中考專題幾何綜合之旋轉(zhuǎn)專題

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1、word 第四講 旋轉(zhuǎn)專題 例題1. 點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，直線交于點(diǎn). 〔1〕如圖①，假如，如此________；如圖②，假如，如此________； 〔2〕如圖③，假如，如此________〔用含的式子表示〕； 〔3〕將圖③中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)〔點(diǎn)不與點(diǎn)重合〕，得圖④或圖⑤.在圖④中，與的數(shù)量關(guān)系是________；在圖⑤中，與的數(shù)量關(guān)系是________. 請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明. 思路點(diǎn)撥 從特殊到一般，在動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，有兩組不變的關(guān)系：∽， ∽，這是解本例的關(guān)鍵.

2、 例2.如圖1，是等腰直角三角形，四邊形是正方形，、分別在、邊上，此時(shí)，成立． 〔1〕當(dāng)正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)〔〕時(shí)，如圖2，成立嗎？假如成立，請(qǐng)證明；假如不成立，請(qǐng)說明理由． 〔2〕當(dāng)正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)． ①求證：； ②當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)． 例3. 在正方形的邊上任取一點(diǎn)，作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，如圖①，易證且. 〔1〕將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖②，如此線段和有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜測(cè). 〔2〕將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如

3、圖③，如此線段和有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜測(cè)，并加以證明. 例4. 如圖①，在等邊中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)與點(diǎn)不重合〕，連接.將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角〔〕，得到，連接，射線分別交射線、射線于點(diǎn). 〔1〕如圖①，當(dāng)時(shí)，在角變化過程中，與始終存在________關(guān)系〔填“相似〞或“全等〞〕，并說明理由； 〔2〕如圖②，設(shè).當(dāng)時(shí)，有角變化過程中，是否存在與全等？假如存在，求出與之間的數(shù)量關(guān)系；假如不存在，請(qǐng)說明理. 〔3〕如圖③，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)

4、與點(diǎn)，設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. 例5. 將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，將△DEF繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)． 〔1〕如圖1，如果∠EDF的邊DE經(jīng)過點(diǎn)C，另一邊DF與邊AC交于點(diǎn)G，求GC的長(zhǎng)； 〔2〕如圖2，如果∠EDF的邊DF、DE分別交邊BC于點(diǎn)M、N，設(shè)=x、BM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求它的定義域； 〔3〕如圖3，如果∠EDF的邊DF、DE分別交邊AC于

5、點(diǎn)M、N，如果△DMN是等腰三角形，求AN的值． 例6. ，直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，BC=6． 〔1〕如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿直線DE方向向右運(yùn)動(dòng)，如此當(dāng)EP=時(shí)，四邊形BCDP是矩形； 〔2〕將點(diǎn)B繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)． ①如圖2，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F處，連接AF、BF、EF．設(shè)∠BEF=α°，求證：△ABF是直角三角形； ②如圖3，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)G處，連接DG、EG．∠BEG=90°，求△DEG的面積．

6、 例7.如圖1，點(diǎn)O為正方形ABCD的中心． 〔1〕將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連結(jié)EF，AE，BF，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖1； 〔2〕根據(jù)圖1中補(bǔ)全的圖形，猜測(cè)并證明AE與BF的關(guān)系； 〔3〕如圖2，點(diǎn)G是OA中點(diǎn)，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中點(diǎn)，∠EGF=90°，AB=2，GE=2，△EGF繞G點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角度，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中BH的最大值． 例8. 如圖1，在△ABC中，CA

7、=CB，∠ACB=90°，D是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠ADC=135°，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE． 〔1〕①依題意補(bǔ)全圖形；②請(qǐng)判斷∠ADC和∠CDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案． 〔2〕在〔1〕的條件下，連接BE，過點(diǎn)C作CM⊥DE，請(qǐng)判斷線段CM，AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 〔3〕如圖2，在正方形ABCD中，AB=，如果PD=1，∠BPD=90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離． 例9.如圖1，在△ABC中，AB=AC，射線BP

8、從BA所在位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α〔0°＜α＜180°〕 〔1〕當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖2位置，點(diǎn)D在射線BP上．假如∠CDP=120°，如此∠ACD∠ABD〔填“＞〞、“=〞、“＜〞〕，線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是； 〔2〕當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖3位置，點(diǎn)D在射線BP上，假如∠CDP=60°，求證：BD﹣CD=AD； 〔3〕將圖3中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)30°＜α＜180°時(shí)，點(diǎn)D是直線BP上一點(diǎn)〔點(diǎn)P不在線段BD上〕，假如∠CDP=120°，請(qǐng)直接寫出線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系〔不必證明〕．

9、 例10.：點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(diǎn)〔不與點(diǎn)B重合〕，連接AD． 〔1〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE，BD⊥CE． 〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，探究AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由； 〔3〕假如BD=CD，直接寫出∠BAD的度數(shù)． 例11.如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EA

10、C=90°，點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)〔不與A重合〕，連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段，直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D． 〔1〕直接寫出∠NDE的度數(shù)； 〔2〕如圖2、圖3，當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時(shí)，其他條件不變，〔1〕中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請(qǐng)說明理由； 〔3〕如圖4，假如∠EAC=15°，∠ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD=，其他條件不變，求線段AM的長(zhǎng)． 例12.正方形ABCD和正方形EBGF共頂點(diǎn)

11、B，連AF，H為AF的中點(diǎn)，連EH，正方形EBGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)． 〔1〕如圖1，當(dāng)F點(diǎn)落在BC上時(shí)，求證：EH=FC； 〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，連BH，假如AB=5，BG=2，求BH的長(zhǎng)； 〔3〕當(dāng)正方形EBGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，求的值． 和等腰，，，按圖甲放置，使點(diǎn)在上，取 的中點(diǎn)，連接． ⑴探索的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由； ⑵將圖甲中繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得圖乙，連接，取的中點(diǎn)，問⑴中的結(jié)論是否成立？并說明理由； ⑶將圖甲中繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度〔

12、旋轉(zhuǎn)角在到之間〕得圖丙，連接，取的中點(diǎn)，問⑴中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由． 例14.如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′〔使∠BCE′＜180°〕，連接AD′、BE′，設(shè)直線BE′與AC、AD′分別交于點(diǎn)O、E． 〔1〕假如△ABC為等邊三角形，如此的值為1，求∠AFB的度數(shù)； 〔2〕假如△ABC滿足∠ACB=60°，AC=，BC=， ①求的值和∠AFB的度數(shù)； ②假如E為BC的中點(diǎn)，求△O

13、BC面積的最大值． 例15.，在中，．過點(diǎn)的直線從與邊重合的位置開始繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，直線交邊于點(diǎn)〔點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合〕，的邊始終在直線上〔點(diǎn)在點(diǎn)的上方〕，且，連接． 〔1〕當(dāng)時(shí)， ①如圖a，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為___________； ②如圖b，當(dāng)時(shí)，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說明理由； 〔2〕如圖c，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明． °角的三角板和如

14、圖①擺放，使直角頂點(diǎn)重合．將圖①中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到圖②，點(diǎn)、分別是、與的交點(diǎn)，點(diǎn)是與的交點(diǎn)． 〔1〕不添加輔助線，寫出圖②中所有與全等的三角形； 〔2〕將圖②中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得，點(diǎn)、、對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，如圖③．探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過程； 〔3〕在〔2〕的條件下，假如與交于點(diǎn)，求證：． 例17.如圖1，在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，假如點(diǎn)，在直線的異側(cè)，⊥直線于點(diǎn)．⊥直線于點(diǎn)，連接，． 〔1〕延長(zhǎng)交于點(diǎn)〔如圖2〕． ①求證：；

15、②求證：； 〔2〕假如直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)還成立嗎？假如成立，請(qǐng)給予證明；假如不成立，請(qǐng)說明理由； 〔3〕假如直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接判斷四邊形的形狀與此時(shí)還成立嗎？不必說明理由． 是等腰直角三角形，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)〔、兩點(diǎn)除外〕，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到，其中點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)． 〔1〕如圖1，當(dāng)時(shí)，是邊上一點(diǎn)，且，連接．求證：； 〔2〕如圖2，當(dāng)時(shí)，與相交于點(diǎn)． ①當(dāng)點(diǎn)與

16、點(diǎn)、不重合時(shí)，連接，求的度數(shù)； ②設(shè)為邊的中點(diǎn)，當(dāng)從變化到時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)． 例19.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b． 〔1〕如圖1，當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a、b的值； 〔2〕當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a、b的值； 〔3〕如圖3，探索∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由．

17、 例20. ：點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)Ｐ不與點(diǎn)A、C重合〕，分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn). 〔1〕當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1，易證OE=OF〔不需證明〕. 〔2〕直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠OFE=30°時(shí)，如圖2、圖3的位置，猜測(cè)線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你對(duì)圖2、圖3的猜測(cè)，并選擇一種情況給予證明.

18、 例21. 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點(diǎn)E．DF與線段AC〔或AC的延長(zhǎng)線〕相交于點(diǎn)F． 〔1〕如圖1，假如DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長(zhǎng)； 〔2〕如圖2，將〔1〕中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F．求證：BE+CF=AB； 〔3〕如圖3，將〔2〕中的∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，作DN⊥AC于點(diǎn)N，假如DN⊥AC于點(diǎn)N，假如DN=FN，求證：BE+CF=〔BE﹣CF〕．

19、 例22. 在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜180°〕得到△EFD，其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．BE與FC相交于點(diǎn)H． 〔1〕如圖1，直接寫出BE與FC的數(shù)量關(guān)系：； 〔2〕如圖2，M、N分別為EF、BC的中點(diǎn)．求證：MN=； 〔3〕連接BF，CE，如圖3，直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關(guān)系：．

20、 例23.如圖1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于點(diǎn)O． 〔1〕求邊AB的長(zhǎng)； 〔2〕如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別于邊BC，CD相交于E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點(diǎn)G． ①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由； ②旋轉(zhuǎn)過程中是否存在線段EF最短，假如存在，求出最小值，假如不存在，請(qǐng)說明理由． △

21、ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，假如等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α〔0＜α≤180°〕，記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P． 〔1〕如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD1的長(zhǎng)等于，線段CE1的長(zhǎng)等于；〔直接填寫結(jié)果〕 〔2〕如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1； 〔3〕求點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值．〔直接寫出結(jié)果〕 例25.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC

22、與BD交于點(diǎn)O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°． 〔1〕如圖1，假如點(diǎn)P與點(diǎn)O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點(diǎn)E、F，請(qǐng)直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系； 〔2〕將圖1中的Rt△PMN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α〔0°＜α＜45°〕． ①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中〔1〕中的結(jié)論依然成立嗎？假如成立，請(qǐng)證明；假如不成立，請(qǐng)說明理由； ②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15°時(shí)，連接EF，假如正方形的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)直接寫出線段EF的長(zhǎng)； ③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，假如Rt△PMN的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)〔不與點(diǎn)O、B重合〕，當(dāng)BD=3BP時(shí)，猜測(cè)此時(shí)PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD

23、=m?BP時(shí)，請(qǐng)直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系． ①，∠QPN的頂點(diǎn)P在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，∠QPN=α，將∠QPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F〔點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合〕． 〔1〕如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是； 〔2〕如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當(dāng)α=60°時(shí)，〔1〕中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF=AD，請(qǐng)給出證明； 〔3〕在〔2〕的條

24、件下，假如旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點(diǎn)E，其他條件不變，探究在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明． 例27. 如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．假如∠ABC=∠BEF=60°． 〔1〕請(qǐng)直接寫出線段PG與PC的位置關(guān)系與的值． 〔2〕假如將圖1中的菱形BEFG饒點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，

25、原問題中的其他條件不變，如圖2．那么你在〔1〕中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？假如沒變化，直接寫出結(jié)論，假如有變化，寫出變化的結(jié)果． 〔3〕在圖1中，假如∠ABC=∠BEF=2α〔0°＜α＜90°〕，將菱形BEFG饒點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請(qǐng)直接寫出的值〔用含α的式子表示〕． ①所示，在和中，AB=AC,AD=AE,，且點(diǎn)B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點(diǎn)． 〔1〕求證：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； 〔2〕在圖①的根底

26、上，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請(qǐng)直接寫出〔1〕中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立； 〔3〕在〔2〕的條件下，請(qǐng)你在圖②中延長(zhǎng)ED交線段BC于點(diǎn)P．求證：△PBD∽△AMN． 例29.如圖1，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上． 〔1〕請(qǐng)直接寫出線段與線段的關(guān)系：_____________； 〔2〕如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角〔〕， ①〔1〕中的結(jié)論是否成立？假如成立，請(qǐng)利用圖2證明；假如不成立，請(qǐng)說明理由；

27、 ②當(dāng)時(shí)，探究在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在這樣的角，使以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假如存在，請(qǐng)直接寫出角的度數(shù)；假如不存在，請(qǐng)說明理由． 例30.如圖，在中，.將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在線段的中點(diǎn)上，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板并使三角板的兩直角邊分別與相交于點(diǎn)，連，交于點(diǎn). 〔1〕求證：； 〔2〕設(shè)線段的長(zhǎng)為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式； 〔3〕當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到時(shí)，求的長(zhǎng).

28、 例31. 如圖①，中，，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連結(jié)． 〔1〕求證：； 〔2〕將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到〔點(diǎn)，分別與點(diǎn)，對(duì)應(yīng)〕，連接． ①如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，〔不與重合〕，假如，，求的長(zhǎng)； ②如圖③，當(dāng)是由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，設(shè)射線與相交于點(diǎn)，連接，試探究線段與之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由． 例32. 如圖1，在四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接、、、，且． 〔1〕求證：； 〔2〕求證

29、：； 〔3〕如圖2，假如、所在直線互相垂直，求的值． 例33. 是等腰直角三角形，，，，，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)． 〔1〕如圖1，假如點(diǎn)在邊上，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)； 〔2〕如圖2，假如點(diǎn)在的內(nèi)部，連接，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，，求證：； 〔3〕如圖3，將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使，連接，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，探索的值并直接寫出結(jié)果． 例34. 正方形ABCD中，E為

30、對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG． 〔1〕求證：EG=CG； 〔2〕將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？假如成立，請(qǐng)給出證明；假如不成立，請(qǐng)說明理由； 〔3〕將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論〔均不要求證明〕． 例35. 如圖，四邊形ABCD是正方形

31、，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD〔不含B點(diǎn)〕上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM． 〔1〕求證：△AMB≌△ENB； 〔2〕①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小； ②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由； 〔3〕當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)． 例36. 如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF． 解答如下問題

32、： 〔1〕如果AB=AC，∠BAC=90°， ①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)〔與點(diǎn)B不重合〕，如圖乙，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為． ②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？ 〔2〕如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)． 試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC〔點(diǎn)C，F(xiàn)重合除外〕畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．〔畫圖不寫作法〕 〔3〕假如AC=4，BC=3，在〔2〕的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

33、 例37. ：在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD．探究如下問題： 〔1〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3，且∠ACB=60°，如此CD=； 〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6，且∠ACB=90°，如此CD=； 〔3〕如圖3，當(dāng)∠ACB變化，且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求 CD的最大值與相應(yīng)的∠ACB的度數(shù)． 例38. 在△AB

34、C中，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD’E’〔使∠BCE′＜180°〕，連接AD′、BE′，設(shè)直線BE′與AC交于點(diǎn)O． 〔1〕如圖1，當(dāng)AC=BC時(shí)，AD′：BE′的值為； 〔2〕如圖2，當(dāng)AC=5，BC=4時(shí)，求AD′：BE′的值； 〔3〕在〔2〕的條件下，假如∠ACB=60°，且E為BC的中點(diǎn)，求△OAB面積的最小值． 例39. 將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度，并使各邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼谋?，得，即如圖①，.我們

35、將這種變換記為[，]. (1) 如圖①，對(duì)作變換[60°，]得，如此_；直線與直線所夾的銳角為 ＿ 度． (2) 如圖②，中，，對(duì)作變換[，]得，使點(diǎn)，，在同一直線上，且四邊形為矩形，求和的值。 (3) 如圖③，中，，，對(duì)作變換[，]得，使點(diǎn)，，在同一直線上，且四邊形為平行四邊形，求和的值。 例40. ：將一副三角板〔和〕如圖①擺放，點(diǎn)、、、在一條直線上， 且是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線 ，相交與點(diǎn)，直線、相交與點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作直線的垂線，垂足

36、 為、。 〔1〕當(dāng)時(shí)〔如圖②〕，求證：； 〔2〕當(dāng)時(shí)〔如圖③〕，(1)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由； 〔3〕當(dāng)0°<時(shí)〔1〕中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖④說明理由 例41. ：如圖①，在面積為3的正方形中，、分別是和邊上的兩點(diǎn)， 垂足為點(diǎn)，且. 〔1〕求證: ； 〔2〕求出和重疊局部〔〕的面積 〔3〕現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到〔如圖②〕，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處， 問在旋轉(zhuǎn)前后與重疊局部的面積是否發(fā)生了變化？請(qǐng)說明理由。

37、 例42. 在中，的兩邊交邊于兩點(diǎn)，將 繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)． ⑴ 畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的； ⑵ 在⑴中，假如，求證：； ⑶ 在⑵的條件下，假如，直接寫出的長(zhǎng)． 例43. 如圖1，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形，使點(diǎn)正好落在上的 點(diǎn)處，連． ⑴ 注證：； ⑵ 如圖2，連交于，

38、點(diǎn)為的中點(diǎn)，連，試探究與的數(shù)量 關(guān)系，并證明你的結(jié)論； ⑶ 假如，直接寫出的長(zhǎng)． 例44. 如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線〔不含點(diǎn)〕上任意一點(diǎn)， 將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、. ⑴ 求證：； ⑵ ①當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最?。? ②當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說明理由； ⑶ 當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

39、 例45. ：，以為一邊作正方形，使兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè). ⑴如圖，當(dāng)時(shí)，求與的長(zhǎng)； ⑵當(dāng)變化，且其它條件不變時(shí)，求的最大值，與相應(yīng)的大小. ①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D、E兩點(diǎn)分別在AC、BC上，且DE∥AB，CD=．將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△CD′E′〔如圖②，點(diǎn)D′、E′分別與點(diǎn)D、E對(duì)應(yīng)〕，點(diǎn)E′在AB上，D′E′與AC相交于點(diǎn)M． 〔1〕求∠ACE′的度數(shù)； 〔2〕求證：四邊形ABCD′是梯形； 〔3〕求△AD′M的面積． 文案大全