖1-10-99 (1)【證明】 ∵ 四邊形ABCD是矩形， ∴ ∠B=∠BAD=90°. ∵ EF⊥AM，∴ ∠AFE=∠

5、B=∠BAD=90°. ∴ ∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°. ∴ ∠BAM=∠AEF. (2)【解】 在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=4，cos∠BAM=，∴ AM=5. ∵ F為AM中點(diǎn)，∴ AF=. ∵ ∠BAM=∠AEF，∴ cos∠BAM=cos∠AEF=.∴ sin∠AEF=. 在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=，sin∠AEF=， ∴ AE=，∴ DE=AD－AE=6－=. 【名師點(diǎn)評(píng)】 (1)通過“同角的余角相等”易證；(2)在△ABM中，知AB和∠BAM的余弦值可以得到AM的長，再利用相似或三角函數(shù)求AE的長，從而求出DE的長

6、. 考點(diǎn)五 解直角三角形的應(yīng)用 例7 (2016·門頭溝一模)如圖1-10-100，A，B，C表示修建在一座山上的三個(gè)纜車站的位置，AB，BC表示連接纜車站的鋼纜．已知A，B，C所處位置的海拔，，分別為130米，400米，1 000米．由點(diǎn) A測(cè)得點(diǎn)B的仰角為30°，由點(diǎn)B測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45°，那么AB和BC的總長度是( ) 圖1-10-100 A.1 200+270 B.800+270 C.540+600 D.800+600 【答案】 C 基礎(chǔ)精練： 1.(2016·平谷一模)在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今

7、有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？”這個(gè)數(shù)學(xué)問題的意思是說：“有一個(gè)邊長為1丈(1丈=10尺)的正方形水池，在水池正中央長有一根蘆葦，蘆葦露出水面 1 尺．如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面．請(qǐng)問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？”如圖1-10-101，設(shè)這個(gè)水池的深度是x尺，根據(jù)題意，可列方程為 ． 圖1-10-101 【答案】 2.(2016·順義一模)《算法統(tǒng)綜》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大偉，在《算法統(tǒng)綜》有一道“蕩秋千”的問題:“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺

8、人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？” 譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”如圖1-10-102，設(shè)秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可列方程 . 【答案】 圖1-10-102 3.如圖1-10-103，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行 米． 圖1-10-103 【答案】 10 4.(2016·通州

9、一模)在我國古算書《周髀算經(jīng)》中記載周公與商高的談話，其中就有勾股定理的最早文字記錄，即“勾三股四弦五”，亦被稱作商高定理. 如圖1-10-104是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理. 圖1-10-105是由圖1-10-104放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，那么矩形KLMJ的面積為 . 圖1-10-104 圖1-10-105 【答案】 110 6.(2016·豐臺(tái)二模)如圖1-10-106所示，河堤橫斷面迎

10、水坡AB的坡角是30°，堤高BC= 5 m，則坡面AB的長度是( ) 圖1-10-106 A.10 m B.10 m C.15 m D.5 m 【答案】 A 7.(2016·平谷二模)如圖1-10-107，為測(cè)量一棵與地面垂直的樹BC的高度，在距離樹的底端4米的A處，測(cè)得樹頂B的仰角∠α=74°，則樹BC的高度為( ) 圖1-10-107 A.米 B.4sin 74°米 C.4tan 74°米 D.4cos 74°米 【答案】 C 8.(2016·西城一模)某滑雪場(chǎng)舉辦冰雪嘉年

11、華活動(dòng)，采用直升機(jī)航拍技術(shù)拍攝活動(dòng)盛況．如圖1-10-108，通過直升機(jī)的鏡頭C觀測(cè)水平雪道一端A處的俯角為30°，另一端B處的俯角為45°．若直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為300米，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，則雪道AB的長度為( ) 圖1-10-108 A．300米 B．1 502米 C．900米 D．(300+300)米 【答案】 D 9.(2016·順義二模)如圖1-10-109，為了使電線桿穩(wěn)固的垂直于地面，兩側(cè)常用拉緊的鋼絲繩索固定，由于鋼絲繩的交點(diǎn)E在電線桿的上三分之一處，所以知道BE的高度就可以知道電線桿AB的高度了．要想得到BE的高度，需要測(cè)量出一些數(shù)據(jù)，

12、然后通過計(jì)算得出. 請(qǐng)你設(shè)計(jì)出要測(cè)量的對(duì)象： ； 請(qǐng)你寫出計(jì)算AB高度的思路： . 圖1-10-109 【解】 ∠BCE和線段BC； 思路：①在Rt△BCE中，由tan∠BCE=，求出BE=BC·tan∠BCE， ②由AE=AB，可求得BE=AB，AB=BE=BC·tan∠BCE． 10.(2016·延慶一模)如圖1-10-110，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A處，沿AP方向以每小時(shí)15海里的速度勻速駛向港口P．乙船從港口P出發(fā)，沿南偏

13、東45°方向勻速駛離港口P，現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，2小時(shí)后乙船在甲船的正東方向．求乙船的航行速度．(結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236) 圖1-10-110 【解】 依題意，設(shè)乙船速度為每小時(shí)x海里，2小時(shí)后甲船在點(diǎn)B處，乙船在點(diǎn)C處，PC=2x， 如圖1-10-111,過P作PD⊥BC于D，∴ BP=86－2×15=56. 圖1-10-111 在Rt△PDB中，∠PDB=90°,∠BPD=60°，∴ PD=PB·cos 60°=28. 在Rt△PDC中，∠PDC=90°，∠DPC=45°， ∴ PD=PC·cos 45

14、°=·2x=x，∴ x=28，即x=14≈20． 答：乙船的航行速度為每小時(shí)20海里． 11.(2016·通州二模)如圖1-10-112，在ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，EF∥AD，請(qǐng)直接寫出與AE相等的線段 (兩條即可)，寫出滿足勾股定理的等式 .(一組即可) 圖1-10-112 【答案】 AD，DF 12.(2011·平谷二模)已知：如圖1-10-113，∠ACB=90°，AC=BC , AD = BE, ∠CAD=∠CBE, (1)判斷△DCE的形狀，并說明你的理由； (2)當(dāng)BD∶CD=1∶

15、2，∠BDC=135°時(shí)，求sin∠BED的值. 圖1-10-113 【解】 (1)如圖1-10-114. 圖1-10-114 ∵ AC=BC,AD=BE,∠CAD=∠CBE, ∴ △ADC≌△BEC,∴ DC=EC,∠1=∠2. ∵ ∠1+∠BCD=90°，∴ ∠2+∠BCD=90°. ∴ △DCE是等腰直角三角形. (2)∵ △DCE是等腰直角三角形，∴ ∠CDE=45°. ∵ ∠BDC=135°，∴ ∠BDE=90°. ∵ BD∶CD=1∶2, 設(shè)BD=x，則CD=2x，DE=2x，BE=3x.∴ sin∠BED==. 13.如圖1-1

16、0-115所示，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點(diǎn)上，則∠AED的正切值等于 ． 圖1-10-115 【答案】 14.(2014·豐臺(tái)二模)將兩個(gè)直角三角板按圖1-10-116中方式疊放，BC=4，那么BD= . 圖1-10-116 【答案】 2 15.(2014·石景山一模)如圖1-10-117，在四邊形ABCD中，AB=2,∠A=∠C=60°,DB⊥AB于點(diǎn)B，∠DBC=45°，求BC的長. 圖1-10-117 【解】 如圖1-10-118,過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E. 圖

17、1-10-118 ∵ DB⊥AB,AB=2，∠A=60°，∴ BD=AB·tan 60°=2. ∵ ∠DBC=45°，DE⊥BC，∴ BE=DE=BD·sin 45°=. ∵ ∠C=∠A=60°，∠DEC=90°，∴ CE==，∴ BC=+. 16.(2014·昌平一模)如圖1-10-119，已知：BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=3+，CD=2. (1)求tan∠ABD的值； (2)求AD的長. 圖1-10-119 【解】 (1)如圖1-10-120,作DE⊥BC于點(diǎn)E. ∵ 在Rt△CDE中，∠C=60°，CD=2， ∴ C

18、E=,DE=3. ∵ BC=3+，∴ BE=BC－CE=3+=3. ∴ DE=BE=3. ∴ 在Rt△BDE中，∠EDB=∠EBD=45°. ∵ AB⊥BC，∠ABC=90°， ∴ ∠ABD=∠ABC－∠EBD=45°.∴ tan∠ABD=1. 圖1-10-120 (2)如圖1-10-120,作AF⊥BD于點(diǎn)F. 在Rt△ABF中，∠ABF=45°,AB=1，∴ BF=AF=. ∵ 在Rt△BDE中，DE=BE=3， ∴ BD=3.∴ DF=BD－BF=3=. ∴ 在Rt△AFD中，AD==. 17.(2016·西城一模)如圖1-10-121，在ABCD中，過點(diǎn)A

19、作AE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥EA交BA的延長線于點(diǎn)F． (1)求證：四邊形AEDF是矩形； (2)連接BD，若AB=AE=2，tan∠FAD=，求BD的長． 圖1-10-121 (1)【證明】 ∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，∴ AB∥DC，即AF∥ED. ∵ DF∥EA,∴ 四邊形AEDF是平行四邊形. ∵ AE⊥DE，∴ ∠E=90°，∴ 四邊形AEDF是矩形. (2)【解】 如圖1-10-122. 圖1-10-122 ∵ 四邊形AEDF是矩形，∴ FD=AE=2，∠F=90°. ∵ 在Rt△AFD中，tan∠FAD==，∴ AF=

20、5. ∵ AB=2，∴ BF=AB+AF=7. ∴ 在Rt△BFD中，BD==. 真題演練： 1.(2016·北京)計(jì)算：+4sin 45°－+|1－|. 【答案】 2.(2012·北京)如圖1-10-123，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.求CD的長和四邊形ABCD的面積. 圖1-10-123 【解】 如圖1-10-124,過點(diǎn)D作DH⊥AC， 圖1-10-124 ∵ ∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴ EH=DH=1. 又∵ ∠DCE=30°，∴ HC=，DC=2. ∵ ∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴ AB=AE=2， ∴ AC=2+1+=3+， ∴ =×2×(3+)+×1×(3+)=. 11