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1、-博弈論:原理、模型與教程 第一局部 完全信息靜態(tài)博弈第2章 Nash 均衡第2.1節(jié) 占優(yōu)行為第2.2節(jié) 重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為第2.3節(jié) Nash均衡2.2 重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為已精細(xì)訂正!1、定義2-3 【例2-3】【例2-4】【例2-5】2、定義2-4 在囚徒困境中,坦白是小偷的占優(yōu)戰(zhàn)略,也就是說(shuō),相對(duì)于戰(zhàn)略抵賴,坦白在任何情況下都是小偷的最優(yōu)選擇。因此,小偷只會(huì)選擇戰(zhàn)略坦白。反過(guò)來(lái)也可以這么理解:相對(duì)于戰(zhàn)略坦白,小偷選擇抵賴所得到的支付都要小于選擇坦白所的得到的。既然選擇抵賴的所得總是小于選擇坦白的所得,小偷當(dāng)然就不會(huì)選擇抵賴,這也就相當(dāng)于小偷將戰(zhàn)略抵賴從自己的選擇中剔除掉了。考察更一般的
2、人博弈情形。在人博弈中,如果存在參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略,則他在博弈中的戰(zhàn)略選擇問(wèn)題就很簡(jiǎn)單:選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。但在大多數(shù)博弈問(wèn)題中,參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略并不存在。雖然不存在占優(yōu)戰(zhàn)略,但在*些博弈問(wèn)題中,參與人在對(duì)自己的戰(zhàn)略進(jìn)展比較時(shí),可能會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的情形:存在兩個(gè)戰(zhàn)略和,雖然不是占優(yōu)戰(zhàn)略,但與相比,自己在任何情況下選擇的所得都要大于選擇的所得。在這種情況下,理性參與人的選擇又有什么樣的特點(diǎn)呢.雖然不能確定參與人最終會(huì)選擇什么樣的戰(zhàn)略,但可以肯定的是,理性參與人絕對(duì)不會(huì)選擇戰(zhàn)略。因?yàn)閰⑴c人選擇戰(zhàn)略,還不如直接選擇戰(zhàn)略因?yàn)閰⑴c人在任何情況下選擇的所得都要大于選擇的所得。定義2-3 在人博弈中,如對(duì)于參與人,存在
3、戰(zhàn)略,對(duì),有則稱戰(zhàn)略為參與人的劣戰(zhàn)略,或者說(shuō)戰(zhàn)略相對(duì)于戰(zhàn)略占優(yōu)。在博弈中,如果戰(zhàn)略是參與人劣戰(zhàn)略,則參與人肯定不會(huì)選擇戰(zhàn)略。這也是相當(dāng)于參與人將戰(zhàn)略從自己的戰(zhàn)略集剔除掉,直接從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。參與人的這種選擇行為稱之為剔除劣戰(zhàn)略行為。剔除劣行為也是理性參與人選擇行為的根本特征之一??疾鞈?zhàn)略式博弈。如果戰(zhàn)略是參與人的劣戰(zhàn)略 ,則參與人將只會(huì)從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。令,構(gòu)造一個(gè)新的戰(zhàn)略式博弈。此時(shí),對(duì)戰(zhàn)略式博弈的求解問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)的求解?!纠?-3】 考察圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈,其中參與人1有兩個(gè)戰(zhàn)略和,參與人2有三個(gè)戰(zhàn)略,和。 1,0 參與人1 3,2 1,1 2,2 2,0 0,
4、1 圖2-4 戰(zhàn)略式博弈參與人2從圖2-4中可以看出:戰(zhàn)略相對(duì)于戰(zhàn)略占優(yōu),也就是說(shuō)是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此,對(duì)圖2-4中博弈問(wèn)題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)圖2-5中博弈的求解。 1,0 參與人1 3,2 2,2 0,1 圖2-5 戰(zhàn)略式博弈參與人2遵循上面的求解思路,如果在新構(gòu)造出來(lái)的戰(zhàn)略式博弈中,存在參與人的*個(gè)劣戰(zhàn)略,則又可以構(gòu)造出一個(gè)新的戰(zhàn)略式博弈,其中參與人的戰(zhàn)略集為。此時(shí),對(duì)戰(zhàn)略式博弈的求解問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)的求解。而參與人的這種不斷剔除劣戰(zhàn)略的行為稱為重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為?!纠?-4】 考察圖2-6中的戰(zhàn)略式博弈,其中參與人1有三個(gè)博弈,和,參與人2有三個(gè)戰(zhàn)略,和。 1,0 參與人1 3,
5、2 1,1 3,2 2,0 2,1 圖2-6 戰(zhàn)略式博弈參與人2 2,1 1,3 3,2從圖2-6中可以看出:戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此,對(duì)圖2-6中博弈問(wèn)題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)圖2-7中博弈的求解。 1,0 參與人1 3,3 3,2 2,1 圖2-7 戰(zhàn)略式博弈參與人22,1 1,3從圖2-7中又可以看出:戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此,對(duì)圖2-7中博弈問(wèn)題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)圖2-8中博弈的求解。也就是對(duì)圖2-6中原博弈問(wèn)題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)圖2-8中博弈的求解。 1,0 參與人1 3,2 3,2 2,1 圖2-8 戰(zhàn)略式博弈參與人2如果以上重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略的過(guò)程可以不斷進(jìn)展下去,直到新構(gòu)
6、造出來(lái)的博弈中每個(gè)參與人都只有一個(gè)戰(zhàn)略,則由所有的參與人剩下的唯一戰(zhàn)略所構(gòu)成的戰(zhàn)略組合就是原博弈問(wèn)題的解,稱之為重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡。此時(shí),也稱原博弈問(wèn)題是重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的?!纠?-5】 考察圖2-9中的戰(zhàn)略式博弈,其中參與人1有三個(gè)戰(zhàn)略、和,參與人2有三個(gè)戰(zhàn)略,和。 1,0 參與人1 3,1 1,1 3,3 2,0 2,2 圖2-9 戰(zhàn)略式博弈參與人2 2,4 1,3 3,2從圖2-9中可以看出:戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此,對(duì)圖2-9中博弈問(wèn)題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)圖2-10中博弈的求解。從圖2-10中又可以看出:戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此,對(duì)圖2-10中博弈問(wèn)題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)圖2
7、-11中博弈的求解。 1,0 參與人1 3,1 3,3 2,2 圖2-10 戰(zhàn)略式博弈參與人22,4 1,3 1,0 參與人1 3,1 3,3 2,2 圖2-11 戰(zhàn)略式博弈 參與人2從圖2-11中又可以看出:戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此,對(duì)圖2-11中博弈問(wèn)題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)圖2-12中博弈的求解。 3,3參與人1 2,2圖2-12 戰(zhàn)略式博弈參與人2在圖2-12中,參與人2只有一個(gè)戰(zhàn)略,參與人1選擇戰(zhàn)略,因此原博弈問(wèn)題的解為戰(zhàn)略組合。而就是所謂的重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡。在*些博弈問(wèn)題中,參與人在對(duì)自己的戰(zhàn)略進(jìn)展比較時(shí),還可能會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的情形:存在兩個(gè)戰(zhàn)略和,與相比,雖然選擇的所得并不一定總
8、是大于選擇的所得,但自己在任何情況下選擇的所得都不會(huì)比選擇的所得小,而且在*些情況下選擇的所得嚴(yán)格大于選擇的所得。顯然,在這種情況下,理性的參與人將戰(zhàn)略從自己的選擇中剔除掉也是有道理的。與定義2-3中所定義的劣戰(zhàn)略相仿,稱戰(zhàn)略、為參與人的弱劣戰(zhàn)略。定義2-4 在人博弈中,如果對(duì)于參與人,存在戰(zhàn)略,對(duì),有且,使得則稱戰(zhàn)略為參與人的弱劣戰(zhàn)略,或者說(shuō)戰(zhàn)略相對(duì)于戰(zhàn)略弱占優(yōu)。有時(shí)為了表述方便,也將定義2-3所定義的劣戰(zhàn)略稱為嚴(yán)格劣戰(zhàn)略,而將弱劣戰(zhàn)略和嚴(yán)格劣戰(zhàn)略統(tǒng)稱為劣戰(zhàn)略。與重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的思路一樣,也可以采用重復(fù)剔除弱劣戰(zhàn)略的方法來(lái)求解博弈問(wèn)題。但需要注意的是,在重復(fù)剔除的過(guò)程中,如果每次可以剔除
9、的劣戰(zhàn)略包括嚴(yán)格劣戰(zhàn)略和弱劣戰(zhàn)略不只一個(gè),則各個(gè)劣戰(zhàn)略剔除的順序不同,得到的博弈結(jié)果就有可能不同。除非每次剔除的都是嚴(yán)格列戰(zhàn)略。下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。重點(diǎn)!考察圖2-13中的戰(zhàn)略式博弈。在圖2-13中,和是參與人2的劣戰(zhàn)略。 參與人1 3,33,11,21,12,02,0 圖2-13 戰(zhàn)略式博弈參與人23,41,33,2如果首先剔除劣戰(zhàn)略,則在新博弈中,戰(zhàn)略成為弱劣戰(zhàn)略,如果再剔除,則博弈的結(jié)果為戰(zhàn)略組合;如果首先剔除劣戰(zhàn)略,則在新博弈中,戰(zhàn)略成為弱劣戰(zhàn)略,如果再剔除,則博弈的結(jié)果為戰(zhàn)略組合。造成博弈結(jié)果不同的原因在于:在原博弈中,和原本互不占優(yōu),但是如果先剔除,則相對(duì)于弱占優(yōu),就可
10、能因此被剔除掉;如果先剔除掉,則相對(duì)于弱占優(yōu),就可能因此被剔除掉。因此,當(dāng)和的剔除順序不同時(shí),參與人1保存下來(lái)的戰(zhàn)略就可能不同。但是,如果只允許剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略,則無(wú)論是先剔除還是,得到的博弈結(jié)果都是戰(zhàn)略組合和。為了進(jìn)一步說(shuō)明問(wèn)題,考察圖2-14中戰(zhàn)略式博弈,圖2-14 中博弈與圖2-13中博弈的不同之處僅在于戰(zhàn)略組合下參與人1的支付不同。參與人1 4,33,11,21,12,02,0圖2-14 戰(zhàn)略式博弈參與人23,41,33,2在圖2-14中,和也是互不占優(yōu)。但是,在剔除劣戰(zhàn)略和的過(guò)程中,無(wú)論是先剔除還是,只會(huì)出現(xiàn)相對(duì)于占優(yōu)的情形,而不會(huì)出現(xiàn)相對(duì)于占優(yōu)或弱占優(yōu)的情形。因此,無(wú)論剔除劣戰(zhàn)略的順
11、序如何,博弈的結(jié)果都是戰(zhàn)略組合。前面一再提到博弈分析是在假設(shè)博弈問(wèn)題的構(gòu)造和參與人完全理性為共同知識(shí)的前提下進(jìn)展的,現(xiàn)在分析如果沒(méi)有這樣的假設(shè),所得到的博弈問(wèn)題的解占優(yōu)戰(zhàn)略均衡和重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡是否存在。當(dāng)參與人理性時(shí),如果參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略,則無(wú)論其他參與人是否理性或者是否知道他是理性的,他都會(huì)選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。因此,如果博弈中存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡且所有的參與人都理性,則博弈的結(jié)果就是占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。也就是說(shuō),不需要完全理性為共同知識(shí)就可確保占優(yōu)戰(zhàn)略均衡為博弈的結(jié)果。但是,必須清楚:存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡的博弈絕對(duì)只是博弈問(wèn)題中的極少數(shù),在大多數(shù)情況下占優(yōu)戰(zhàn)略均衡是不存在的。更重要的是,如果僅僅假設(shè)參與人是
12、理性的,就會(huì)發(fā)現(xiàn)及時(shí)博弈問(wèn)題是重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的,也無(wú)法保證博弈的結(jié)果就是重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡,這是因?yàn)椋涸谥貜?fù)剔除過(guò)程的每一步中,如果只假設(shè)參與人理性,則只能確保參與人將其劣戰(zhàn)略剔除掉;而如果其他參與人不知道他是理性的,就不能確保其他參與人知道他已將劣戰(zhàn)略剔除掉。在這種情況下,就不能講原博弈問(wèn)題轉(zhuǎn)換為新的博弈問(wèn)題,也就是說(shuō),雖然剔除劣戰(zhàn)略行為是理性參與人選擇行為的根本特征,但如果僅僅假設(shè)參與人理性是不能確保重復(fù)剔除的。在例2-3中,如果參與人1不知道參與人2的理性的,他就不知道自己面臨的博弈問(wèn)題已由圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈轉(zhuǎn)換為圖2-5中的博弈。同樣,如果參與人2不知道參與人1知道自己是理性的
13、,圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈也不能轉(zhuǎn)換為圖2-5中的博弈。在例2-4中,要確保圖2-6的中博弈轉(zhuǎn)換為圖2-8中的博弈,就必須要求每個(gè)參與人都知道博弈問(wèn)題轉(zhuǎn)換的每一步即每一次剔除劣戰(zhàn)略,而且還要知道其他參與人知道博弈問(wèn)題轉(zhuǎn)換的每一步。具體講就是:1參與人2是理性;2參與人1知道到參與人2理性,參與人2知道參與人1知道到參與人2理性;3參與人1是理性,參與人2知道到參與人1理性,參與人1知道參與人2知道到參與人1理性。而在例2-5中,對(duì)參與人理性假設(shè)的要求就更為復(fù)雜,除了例2-4中所要求的以上3點(diǎn)外,對(duì)理性還有進(jìn)一步的要求。所以,隨著博弈中參與人人數(shù)的增加及參與人戰(zhàn)略空間的增大,重復(fù)剔除的過(guò)程就會(huì)越來(lái)越復(fù)雜,對(duì)理性假設(shè)的要求也就越來(lái)越高。因此,為了確保博弈分析的順利進(jìn)展,一般都假設(shè)參與人完全理性為共同知識(shí)。基于同樣的理由,也假設(shè)博弈問(wèn)題的構(gòu)造包括參與人的支付為共同知識(shí)。. z.