數(shù)學(xué)總第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.2 三角形及其全等（試卷部分）

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1、4.2三角形及其全等中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (山東專(zhuān)用)A A組組2014201820142018年山東中考題組年山東中考題組考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì)考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì)五年中考1.(2018聊城,10,3分)如圖,將一張三角形紙片ABC的一角折疊,使點(diǎn)A落在ABC外的A處,折痕為DE.如果A=,CEA=,BDA=,那么下列式子中正確的是()A.=2+B.=+2C.=+D.=180-答案答案A設(shè)DA交AC于點(diǎn)F,經(jīng)過(guò)折疊,A=A=,由三角形的外角定理,AFC=CEA+A=+,BDF=A+AFD=+,即=2+,故選A.2.(2016棗莊,4,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,A=

2、30,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),ABC與ACE的平分線相交于點(diǎn)D,則D等于()A.15B.17.5C.20D.22.5審題技巧審題技巧在求與三角形有關(guān)的角度問(wèn)題時(shí),常常要用到三角形的內(nèi)角和等于180,或三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.答案答案ABD平分ABC,CD平分ACE,DBE=ABC,DCE=ACE,又DCE-DBE=D,ACE-ABC=A,D=A=30=15,故選擇A.121212123.(2015濱州,7,3分)在ABC中,A B C=3 4 5,則C等于()A.45B.60C.75D.90答案答案C三角形內(nèi)角和是180,C=180=75,故選C.5345一題多解一題多解本題也

3、可以根據(jù)比例設(shè)未知數(shù),列方程求解.設(shè)A=3x,B=4x,C=5x,則3x+4x+5x=180,解得x=15,5x=75,即C=75.4.(2015青島,4,3分)如圖,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分線,DEAB,垂足為E,DE=1,則BC=()A.B.2C.3D.+233答案答案CDEAB,B=30,BD=2DE=2,DCAC,DEAB,AD是BAC的平分線,DC=DE=1,BC=BD+DC=2+1=3.故選C.思路分析思路分析根據(jù)“在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可求得BD的長(zhǎng),再根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”可得

4、到DE=DC,從而可求出BC的長(zhǎng).考點(diǎn)二全等三角形考點(diǎn)二全等三角形1.(2018臨沂,11,3分)如圖,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分別是點(diǎn)D,E,AD=3,BE=1,則DE的長(zhǎng)是()A.B.2C.2D.32210答案答案BADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90,ECB+DCA=90,DAC=ECB,AC=CB,ACD CBE,AD=CE=3,CD=BE=1,DE=CE-CD=3-1=2.思路分析思路分析通過(guò)證明ACD與CBE全等,得到AD=CE,CD=BE,然后利用線段的和差計(jì)算DE的長(zhǎng).2.(2016泰安,18,3分)如圖,在PA

5、B中,PA=PB,M,N,K分別是邊PA,PB,AB上的點(diǎn),且AM=BK,BN=AK,若MKN=44,則P的度數(shù)為()A.44B.66C.88D.92答案答案DPA=PB,A=B.又BK=AM,BN=AK,AKM BNK(SAS),AMK=BKN,MKN+BKN=A+AMK,A=MKN,MKN=44,A=44,P=180-2A=180-244=92.故答案為D.思路分析思路分析通過(guò)題中所給的條件AM=BK,BN=AK,以及由PA=PB,可得A=B,得到AKMBNK,所以對(duì)應(yīng)角相等,再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,便可求出A與MKN相等,最后由三角形的內(nèi)角和等于180,求出P的度

6、數(shù).3.(2016威海,10,3分)如圖,在ABC中,B=C=36,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)H.AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)G.連接AD,AE.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.=B.AD,AE將BAC三等分C.ABE ACDD.SADH=SCEGBDBC512答案答案AB=C=36,AB=AC,BAC=108,DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,DB=DA,EA=EC,B=DAB=C=CAE=36,BAD=BCA,又B=B,BDABAC,=,ADC=B+BAD=72,DAC=BAC-BAD=72,ADC=DAC,CD=CA=BA,BD=BC-CD=BC-AB,則=,易求得

7、=,故A錯(cuò)誤;BAC=108,DAB=CAE=36,BDBABABCBDBABCBABABABCBDBABABC512DAE=BAC-DAB-CAE=36,即DAB=DAE=CAE=36,AD,AE將BAC三等分,故B正確;BAE=BAD+DAE=72,CAD=CAE+DAE=72,BAE=CAD,在BAE和CAD中,BAE CAD,故C正確;由BAE CAD可得SBAE=SCAD,即SBAD+SADE=SCAE+SADE,SBAD=SCAE,又DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,SADH=SABD,SCEG=SCAE,SADH=SCEG,故D正確,故選A.,BCABACBAECAD 1212

8、4.(2018菏澤,17,6分)如圖,ABCD,AB=CD,CE=BF.請(qǐng)寫(xiě)出DF與AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解析解析DF=AE.證明:ABCD,C=B.CE=BF,CE-EF=BF-FE,CF=BE.又CD=AB,DCF ABE(SAS),DF=AE.思路分析思路分析由已知條件易證DCF ABE(SAS),可得DF=AE.5.(2017臨沂,25,11分)數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問(wèn)題:如圖1,AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線,若ACB=ACD=ABD=ADB=60,則線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD,連接A

9、E,證得ABE ADC,從而容易證明ACE是等邊三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD.小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,使AB與AD重合,從而容易證明ACF是等邊三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD.在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:(1)小穎提出:如圖4,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改為“ACB=ACD=ABD=ADB=45”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小穎提出的問(wèn)題,請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論,并給出證明;(2)小華提出:如圖5,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改為“ACB=ACD=AB

10、D=ADB=”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小華提出的問(wèn)題,請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論,不用證明.解析解析(1)BC+CD=AC.證明:如圖,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD,連接AE.ACB=ACD=ABD=ADB=45,BAD=90,BCD=90,AD=AB.ABC+ADC=180,又ABE+ABC=180,ADC=ABE.ADC ABE.AC=AE,CAD=EAB.EAC=BAD=90.CE=AC,BC+CD=AC.(2)BC+CD=2ACcos.(證明:如圖,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD,連接AE.222ACB=ACD=ABD=ADB=,BAD=180-2,BCD=2,A

11、D=AB.BAD+BCD=180,ABC+ADC=180.又ABE+ABC=180,ADC=ABE,ADC ABE,AC=AE.過(guò)點(diǎn)A作AFCE,則EC=2CF.在RtACF中,CF=ACcos.EC=2ACcos,BC+CD=2ACcos.)一題多解一題多解(1)BC+CD=AC.證明:ACB=ACD=ABD=ADB=45,BAD=90,BCD=90.ABC+ADC=180.將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ADF,使AB與AD重合.DF=BC,F=ACB=45,CAF=90,ADF=ABC.ADF+ADC=180.C、D、F三點(diǎn)在同一條直線上.CF=AC.BC+CD=AC.222B B組組2

12、014201820142018年全國(guó)中考題組年全國(guó)中考題組考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì)考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì)1.(2018河北,1,3分)下列圖形具有穩(wěn)定性的是()答案答案A三角形具有穩(wěn)定性.故選A.2.(2017廣西河池,9,3分)三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等兩部分的是()A.中線B.角平分線C.高D.中位線答案答案A三角形的中線把三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形,三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.故選A.3.(2016湖南岳陽(yáng),6,3分)下列長(zhǎng)度的三根小木棒能構(gòu)成三角形的是()A.2cm,3cm,5cmB.7cm,4cm,2cmC.3cm,4cm,8cmD

13、.3cm,3cm,4cm答案答案D對(duì)于選項(xiàng)A,2+3=5,不符合三角形三邊關(guān)系;對(duì)于選項(xiàng)B,2+47,不符合三角形三邊關(guān)系;對(duì)于選項(xiàng)C,3+44,符合三角形三邊關(guān)系.故選擇D.4.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB=,AC=5,若BC邊上的高等于3,則BC邊的長(zhǎng)為.34答案答案1或9解析解析分兩種情況討論:BC邊上的高在ABC內(nèi)時(shí),如圖,過(guò)A作ADBC于點(diǎn)D.在RtABD中,AB=,AD=3,BD=5.在RtACD中,AC=5,AD=3,CD=4.BC=BD+CD=9.BC邊上的高位于ABC外時(shí),如圖,同可求得BD=5,CD=4,BC=1.綜上,BC的長(zhǎng)為1或9.3422ABAD22A

14、CAD思路分析思路分析根據(jù)題意畫(huà)圖,要考慮全面,利用勾股定理解直角三角形即可.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示本題容易只考慮BC邊上的高在ABC內(nèi)的情況而導(dǎo)致漏解.5.(2017青海,5,2分)如圖,在ABC中,ABC和ACB的角平分線相交于點(diǎn)O,若A=50,則BOC=.答案答案115解析解析A=50,ABC+ACB=180-50=130,BO平分ABC,CO平分ACB,OBC=ABC,OCB=ACB,OBC+OCB=ABC+ACB=(ABC+ACB)=130=65,BOC=180-(OBC+OCB)=180-65=115.1212121212126.(2017四川成都,12,4分)在ABC中,A B C=2

15、 3 4,則A的度數(shù)為.答案答案40解析解析設(shè)A=2x,則B=3x,C=4x,所以2x+3x+4x=180,解得x=20,所以A=40.考點(diǎn)二全等三角形考點(diǎn)二全等三角形1.(2018四川成都,6,3分)如圖,已知ABC=DCB,添加以下條件,不能判定ABC DCB的是()A.A=DB.ACB=DBCC.AC=DBD.AB=DC答案答案C根據(jù)題中已有條件,分別添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABC DCB,故選項(xiàng)A,B,D不符合題意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定理,不能推出ABC DCB,選項(xiàng)C符合題意.故選C.2.(20

16、15浙江紹興,7,4分)如圖,小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD,其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的點(diǎn)A與PRQ的頂點(diǎn)R重合,調(diào)整AB和AD,使它們分別落在角的兩邊上,過(guò)點(diǎn)A,C畫(huà)一條射線AE,AE就是PRQ的平分線.此角平分儀的畫(huà)圖原理是:根據(jù)儀器結(jié)構(gòu),可得ABC ADC,這樣就有QAE=PAE.則說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS答案答案D因?yàn)樵贏BC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABC ADC(SSS),故選D.3.(2017黑龍江龍東地區(qū),3,3分)如圖,BCEF,ACDF,添加一個(gè)條件:,使得ABC DEF.答案答案答案不唯一

17、,如:AB=DE、BC=EF、AC=DF或AD=BE解析解析當(dāng)AB=DE時(shí),BCEF,ABC=E,ACDF,A=EDF,在ABC和DEF中,ABC DEF(ASA),同理,當(dāng)BC=EF、AC=DF或AD=BE時(shí),也可求證ABC DEF.,AEDFABDEABCE 4.(2017四川達(dá)州,14,3分)ABC中,AB=5,AC=3,AD是ABC的中線,設(shè)AD長(zhǎng)為m,則m的取值范圍是.答案答案1m4解析解析如圖,延長(zhǎng)中線AD至E,使AD=DE,連接BE.AD是ABC的中線,BD=CD.AD=DE,ADC=EDB,ACD EBD,BE=AC=3,AB-BEAEAB+BE,5-32m5+3,1m4.5.

18、(2018云南,16,6分)如圖,已知AC平分BAD,AB=AD.求證:ABC ADC.證明證明AC平分BAD,BAC=DAC.(2分)在ABC和ADC中,ABC ADC(SAS).(6分),ABADBACDACACAC 6.(2018陜西,18,5分)如圖,ABCD,E、F分別為AB、CD上的點(diǎn),且ECBF,連接AD,分別與EC、BF相交于點(diǎn)G、H.若AB=CD,求證:AG=DH.證明證明ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.(2分)AB=CD,ABH DCG,AH=DG,AG=DH.(5分)思路分析思路分析首先利用平行線的性質(zhì)得出A=D,BHA=CGD,進(jìn)而判定ABH DCG,最后根

19、據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等量減等量差相等,得出結(jié)果.歸納總結(jié)歸納總結(jié)全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇判定定理.當(dāng)已知兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí),可考慮證夾角相等或第三邊相等.當(dāng)已知兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí)可考慮證夾邊相等或一角對(duì)邊相等.當(dāng)已知角及鄰邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)可選用SAS、ASA或AAS.7.(2017江蘇蘇州,24,8分)如圖,A=B,AE=BE,點(diǎn)D在AC邊上,1=2,AE和BD相交于點(diǎn)O.(1)求證:AEC BED;(2)若1=42,求BDE的度數(shù).解析解析(1)證明:AE和BD相交于點(diǎn)O,AOD=BOE.在AOD和BOE中,A=B,BEO=2,又1=2,1=BE

20、O,1+AED=BEO+AED,即AEC=BED.在AEC和BED中,AEC BED(ASA).(2)AEC BED,EC=ED,C=BDE.又1=42.C=EDC=69,BDE=C=69.,ABAEBEAECBED C C組教師專(zhuān)用題組組教師專(zhuān)用題組考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì)考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì)1.(2018湖北黃岡,4,3分)如圖,在ABC中,直線DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點(diǎn)D和E,B=60,C=25,則BAD為()A.50B.70C.75D.80答案答案B因?yàn)橹本€DE是AC的垂直平分線,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+

21、25)=130.因?yàn)锳DC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故選B.2.(2017湖南株洲,5,3分)如圖,在ABC中,BAC=x,B=2x,C=3x,則BAD的度數(shù)是()A.145B.150C.155D.160解析解析B由三角形內(nèi)角和定理得,x+2x+3x=180,解得x=30,所以BAD=B+C=2x+3x=5x=530=150,故選B.3.(2017浙江舟山,2,3分)長(zhǎng)度分別為2,7,x的三條線段能組成一個(gè)三角形,x的值可以是()A.4B.5C.6D.9答案答案C長(zhǎng)度分別為2,7,x的三條線段能組成一個(gè)三角形,7-2x7+2,即5x9,故選擇C.4.(2017四

22、川德陽(yáng),6,3分)如圖,在ABC中,AD是BC邊上的高,BE平分ABC交AC邊于E,BAC=60,ABE=25,則DAC的大小是()A.15B.20C.25D.30答案答案BBE平分ABC,ABE=25,ABC=2ABE=50.ADBC,ADB=90,BAD=90-50=40.BAC=60,DAC=60-40=20,故選B.5.(2016浙江麗水,9,3分)用直尺和圓規(guī)作RtABC斜邊AB上的高CD,以下四個(gè)作圖中,作法錯(cuò)誤的是()解析解析DA.利用作線段垂直平分線的方法得出CDAB,從而CD是RtABC斜邊AB上的高.B.根據(jù)圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角知CD是RtABC斜邊AB上的高.C.根

23、據(jù)相交圓的兩圓心連線垂直平分公共弦知CD是RtABC斜邊AB上的高.D.無(wú)法證明CD是RtABC斜邊AB上的高.故選D.6.(2016福建漳州,8,4分)下列尺規(guī)作圖,能判斷AD是ABC邊上的高是()答案答案BA選項(xiàng),由作圖痕跡可以發(fā)現(xiàn)圖中的虛線應(yīng)該是BC的垂直平分線,所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),故AD是ABC的一條中線;B選項(xiàng)中的作圖痕跡是經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線,可以發(fā)現(xiàn)AD與BC所在直線是垂直的,故B正確;C選項(xiàng),由作圖痕跡可以發(fā)現(xiàn)圖中AD是BAC的平分線,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),由作圖痕跡可以發(fā)現(xiàn)圖中AD與AB垂直,垂足為點(diǎn)A,很顯然,D錯(cuò)誤.7.(2017福建,12,4分)如圖,ABC中,

24、D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),連接DE,若DE=3,則線段BC的長(zhǎng)等于.答案答案6解析解析D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),DE是ABC的中位線.BC=2DE,DE=3,BC=6.8.(2015湖南常德,15,3分)如圖,在ABC中,B=40,三角形ABC的外角DAC和ACF的平分線交于點(diǎn)E,則AEC=度.答案答案70解析解析如圖,因?yàn)锳E,CE分別平分DAC和ACF,所以EAC=DAC,ECA=ACF,又因?yàn)锽=40,B+1+2=180,所以DAC+ACF=(B+2)+(B+1)=(B+B+1+2)=220=110,所以AEC=180-(EAC+ECA)=180-=180-110=70,故答

25、案為70.121212121212121122DACACF9.(2016四川內(nèi)江,26,12分)問(wèn)題引入:(1)如圖,在ABC中,點(diǎn)O是ABC和ACB平分線的交點(diǎn),若A=,則BOC=(用表示);如圖,CBO=ABC,BCO=ACB,A=,則BOC=(用表示);拓展研究:(2)如圖,CBO=DBC,BCO=ECB,A=,猜想BOC=(用表示),并說(shuō)明理由;(3)BO、CO分別是ABC的外角DBC、ECB的n等分線,它們交于點(diǎn)O,CBO=DBC,BCO=ECB,A=,請(qǐng)猜想BOC=.131313131n1n解析解析(1)90+;120+.在ABC中,點(diǎn)O是ABC和ACB平分線的交點(diǎn),CBO=ABC

26、,BCO=ACB.A=,BOC=180-(CBO+BCO)=180-(ABC+ACB)=180-(180-A)=180-(180-)=180-90+=90+.CBO=ABC,BCO=ACB,A=,BOC=180-(ABC+ACB)121312121212121212131313=180-(180-A)=180-(180-)=180-60+=120+.(2)120-.理由:CBO=DBC,BCO=ECB,A=,BOC=180-(DBC+ECB)=180-360-(ABC+ACB)=180-360-(180-A)=180-(180+)=180-60-13131313131313131313=120

27、-.(3).CBO=DBC,BCO=ECB,A=,BOC=180-(DBC+ECB)=180-360-(ABC+ACB)=180-360-(180-A)=180-(180+)=180-.=.13(1) 180nn1n1n1n1n1n1n1nn1n(1) 180nn考點(diǎn)二全等三角形考點(diǎn)二全等三角形1.(2016淄博,11,4分)如圖,直線l1l2l3,一等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C分別在l1,l2,l3上,ACB=90,AC交l2于點(diǎn)D.已知l1與l2的距離為1.l2與l3的距離為3.則的值為()A.B.C.D.ABBD4 253455 2820 223答案答案A如圖,作BFl3,A

28、El3交l2于點(diǎn)G.ACB=90,BCF+ACE=90.BCF+CBF=90,ACE=CBF.又BFC=CEA=90,BC=CA,ACE CBF.CE=BF=3,CF=AE=4.BG=EF=CF+CE=7.AB=5.l2l3,=.DG=.BD=BG-DG=7-=.22BGAG2DGCEAGAE143434254=.故選擇A.ABBD5 22544 25解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.2.(2015福建莆田,6,4分)如圖,AEDF,AE=DF,要使EAC FDB,需要添加下列選項(xiàng)中的()A.AB=CDB.EC=BFC.A=DD.AB=BC答案答案AAEDF,A=D,若AB=

29、CD,則AC=BD,在EAC和FDB中,EAC FDB(SAS),故選A.,AEDFADACDB 3.(2017湖南懷化,15,4分)如圖,AC=DC,BC=EC,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:,使得ABC DEC.答案答案答案不唯一,如:AB=DE或ACB=DCE或ACD=BCE解析解析AC=DC,BC=EC,當(dāng)AB=DE時(shí),ABC DEC.同理,當(dāng)ACB=DCE或ACD=BCE時(shí),ABC DEC.4.(2018云南昆明,15,6分)如圖,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求證:BC=DE.證明證明1=2,1+DAC=2+DAC,即BAC=DAE,(1分)在ABC和ADE中,(3分)

30、ABC ADE(ASA),(5分)BC=DE.(6分)(其他證法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分),BACDAEABADBD 5.(2018河北,23,9分)如圖,A=B=50,P為AB中點(diǎn),點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一點(diǎn),連接MP,并使MP的延長(zhǎng)線交射線BD于點(diǎn)N,設(shè)BPN=.(1)求證:APM BPN;(2)當(dāng)MN=2BN時(shí),求的度數(shù);(3)若BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,直接寫(xiě)出的取值范圍.解析解析(1)證明:P為AB中點(diǎn),PA=PB.又A=B,MPA=NPB,APM BPN.(2)由(1)得PM=PN,MN=2PN,MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)4090.詳解:BPN的外心在該

31、三角形的內(nèi)部,BPN是銳角三角形,BPN和BNP都為銳角,又B=50,40BPN90,即4090.思路分析思路分析(1)根據(jù)ASA可證明:APM BPN;(2)根據(jù)APM BPN得MN=2PN,結(jié)合MN=2BN得出PN=BN,由等邊對(duì)等角可得結(jié)果;(3)只有銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部,根據(jù)BPN和BNP都為銳角及B=50可得的取值范圍.1.如果已知兩邊:(1)找?jiàn)A角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一條邊,利用SSS求解.方法歸納方法歸納證明三角形全等的一般思路:2.已知一邊和一角:(1)邊為角的對(duì)邊,則找任一角,利用AAS求解;(2)邊為角的一條邊:找角的另

32、一邊,利用SAS求解,找邊的另一角,利用ASA求解,找邊的對(duì)角,利用AAS求解.3.已知兩角:(1)找?jiàn)A邊,利用ASA求解;(2)找兩角中任意一角的對(duì)邊,利用AAS求解.6.(2017湖北武漢,18,8分)如圖,點(diǎn)C,F,E,B在一條直線上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.寫(xiě)出CD與AB之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解析解析CD與AB之間的關(guān)系為CD=AB,且CDAB.證明:CE=BF,CF=BE.在CDF和BAE中,CDF BAE,CD=BA,C=B,CDBA.,CFBECFDBEADFAE 思路分析思路分析先證明CDF BAE,再利用全等三角形的性質(zhì)得到CD與AB之間的關(guān)系.易錯(cuò)警示

33、易錯(cuò)警示CD與AB之間的位置關(guān)系是平行,數(shù)量關(guān)系是相等,本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只得到CD與AB之間的一種關(guān)系.7.(2017湖北孝感,18,8分)如圖,已知AB=CD,AEBD,CFBD,垂足分別為E、F,BF=DE.求證ABCD.證明證明AEBD,CFBD,AEB=CFD=90.BF=DE,BF+FE=DE+EF,即EB=DF.在RtDCF和RtBAE中,RtDCF RtBAE(HL),D=B,DCAB.,ABCDEBDF8.(2017湖南郴州,19,6分)已知ABC中,ABC=ACB,點(diǎn)D,E分別為邊AB,AC的中點(diǎn),求證:BE=CD.證明證明ABC=ACB,AB=AC,又D、E分別為邊AB

34、、AC中點(diǎn),AD=AE,在ADC和AEB中,ADC AEB(SAS).BE=CD.,ADAEAAACAB 9.(2017貴州銅仁,22,10分)如圖,已知點(diǎn)E,F分別是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD所在直線上的兩點(diǎn),連接AE,CF,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使得ABE CDF,并證明.解析解析添加的條件是DE=BF,理由:四邊形ABCD是平行四邊形,AB=CD,ABCD,EBA=FDC,DE=BF,DE+DB=BF+DB,即BE=DF,在ABE和CDF中,ABE CDF(SAS).,ABCDEBAFDCBEDF 10.(2016湖北孝感,18,8分)如圖,BDAC于點(diǎn)D,CEAB于點(diǎn)E,AD=AE.求證

35、:BE=CD.證明證明BDAC于點(diǎn)D,CEAB于點(diǎn)E,ADB=AEC=90.在ABD和ACE中,ABD ACE(ASA).AB=AC.又AD=AE,AB-AE=AC-AD,即BE=CD.,ADBAECADAEAA 11.(2016湖北宜昌,18,7分)楊陽(yáng)同學(xué)沿一段筆直的人行道行走,在由A步行到達(dá)B處的過(guò)程中,通過(guò)隔離帶的空隙O,剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的社會(huì)主義核心價(jià)值觀標(biāo)語(yǔ).其具體信息匯集如下,如圖,ABOHCD,相鄰兩平行線間的距離相等.AC,BD相交于O,ODCD,垂足為D.已知AB=20米.請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)CD的長(zhǎng)度.解析解析ABDC,ABO=CDO.又DOCD,CDO=90

36、,ABO=90,即BOAB.相鄰兩平行線間的距離相等,BO=DO.在BOA與DOC中,BOA DOC.CD=AB=20米.故標(biāo)語(yǔ)CD的長(zhǎng)度為20米.,AOBCODBODOABOCDO A A組組2016201820162018年模擬年模擬基礎(chǔ)題組基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì)考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì)三年模擬1.(2018泰安泰山學(xué)院附中二模,8)已知等腰三角形的腰和底的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-4x+3=0的根,則該三角形的周長(zhǎng)可以是()A.5B.7C.5或7D.10答案答案B解方程x2-4x+3=0,得x=1或x=3,根據(jù)題意,等腰三角形的腰只能是3,底邊是1,則該三角形的

37、周長(zhǎng)為3+3+1=7.2.(2018淄博周村二模,4)用三角板作ABC的邊BC上的高,下列三角板的擺放位置正確的是()答案答案A根據(jù)三角形高的定義,是從點(diǎn)A向邊BC引垂線,只有A符合要求.故選A.考點(diǎn)二全等三角形考點(diǎn)二全等三角形1.(2017日照莒縣一模,8)如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定ABC ADC的是()A.CB=CDB.BAC=DACC.BCA=DCAD.B=D=90答案答案C選項(xiàng)A,添加CB=CD,根據(jù)SSS判定ABC ADC,故選項(xiàng)A不符合題意;選項(xiàng)B,添加BAC=DAC,根據(jù)SAS判定ABC ADC,故選項(xiàng)B不符合題意;選項(xiàng)C,添加BCA=DCA,ASS

38、不能判定ABC ADC,故選項(xiàng)C符合題意;選項(xiàng)D,添加B=D=90,根據(jù)HL判定ABC ADC,故選項(xiàng)D不符合題意,故選C.2.(2018淄博沂源期中,19)如圖,已知AD是ABC的角平分線,在不添加任何輔助線的前提下,要使AED AFD,需添加一個(gè)條件是,并給予證明.解析解析本題答案不唯一.如:AE=AF或EDA=FDA或AED=AFD.證明:當(dāng)AE=AF時(shí),AD是ABC的角平分線,EAD=FAD.在AED和AFD中,AED AFD(SAS).,AEAFEADFADADAD 易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示本題容易添加條件DE=DF,誤用“SSA”.3.(2017濟(jì)南市中區(qū)一模,23)如圖,C是AB的中點(diǎn),

39、AD=BE,CD=CE.求證:A=B.證明證明C是AB的中點(diǎn),AC=BC,在ACD和BCE中,ACD BCE(SSS),A=B.,ACBCADBECDCE一、選擇題(每小題3分,共12分)1.(2018泰安新泰一模,11)如圖,已知在ABC中,CD是AB邊上的高線,BE平分ABC,交CD于點(diǎn)E,BC=5,DE=2,則BCE的面積等于()A.10B.7C.5D.4答案答案C如圖,過(guò)點(diǎn)E作EFBC于F,BE平分ABC,EDAB,EFBC,EF=DE=2,SBCE=BCEF=52=5.1212思路分析思路分析作EFBC于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF=DE=2,然后根據(jù)三角形面積公式即可求解.B B

40、組組 2016-2018 2016-2018年模擬年模擬提升題組提升題組( (時(shí)間時(shí)間: :2020分鐘分值分鐘分值: :3030分分) )2.(2018臨沂模擬,12)如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BCD=45,AD=2,BC=3,將腰CD以D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ED,連接AE、CE,則ADE的面積是()A.1B.2C.3D.不能確定答案答案A如圖,過(guò)點(diǎn)E作EFAD交AD延長(zhǎng)線于F,過(guò)點(diǎn)D作DGBC于G.將腰CD以D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ED,DE=DC,DEDC,CDG=EDF,CDG EDF,AD=2,BC=3,BCD=45,CG=1,DG=CG=DF=EF=1,AD

41、E的面積是21=1.123.(2018濟(jì)南歷城一模,10)如圖,ABC的面積為8cm2,BP平分ABC,APBP于P,連接PC,則PBC的面積為()A.2cm2B.3cm2C.4cm2D.5cm2答案答案C延長(zhǎng)AP交BC于E,如圖所示:BP平分ABC,ABP=EBP,APBP,APB=EPB=90,在ABP和EBP中,ABP EBP(ASA),AP=EP,SABP=SEBP,SACP=SECP,SPBC=SABC=8=4(cm2).,ABPEBPBPBPAPBEPB 1212思路分析思路分析延長(zhǎng)AP交BC于E,構(gòu)造全等三角形,再利用等底同高的性質(zhì)把PBC的面積轉(zhuǎn)化為ABC的面積的一半.4.(2

42、016泰安東平一模,16)如圖,在ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),AC=12,F是DE上一點(diǎn),連接AF,CF,DF=1.若AFC=90,則BC的長(zhǎng)度為()A.12B.13C.14D.15答案答案CAFC=90,E為AC的中點(diǎn),EF=AC=6,則DE=DF+EF=1+6=7.D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),DE為ABC的中位線,BC=2DE=14,故選C.12二、解答題(共18分) 5.(2017濰坊模擬,24)【問(wèn)題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相

43、等”的情形進(jìn)行研究.【初步思考】我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,對(duì)B進(jìn)行分類(lèi),可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.【深入探究】第一種情況:當(dāng)B是直角時(shí),ABC DEF.(1)如圖,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根據(jù),可以知道RtABC RtDEF.第二種情況:當(dāng)B是鈍角時(shí),ABC DEF.(2)如圖,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是鈍角.求證:ABCDEF.第三種情況:當(dāng)B是銳角時(shí),ABC和DEF不一定全等.(3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且

44、B、E都是銳角,請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中作出DEF,使DEF和ABC不全等.(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)(4)B還要滿足什么條件,就可以使ABC DEF?請(qǐng)直接填寫(xiě)結(jié)論:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是銳角,若,則ABCDEF.解析解析(1)HL.(2)證明:如圖,分別過(guò)點(diǎn)C、F作對(duì)邊AB、DE上的高CG、FH,其中G、H為垂足.ABC、DEF都是鈍角,G、H分別在AB、DE的延長(zhǎng)線上.CGAG,FHDH,CGA=FHD=90.CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH.在BCG和EFH中,CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF,B

45、CG EFH.CG=FH.又AC=DF,RtACG RtDFH.A=D.在ABC和DEF中,ABC=DEF,A=D,AC=DF,ABC DEF.圖(3)如圖,DEF就是所求作的三角形.圖(4)本題答案不唯一,下列解法供參考.BA.思路分析思路分析(1)直接利用HL得出RtABC RtDEF;(2)作CGAB,交AB的延長(zhǎng)線于G,作FHDE,交DE的延長(zhǎng)線于H.首先得出CBG FEH(AAS),則CG=FH,進(jìn)而得出RtACG RtDFH,再證出ABC DEF;(3)利用已知圖形再作一個(gè)鈍角三角形即可得出答案;(4)利用(3)中方法可得出當(dāng)BA時(shí),ABC DEF.6.(2016濱州一模,21)已

46、知:如圖,ABC和ECD都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,D為AB邊上一點(diǎn).求證:(1)ACE BCD;(2)AD2+AE2=DE2.證明證明(1)ACB=DCE=90,ACE=BCD,又ABC和ECD都是等腰直角三角形,AC=BC,EC=DC,ACE BCD(SAS).(2)由(1)知ACE BCD,EAC=B=45.又CAB=45,EAD=90,ADE是直角三角形,AD2+AE2=DE2.C C組組2016201820162018年模擬年模擬探究題組探究題組1.(2018泰安中考樣題,22)如圖,已知ABC中,AB=AC,把ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到ADE,連接BD,CE,且

47、BD,CE交于點(diǎn)F.(1)求證:AEC ADB;(2)若AB=2,BAC=45,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí),求BF的長(zhǎng).解析解析(1)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABC ADE,AB=AC,AE=AD=AC=AB,BAC=DAE,BAC+BAE=DAE+BAE,即CAE=BAD.在AEC和ADB中,AEC ADB(SAS).(2)四邊形ADFC是菱形,DF=AC=AB=2,ACDF.又BAC=45,DBA=BAC=45.由(1)可知AB=AD,DBA=BDA=45,ABD是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,BD2=2AB2=8,即BD=2,BF=BD-DF=2-2.,AEADCAEBADACAB 22解題關(guān)

48、鍵解題關(guān)鍵此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及菱形的性質(zhì),熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.2.(2017日照模擬,23)在ABC和DEC中,AC=BC,DC=EC,ACB=ECD=90.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)A、C、D在同一條直線上時(shí),求證:AFBD;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時(shí),求證:AFBD;(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CF并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G,AFG是一個(gè)固定的值嗎?若是,求出AFG的度數(shù);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析解析(1)證明:在ACE和BCD中,ACE BCD,EAC=DBC,AEC=BEF,BFE=ACE=90,AFBD.(2)證明:如圖,ACB=ECD=90,ACBCACEBCDCECD ACB+ACD=ECD+ACD,BCD=ACE.在ACE和BCD中,ACE BCD,1=2,3=4,BFA=BCA=90,AFBD.(3)AFG是一個(gè)固定值.如圖,過(guò)點(diǎn)C作CMBD,CNAE,垂足分別為M、N,ACBCACEDCBCECD ACE BCD,SACE=SBCD,AE=BD,AECN=BDCM,CM=CN,CMBD,CNAE,FC平分BFE,AFBD,BFE=90,EFC=45,AFG=45.1212