培優(yōu)專題 勾股定理及應(yīng)用(含解答)-

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1、word 培優(yōu)專題 勾股定理與應(yīng)用 勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠，在西方數(shù)學(xué)史上稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理〞．?dāng)?shù)學(xué)家陳省身說(shuō)過(guò)：“歐幾里德幾何的主要結(jié)論有兩個(gè)，一個(gè)是三角形內(nèi)角和定理，另一個(gè)就是勾股定理．〞數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議把它送入其他星球，作為地球人與其他星球人“交談的語(yǔ)言，用于探索宇宙的奧秘〞． 勾股定理是我們研究和解決幾何問(wèn)題的重要理論依據(jù)之一，也是人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐和生活中廣泛應(yīng)用的根本原理，許多求線段長(zhǎng)、角的大小；線段與線段，角與角，線段與角間的關(guān)系等問(wèn)題，常常都用勾股定理或逆定理來(lái)解決．因此，勾股定理與應(yīng)用是中考競(jìng)賽等考查的重要內(nèi)容． 例1 一直角三角形

2、的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，求這個(gè)三角形的面積． 分析 由斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，易知兩直角邊的和是，又由勾股定理可知兩直角邊的平方和為4，列關(guān)于兩直角邊的方程，只需求出兩直角邊長(zhǎng)的積，即可求得三角形的面積．此題中用到數(shù)學(xué)解題中常用的“設(shè)而不求〞的技巧，要熟練掌握． 解：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，根據(jù)題意列方程得： ①② 即 ②式兩邊同時(shí)平方再減去①式得： 2ab=2， ∴ab=． ∴S=．因此，這個(gè)三角形的面積為． 練習(xí)1 1．：如圖2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，求圖形中陰影局部的

3、面積． 2-1 2．：長(zhǎng)方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，長(zhǎng)方形ABCD的面積為S，沿長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸折疊一次得到一個(gè)新長(zhǎng)方形，求這個(gè)新長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng)． 3．假如線段a、b、c能組成直角三角形，如此它們的比值可以是〔 〕 A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13 例2 如圖2-2，把一X長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊起來(lái)，使其對(duì)角頂點(diǎn)A、C重合，假如其長(zhǎng)BC為a，寬AB為b，如此折疊后不重合局部的面積是多少？ 分析 圖形沿EF折疊后A、C重合，可知四邊形AFED′與四邊形CF

4、ED全等，如此對(duì)應(yīng)邊、角相等，∴AF=FC，且FC=AE，如此△ABF≌△AD′E，由三角形面積公式不難求出不重合局部的面積． 解：∵圖形沿EF折疊后A、C重合， 2-2 ∴四邊形AFED′與CFED關(guān)于EF對(duì)稱， 如此四邊形AFED′≌四邊形CFED． ∴∠AFE=∠CFE． ∴AF=FC，∠D′=∠D=∠B=90° AB=CD=AD′． ∵AD∥BC， ∴∠AEF=∠EFC． ∴∠AEF=∠AFE． 如此AE=AF． ∴Rt△ABF≌Rt△AD′E． 在Rt△ABF中，∵∠B=90°， ∴AB2+BF2=

5、AF2． 設(shè)BF=x，b2+x2=〔a-x〕2， ∴x=． 2-3 ∴S=2S△ABF=2×bx=2×·b·=． 練習(xí)2 1．如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C′的位置上，AB=3，BC=7，重合局部△EBD的面積為_(kāi)_______． ′時(shí)，梯子的底部向外移動(dòng)多少米？ 2-4 2-5 3．如圖2-5，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，假如將該矩形折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，如此折疊后痕跡EF的長(zhǎng)為〔 〕 例3 試判斷，三邊長(zhǎng)分別為2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1〔n為

6、正整數(shù)〕的三角形是否是直角三角形？ 分析 先確定最大邊，再利用勾股定理的判定定理判斷是否為直角三角形． 解：∵n為正整數(shù)， ∴〔2n2+2n+1〕-〔2n2+2n〕 =2n2+2n+1-2n2-2n=1>0， 〔2n2+2n+1〕-〔2n+1〕=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0． ∴2n2+2n+1為三角形中的最大邊． 又〔2n2+2n+1〕2=4n4+8n3+8n2+4n+1， 〔2n2+2n〕2+〔2n+1〕2=4n4+8n3+8n2+4n+1． ∴〔2n2+2n+1〕2=〔2n2+2n〕2+〔2n+1〕2． ∴這個(gè)

7、三角形是直角三角形． 練習(xí)3 1．假如△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，如此△ABC是〔 〕 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 2．如圖2-6，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC，猜測(cè)AF與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 2-6 3．△ABC中的三邊分別是m2-1，2m，m2+1〔m>1〕，那么〔 〕 A．△ABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為m2+1． B．△ABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)

8、為2m． C．△ABC是直角三角形，但斜邊長(zhǎng)由m的大小而定． D．△ABC不是直角三角形． 例4 ：如圖2-7所示，△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，假如AC=12，BC=5，CD=6.5． 求證：△ABC是直角三角形． 分析 欲證△ABC是直角三角形，在兩邊AC、BC的情況下求邊AB的長(zhǎng)，比擬困難；但注意到CD是邊AB的中線，我們延長(zhǎng)CD到E，使DE=CD，從而有△BDE≌△ADC，這樣AC、BC、2CD就作為△BCE的三邊，再用勾股定理的逆定理去判定． 證明：延長(zhǎng)CD到E，使DE=CD，連結(jié)BE． 2-7

9、∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE． ∴△ADC≌△BDE〔SAS〕． ∴BE=AC=12． ∴∠A=∠DBE． ∴AC∥BE． 在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169． CE2=〔2CD〕2=〔2×6.5〕2=169． ∴BC2+BE2=CE2． ∴∠EBC=90°． 又∵AC∥BE， ∴∠ACB=180°-∠EBC=90°． ∴△ABC是直角三角形． 練習(xí)4 1．a(chǎn)、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a2-b2，試判斷△ABC的形狀． 先閱讀如下解題過(guò)程： 解：∵a

10、2c2-b2c2=a4-b4， ① ∴c2〔a2-b2〕=〔a2+b2〕〔a2-b2〕． ② ∴c2=a2+b2． ③ ∴△ABC為直角三角形． ④ 問(wèn)：〔1〕上述推理過(guò)程，出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是________； 〔2〕此題的正確結(jié)論是________． 2．如圖2-8，△ABC的三邊分別為AC=5，BC=12，AB=13，將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，求折痕AD的長(zhǎng)． 3．如圖2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)． 2-9 例

11、5 如圖2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求BD的長(zhǎng)． 分析 假如作AE⊥BC于E，如圖2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt△ADC的直角邊． ∴AD=CD-AC，假如設(shè)DE=x，借助于AD這個(gè)“橋〞可以列出方程． 解：作AE⊥BC于E． 2-10 ∵AB=AC，AE⊥BC， ∴BE=EC=BC=×32=16． 在Rt△AEC中， AE2=AC2-CE2=202-162=144， ∴AE=12． 2-11 設(shè)DE=x，

12、 如此在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=〔16+x〕2-202． ∴144+x2=〔16+x〕2-202 解得x=9． ∴BD=BE-DE=16-9=7． 練習(xí)5 1．如圖2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，MD⊥AB于D． 求證：AD2=AC2+BD2． 2-12 2．如圖2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四邊形ABCD的面積． 2-13 3．如圖2-14．長(zhǎng)方體的高為3cm，底面是正方形，邊

13、長(zhǎng)為2cm，現(xiàn)有繩子從A出發(fā)，沿長(zhǎng)方形外表到達(dá)C處，問(wèn)繩子最短是多少厘米？ 2-14 答案: 練習(xí)1 1．24〔提示：利用勾股定理即可求出〕 2．長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸有2條，要分別討論： 〔1〕以A、B為對(duì)稱點(diǎn)〔如圖〕 ∵S=AB×BC，AB=2， ∴BC=AD=． 根據(jù)對(duì)稱性得DF=AB=1． 由于∠D=90°，據(jù)勾股定理得： AF== 〔2〕以A、D為對(duì)稱點(diǎn)〔如圖〕 ∴BF=BC=． 由∠B=90°，據(jù)勾股定理得： AF==． 3．D 練習(xí)2 1．〔提示：利用Rt△A

14、BE的勾股定理即可求出〕 2．0.8m 3．B 練習(xí)3 1．B 2．AF⊥EF〔提示：連結(jié)AE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，如此DF=FC=，EC=，在Rt△ADF中，由勾股定理得： AF2=AD2+DF2=a2+〔〕2=a2． 同理：在Rt△ECF中，EF2=〔〕2+〔〕2=a2， 在Rt△ABE中，BE=a，如此AE2=a2+a2=a2． ∵a2+a2=a2， ∴AF2+EF2=AE2． ∴∠AFE=90°． ∴AF⊥EF． 3．A〔點(diǎn)撥：利用勾股定理的逆定理來(lái)判定〕 練習(xí)4 1．〔1〕③、④ 〔2〕△ABC為直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC

15、2+BC2=52+122=132=AB2， ∴∠C=90°． 將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，C的對(duì)稱點(diǎn)為E〔如圖〕 ∴CD=DE， AC=AE=5． 如此△ACD≌△AED． 又BE=AB-AE=8． 設(shè)CD為x，如此x2+82=〔12-x〕2． 解之得x=． ∴AD2=52+〔〕2． ∴AD=． 3．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CP，并截CE=CP=2，連結(jié)PE，BE．〔如圖〕 ∵∠ACB=∠PCE=90°， ∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB． 即∠ACP=∠BCE． ∴△PCA≌△ECB〔SAS〕．

16、 ∴BE=AP=3． 在Rt△PCE中， PE2=PC2+CE2=8． 又∵BP2=1，BE2=9， ∴BE2=BP2+PE2． ∴△PBE是直角三角形，其中∠BPE=90° 在Rt△PCE中，PC=CE， ∴∠CPE=∠CEP=45°． ∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．〔或用旋轉(zhuǎn)思想求度數(shù)〕 練習(xí)5 1．連結(jié)AM． ∵M(jìn)為CB的中點(diǎn)， ∴CM=MB． 又∵AC2=AM2-CM2，BD2=BM2-MD2， ∴AC2+BD2=AM2-MD2． 又∵AD2=AM2-DM2， ∴AD2=AC2+BD2． 2．36〔提示：連結(jié)BD，利用勾股定理與逆定理即可求出〕． 3．5cm〔提示：將該長(zhǎng)方體的右面翻折，使它與前面在同一平面， 連結(jié)AC〔如圖〕，此時(shí)線段AC的長(zhǎng)度即為最短距離． ∴AC==5〔cm〕． 文檔