《浙江省2018年中考數學總復習 第七章 數學思想與開放探索問題 第39講 開放與探索型問題講解篇》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《浙江省2018年中考數學總復習 第七章 數學思想與開放探索問題 第39講 開放與探索型問題講解篇（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第39講開放與探索型問題內容特性所謂開放題，即為答案不唯一的問題，其主要特征是答案的多樣性和多層次性解題策略從總體上看，解開放型題時，通過觀察、比較、分析、綜合及猜想，應盡可能地放開思維，大膽猜想，仔細論證，充分運用已學過的數學知識和數學方法，經過歸納、類比、聯想等推理的手段，得出正確的結論從方法上看，一般以分類討論及反演推理等方法較為常見.基本方法(1)條件開放型問題：從結論出發(fā)，執(zhí)果索因，逆向推理，逐步探求結論成立的條件或把可能產生結論的條件一一列出，逐個分析；(2)結論開放型問題：從剖析題意入手，充分捕捉題設信息，通過由因導果，順向推理或聯想類比、猜測等，從而獲得所求的結論；(3)條件和
2、結論都開放型：此類問題沒有明確的條件和結論，并且符合條件的結論具有多樣性，需將已知的信息集中進行分析，探索問題成立所必須具備的條件或特定的條件應該有什么結論，通過這一思維活動得出事物內在聯系，從而把握事物的整體性和一般性.類型一條件開放與探索型問題(1)四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：ADBC；ADBC；OAOC；OBOD從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有()A3種 B4種 C5種 D6種【解后感悟】判斷一個四邊形是平行四邊形的基本依據是：平行四邊形的定義及其判定定理解答此類題的關鍵是要突破思維定勢的障礙，運用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在
3、不同條件下的結論，挖掘它的內在聯系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件(2)(2016河北)如圖，AOB120，OP平分AOB，且OP2.若點M，N分別在OA，OB上，且PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的PMN有()A1個 B2個 C3個 D3個以上【解后感悟】本題運用等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的性質等知識的開放性問題，解題的關鍵是正確添加輔助線，構造全等三角形1(1)請舉反例說明“對于任意實數x，x25x5的值總是正數”是假命題，你舉的反例是x(寫出一個x的值即可)(2)(2015無錫)某商場在“五一”期間舉行促銷活動，根據顧客按商品標價一次性購物
4、總額，規(guī)定相應的優(yōu)惠方法：如果不超過500元，則不予優(yōu)惠；如果超過500元，但不超過800元，則按購物總額給予8折優(yōu)惠；如果超過800元，則其中800元給予8折優(yōu)惠，超過800元的部分給予6折優(yōu)惠促銷期間，小紅和她母親分別看中一件商品，若各自單獨付款，則應分別付款480元和520元；若合并付款，則她們總共只需付款元類型二結論開放與探索型問題(2016紹興)如果將四根木條首尾相連，在相連處用螺釘連接，就能構成一個平面圖形(1)若固定三根木條AB，BC，AD不動，ABAD2cm，BC5cm，如圖，量得第四根木條CD5cm，判斷此時B與D是否相等，并說明理由；(2)若固定一根木條AB不動，AB2cm
5、，量得木條CD5cm，如果木條AD，BC的長度不變，當點D移到BA的延長線上時，點C也在BA的延長線上；當點C移到AB的延長線上時，點A、C、D能構成周長為30cm的三角形，求出木條AD，BC的長度【解后感悟】此題是動態(tài)開放探究型問題，通過畫圖轉化為所求的圖形，利用全等三角形、二元一次方程組和三角形三邊關系解決問題2 (2015麗水)如圖，在方格紙中，線段a，b，c，d的端點在格點上，通過平移其中兩條線段，使得和第三條線段首尾相接組成三角形，則能組成三角形的不同平移方法有()A3種 B6種 C8種 D12種3(2015臺州)關于x的方程mx2xm10，有以下三個結論：當m0時，方程只有一個實數
6、解；當m0時，方程有兩個不等的實數解；無論m取何值，方程都有一個負數解，其中正確的是(填序號)類型三條件、結論開放與探索型問題(2015紹興)正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角DAG，其中0180，連結DF，BF，如圖(1)若0，則DFBF，請加以證明；(2)試畫一個圖形(即反例)，說明(1)中命題的逆命題是假命題；(3)對于(1)中命題的逆命題，如果能補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由【解后感悟】本題通過條件的改變尋求新的結論，從特殊到一般來探求問題即0的情況，再逆命題的探究，以及補充
7、一個條件后能使該命題為真命題的探究逐步畫圖來解決問題4(2015南京)如圖，ABCD，點E，F分別在AB，CD上，連結EF，AEF、CFE的平分線交于點G，BEF、DFE的平分線交于點H.(1)求證：四邊形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進行了探索，過G作MNEF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQEF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形MNQP，此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框中補全他的證明思路由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MNNQ，由已知條件_，MNEF故只要證GMFQ，即證MGEQFH，易證
8、_，_，故只要證MGEQFH，易證MGEGEF，QFHEFH，_，即可得證類型四過程開放與探索型問題(1)如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，EAF45，延長CD到點G，使DGBE，連結EF，AG.求證：EFFG.(2)如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，點M，N在邊BC上，且MAN45，若BM1，CN3，求MN的長 【解后感悟】 本題是幾何綜合題，通過觀察、比較、分析、綜合及猜想，運用正方形、全等三角形、等腰直角三角形以及勾股定理等幾何圖形的性質，經過歸納、類比、聯想等推理的手段，得出正確的結論5(2015河南)如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A
9、、B重合的一個動點，延長BP到點C，使PCPB，D是AC的中點，連結PD、PO.(1)求證：CDPPOB；(2)填空：若AB4，則四邊形AOPD的最大面積為_；連結OD，當PBA的度數為_時，四邊形BPDO是菱形6(2017紹興)已知ABC，ABAC，D為直線BC上一點，E為直線AC上一點，ADAE，設BAD，CDE.(1)如圖，若點D在線段BC上，點E在線段AC上如果ABC60，ADE70，那么_，_；求，之間的關系式；(2)是否存在不同于以上中的，之間的關系式？若存在，求出這個關系式(求出一個即可)；若不存在，說明理由【經驗積累題】(2015麗水)如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點，F
10、為BE上的一點，連結CF并延長交AB于點M，MNCM交射線AD于點N.(1)當F為BE中點時，求證：AMCE；(2)若2，求的值；(3)若n，當n為何值時，MNBE?【方法與對策】本題是幾何綜合題，運用了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、矩形的性質、同角的余角相等、三角形外角的性質等知識，本題三問的解題思路是一致的；即通過特殊到一般，利用全等三角形或相似三角形解決問題，這是中考常見的壓軸題型【考慮欠周，容易漏解】在一服裝廠里有大量形狀為等腰三角形的邊角布料(如圖)現找出其中的一種，測得C90，ACBC4，現要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在
11、ABC的邊上，且扇形與ABC的其他邊相切請設計出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑(只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑)參考答案第39講開放與探索型問題【例題精析】例1(1)組合可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；組合可根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；可證明ADOCBO，進而得到ADCB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；可證明ADOCBO，進而得到ADCB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；故選：B.(2)如圖在
12、OA、OB上截取OEOFOP，作MPN60.OP平分AOB，EOPPOF60，OPOEOF，OPE，OPF是等邊三角形，EPOP，EPOOEPPONMPN60，EPMOPN，在PEM和PON中，PEMPON.PMPN，MPN60，PMN是等邊三角形，只要MPN60，PMN就是等邊三角形，故這樣的三角形有無數個故選D.例2(1)相等理由：連結AC，在ACD和ACB中，ACDACB，BD.(2) 設ADx，BCy，當點C在點D右側時，解得：，當點C在點D左側時，解得：，此時AC17，CD5，AD8，5817，不合題意，AD13cm，BC10cm.例3(1)證明：如圖1，正方形ABCD和正方形AEF
13、G中，GFEF，AGAE，ADAB，DGBE.又DGFBEF90，DGFBEF(SAS)DFBF. (2)反例圖形如圖2： (3)不唯一，如點F在正方形ABCD內，或180.例4(1)證明：ABEADG，ADAB，在ABE和ADG中，ABEADG(SAS)，BAEDAG，AEAG，EAG90，在FAE和FAG中，FAEFAG(SAS)，EFFG；(2)如圖2，過點C作CEBC，垂足為點C，截取CE，使CEBM，連結AE、EN，ABAC，BAC90，BACB45，CEBC，ACEB45，在ABM和ACE中，ABMACE(SAS)AMAE，BAMCAE.BAC90，MAN45，BAMCAN45.于
14、是，由BAMCAE，得MANEAN45.在MAN和EAN中，MANEAN(SAS)MNEN.在RtENC中，由勾股定理，得EN2EC2NC2.MN2BM2NC2.BM1，CN3，MN21232，MN.【變式拓展】1 (1)2(2)838或9102.B3.4.(1)EH平分BEF，FEHBEF，FH平分DFE，EFHDFE，ABCD，BEFDFE180，FEHEFH(BEFDFE)18090，FEHEFHEHF180，EHF180(FEHEFH)1809090，同理可得：EGF90，EG平分AEF，FEGAEF，EH平分BEF，FEHBEF，點A、E、B在同一條直線上，AEB180，即AEFBE
15、F180，FEGFEH(AEFBEF)18090，即GEH90，四邊形EGFH是矩形；(2)答案不唯一：由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MNNQ，由已知條件：FG平分CFE，MNEF，故只要證GMFQ，即證MGEQFH，易證GEFH、GMEFQH.故只要證MGEQFH，易證MGEGEF，QFHEFH，GEFEFH，即可得證5.(1)PCPB，D是AC的中點，DPAB，DPAB，CPDPBO，BOAB，DPBO，在CDP與POB中，CDPPOB(SAS)； (2)當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積，(42)(42)224；
16、如圖：DPAB，DPBO，四邊形BPDO是平行四邊形，四邊形BPDO是菱形，PBBO，POBO，PBBOPO，PBA的度數為60.6.(1)ABAC，ABC60，BAC60，ADAE，ADE70，DAE1802ADE40，BAD604020，ADCBADABD602080，CDEADCADE10，故答案為：20，10；設ABCx，AEDy，ACBx，ADEy，在DEC中，yx，在ABD中，xyx，2； (2)存在；答案不唯一，如：當點E在CA的延長線上，點D在線段BC上，如圖1，設ABCx，ADEy，ACBx，AEDy，在ABD中，xy，在DEC中，xy180，2180，當點E在CA的延長線上
17、，點D在CB的延長線上，如圖2，同的方法可得1802.【熱點題型】【分析與解】(1)F為BE的中點，BFEF.ABCD，MBFCEF，BMFECF.BMFECF，MBCE，ABCD，CEDE，MBAM.AMCE. (2)設MBa，ABCD，BMFECF.2，2，CE2a.ABCD2CE4a，AMABMB3a.2，BCAD2a.MNMC，AABC90，AMNBCM.，即，ANa，ND2aaa，3.(3)方法一：n，設MBa，由(2)可得BC2a，CEna，AM(2n1)a.由AMNBCM，AN(2n1)a，DN，DHAM，DH(2n5)a，HE(5n)a.MBEH是平行四邊形，(5n)aa，n4.方法二：n，設MBa，由(2)可得BC2a：CEna.當MNBE時，CMBE，可證MBCBCE，n4.【錯誤警示】10
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