（東營專版）2019年中考數(shù)學復習 專題類型突破 專題四 幾何變換綜合題訓練

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1、專題四幾何變換綜合題類型一 涉及一個動點的幾何問題 (2018長春中考)如圖，在RtABC中，C90，A30，AB4，動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動過點P作PDAC于點D(點P不與點A，B重合)，作DPQ60，邊PQ交射線DC于點Q.設點P的運動時間為t秒(1)用含t的代數(shù)式表示線段DC的長；(2)當點Q與點C重合時，求t的值；(3)設PDQ與ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式；(4)當線段PQ的垂直平分線經(jīng)過ABC一邊中點時，直接寫出t的值【分析】 (1)先求出AC，用三角函數(shù)求出AD，即可得出結論；(2)利用ADDQAC，即可得出結論；(3

2、)分兩種情況，利用三角形的面積公式和面積差即可得出結論；(4)分三種情況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結論【自主解答】 1(2018江西中考)在菱形ABCD中，ABC60，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊APE，點E的位置隨著點P的位置變化而變化(1)如圖1，當點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CE，BP與CE的數(shù)量關系是_，CE與AD的位置關系是_；(2)當點E在菱形ABCD外部時，(1)中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理)；(3)如圖4，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE，若AB2，BE2，求四邊形ADP

3、E的面積類型二 涉及兩個動點的幾何問題 (2018青島中考)已知：如圖，四邊形ABCD，ABDC，CBAB，AB 16 cm，BC6 cm，CD8 cm，動點P從點D開始沿DA邊勻速運動，動點Q從點A開始沿AB邊勻速運動，它們的運動速度均為2 cm/s.點P和點Q同時出發(fā)，以QA，QP為邊作平行四邊形AQPE，設運動的時間為t(s)，0t5.根據(jù)題意解答下列問題：(1)用含t的代數(shù)式表示AP；(2)設四邊形CPQB的面積為S(cm2)，求S與t的函數(shù)關系式；(3)當QPBD時，求t的值；(4)在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點E在ABD的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由【

4、分析】 (1)作DHAB于點H，則四邊形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的長即可解決問題；(2)作PNAB于N，連接PB，根據(jù)SSPQBSBCP計算即可；(3)當QPBD時，PQNDBA90，QPNPQN90，推出QPNDBA，由此利用三角函數(shù)即可解決問題；(4)連接BE交DH于點K，作KMBD于點M.當BE平分ABD時，KBHKBM，推出KHKM.作EFAB于點F，則AEFQPN，推出EFPN，AFQN，由KHEF可得，由此構建方程即可解決問題【自主解答】 2(2018黃岡中考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的邊OA在x軸正半軸上，點B，C在第一象限，C120，邊長OA8.

5、點M從原點O出發(fā)沿x軸正半軸以每秒1個單位長的速度作勻速運動，點N從A出發(fā)沿邊ABBCCO以每秒2個單位長的速度作勻速運動，過點M作直線MP垂直于x軸并交折線OCB于P，交對角線OB于Q，點M和點N同時出發(fā)，分別沿各自路線運動，點N運動到原點O時，M和N兩點同時停止運動(1)當t2時，求線段PQ的長；(2)求t為何值時，點P與N重合；(3)設APN的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式及t的取值范圍類型三 圖形的平移變換 (2017揚州中考)如圖，將ABC沿著射線BC方向平移至ABC，使點A落在ACB的外角平分線CD上，連接AA.(1)判斷四邊形ACCA的形狀，并說明理由；(2)在ABC中，B90，

6、AB24，cosBAC，求CB的長【分析】 (1)根據(jù)平行四邊形的判定定理(有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)知四邊形ACCA是平行四邊形再根據(jù)對角線平分對角的平行四邊形是菱形知四邊形ACCA是菱形(2)通過解直角ABC得到AC，BC的長度，由(1)中菱形ACCA的性質推知ACAA，由平移的性質得四邊形ABBA是平行四邊形，則AABB，所以CBBBBC.【自主解答】 平移變換命題的呈現(xiàn)形式主要有：(1)坐標系中的點、函數(shù)圖象的平移問題；(2)涉及基本圖形平移的幾何問題；(3)利用平移變換作為工具解題其解題思路：(1)特殊點法：解題的關鍵是學會運用轉化的思想，如坐標系中圖象的平移問題，一

7、般是通過圖象上一個關鍵(特殊)點的平移來研究整個圖象的平移；(2)集中條件法：通過平移變換添加輔助線，集中條件，使問題獲得解決；(3)綜合法：已知條件中涉及基本圖形的平移或要求利用平移作圖的問題時，要注意找準對應點，看清對應邊，注意變換性質的理解和運用3(2018安徽中考)如圖，直線l1，l2都與直線l垂直，垂足分別為M，N，MN1.正方形ABCD的邊長為，對角線AC在直線l上，且點C位于點M處將正方形ABCD沿l向右平移，直到點A與點N重合為止記點C平移的距離為x，正方形ABCD的邊位于l1，l2之間部分的長度和為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致為( )4如圖，在平面直角坐標系中，AOB的頂點O

8、為坐標原點，點A的坐標為(4，0)，點B的坐標為(0，1)，點C為邊AB的中點，正方形OBDE的頂點E在x軸的正半軸上，連接CO，CD，CE.(1)線段OC的長為_；(2)求證：CBDCOE；(3)將正方形OBDE沿x軸正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中點O，B，D，E的對應點分別為點O1，B1，D1，E1，連接CD1，CE1，設點E1的坐標為(a，0)，其中a2，CD1E1的面積為S.當1a2時，請直接寫出S與a之間的函數(shù)解析式；在平移過程中，當S時，請直接寫出a的值類型四 圖形的旋轉變換 (2017濰坊中考)邊長為6的等邊ABC中，點D，E分別在AC，BC邊上，DEAB，EC2.(

9、1)如圖1，將DEC沿射線EC方向平移，得到DEC，邊DE與AC的交點為M，邊CD與ACC的角平分線交于點N.當CC多大時，四邊形MCND為菱形？并說明理由(2)如圖2，將DEC繞點C旋轉(0AC，其他條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結論還成立嗎？請說明理由(3)深入探究：如圖3，小明在(2)的基礎上，又作了進一步探究，向ABC的內(nèi)側分別作等腰直角三角形ABD，ACE.其他條件不變，試判斷GMN的形狀，并給予證明【分析】 (1)利用SAS判斷出AEBACD，得出EBCD，AEBACD，進而判斷出EBCD，最后用三角形中位線定理即可得出結論；(2)同(1)的方法即可得出結論；(3)同(1)的方法得出MG

10、NG，最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結論【自主解答】 8(2018日照中考)問題背景：我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半即：如圖1，在RtABC中，ACB90，ABC30，則ACAB.探究結論：小明同學對以上結論作了進一步探究(1)如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CEAB，易得結論：ACE為等邊三角形；BE與CE之間的數(shù)量關系為_；(2)如圖2，點D是邊CB上任意一點，連接AD，作等邊ADE，且點E在ACB的內(nèi)部，連接BE.試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關系，寫出你的猜想并加以證明；(3)當點D為邊

11、CB延長線上任意一點時，在(2)條件的基礎上，線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的結論_；拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(，1)，點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等邊ABC.當C點在第一象限內(nèi)，且B(2，0)時，求C點的坐標參考答案類型一【例1】 (1)在RtABC中，A30，AB4，AC2.PDAC，ADPCDP90.在RtADP中，AP2t，DPt，ADt，CDACAD2t(0t2)(2)在RtPDQ中，DPQ60，PQD30A，PAPQ.PDAC，ADDQ.點Q和點C重合，ADDQAC，2t2，t1.(3)當0t1時，SSPDQDQDPt

12、tt2.如圖，當1t2時，CQAQAC2ADAC2t22(t1)在RtCEQ中，CQE30，CECQtanCQE2(t1)2(t1)，SSPDQSECQtt2(t1)2(t1)t24t2，S(4)如圖，當PQ的垂直平分線過AB的中點F時，PGF90，PGPQAPt，AFAB2.AAQP30，F(xiàn)PG60，PFG30，PF2PG2t，APPF2t2t2，t.如圖，當PQ的垂直平分線過AC的中點N時，QMN90，ANAC，QMPQAPt.在RtNMQ中，NQt.ANNQAQ，t2t，t.如圖，當PQ的垂直平分線過BC的中點F時，BFBC1，PEPQt，H30.ABC60，BFH30H，BHBF1.在

13、RtPEH中，PH2PE2t.AHAPPHABBH，2t2t5，t.即當線段PQ的垂直平分線經(jīng)過ABC一邊中點時，t的值為或或.變式訓練1解：(1)BPCECEAD提示：如圖，連接AC.四邊形ABCD是菱形，ABC60，ABC，ACD都是等邊三角形，ABDCBD30，ABAC.又APE是等邊三角形，APAE，BACPAE60，BAPCAE，BAPCAE，BPCE，ABPACE30.延長CE交AD于點H.CAH60，CAHACH90，AHC90，即CEAD.(2)結論仍然成立理由：如圖，連接AC交BD于點O，設CE交AD于點H.四邊形ABCD是菱形，ABC60，ABC，ACD都是等邊三角形，AB

14、DCBD30，ABAC.APE是等邊三角形，APAE，BACPAE60，BAPCAE，BAPCAE，BPCE，ABPACE30.CAH60，CAHACH90，AHC90，即CEAD.也可選用圖3進行證明，方法同上(3)如圖，連接AC交BD于點O，連接CE交AD于點H，由(2)可知ECAD，CEBP.在菱形ABCD中，ADBC，ECBC.BCAB2，BE2，在RtBCE中，EC8，BPCE8.AC與BD是菱形的對角線，ABDABC30，ACBD，BD2BO2ABcos 306，OAAB，DPBPBD862，OPODDP5.在RtAOP中，AP2，S四邊形ADPESADPSAEP2(2)28.類型

15、二【例2】 (1)如圖，作DHAB于點H，則四邊形DHBC是矩形，CDBH8，DHBC6.AHABBH8，AD10，APADDP102t.(2)如圖，作PNAB于點N，連接PB.在RtAPN中，PA102t，PNPAsinDAH(102t)，ANPAcosDAH(102t)，BN16AN16(102t)，SSPQBSBCP(162t)(102t)616(102t)t2t72.(3)當QPBD時，PQNDBA90.QPNPQN90，QPNDBA，tanQPN，解得t.經(jīng)檢驗，t是分式方程的解，且符合題意，當t時，QPBD.(4)存在理由如下：如圖，連接BE交DH于點K，作KMBD于點M.當BE平

16、分ABD時，KBHKBM，KHKM，BHBM8.BD10，DM2.設KHKMx，在RtDKM中，(6x)222x2，解得x.如圖，作EFAB于點F，則AEFQPN，EFPN(102t)，AFQN(102t)2t.BF16(102t)2tKHEF，解得t.經(jīng)檢驗，t是分式方程的解，且符合題意，當t時，點E在ABD的平分線上變式訓練2解：(1)當t2時，OM2，在RtOPM中，POM60，PMOMtan 602.在RtOMQ中，QOM30，QMOMtan 30，PQPMQM2.(2)當t4時，ANPO2OM2t，t4時，P到達C點，N到達B點，點P，N在邊BC上相遇設t秒時，點P與N重合，則(t4

17、)2(t4)8，解得t，即t秒時，點P與N重合(3)當0t4時，S2t44t.當4t時，S8(t4)(2t8)4406t.當t8時，S(t4)(2t8)846t40.當8t12時，SS菱形ABCOSAONSABPSCPN32(242t)48(t4)4(t4)(2t16)t212t56.綜上所述，S與t的函數(shù)關系式為S類型三【例3】 (1)四邊形ACCA是菱形理由如下：由平移的性質得到ACAC，且ACAC，則四邊形ACCA是平行四邊形，ACCAAC.又CD平分ACB的外角，即CD平分ACC，易證CD也平分AAC，四邊形ACCA是菱形(2)在ABC中，B90，AB24，cosBAC，cosBAC，

18、即，AC26，由勾股定理知BC10.又由(1)知，四邊形ACCA是菱形，ACAA26.由平移的性質得到ABAB，ABAB，則四邊形ABBA是平行四邊形，AABB26，CBBBBC261016.變式訓練3A4解：(1)(2)AOB90，點C是AB的中點，OCBCAB，CBOCOB.四邊形OBDE是正方形，BDOE，DBOEOB90，CBDCOE.在CBD和COE中， CBDCOE(SAS)(3)Sa1.a或.類型四【例4】 (1)當CC時，四邊形MCND為菱形理由：由平移的性質得CDCD，DEDE.ABC為等邊三角形，BACB60，ACC18060120.CN是ACC的角平分線，NCC60.AB

19、DE，DEDE，ABDE，DECB60，DECNCC，DECN，四邊形MCND為平行四邊形MECMCE60，NCCNCC60，MCE和NCC為等邊三角形，MCCE，NCCC.又EC2，CC，CECC，MCCN，四邊形MCND為菱形(2)ADBE.理由：當180時，由旋轉的性質得ACDBCE.由(1)知ACBC，CDCE，ACDBCE，ADBE.當180時，ADACCD，BEBCCE，即ADBE.綜上可知，ADBE.如圖，連接CP，在ACP中，由三角形三邊關系得APACCP，當A，C，P三點共線時AP最大此時，APACCP.在DCE中，由P為DE中點得APDE，PD，CP3，AP639.在RtA

20、PD中，由勾股定理得AD2.變式訓練5(1)解：菱形(2)證明：點F是CC的中點，CFFC.FGAF，四邊形ACGC是平行四邊形在RtABC和RtACD中，BACACB90，ACBDAC，BACDAC90.又B，A，D三點在同一條直線上，CAC90，四邊形ACGC是矩形ACAC，四邊形ACGC是正方形(3)解：在RtABC和RtBCD中，BCBD2.RtABCRtBCD，DBCBAC90，BHA90，BCAC.在RtABC中，ACBHBCAB，即4BH22，BH，CHBCBH4.在RtABH中，AH1，CH413，tanCCH，tanCCH的值為.類型五【例5】 (1)折疊紙片使B點落在邊AD

21、上的E處，折痕為PQ，點B與點E關于PQ對稱，PBPE，BFEF，BPFEPF.又EFAB，BPFEFP，EPF EFP，EPEF，BPBFFEEP，四邊形BFEP為菱形(2)如圖1，圖1四邊形ABCD為矩形，BCAD5 cm，CDAB3 cm，AD90.點B與點E關于PQ對稱，CEBC5 cm.在RtCDE中，DE2CE2CD2，即DE25232，DE4 cm，AEADDE541(cm)在RtAPE中，AE1，AP3PB3PE，EP212(3EP)2，解得EP cm，菱形BFEP的邊長為 cm.圖2當點Q與點C重合時，如圖1，點E離A點最近，由知，此時AE1 cm.當點P與點A重合時，如圖2

22、，點E離A點最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AEAB3 cm，點E在邊AD上移動的最大距離為2 cm.變式訓練6(1)證明：根據(jù)折疊的性質知DBCDBE.又ADBC，DBCADB，DBEADB，DFBF，BDF是等腰三角形(2)解：四邊形ABCD是矩形，ADBC，F(xiàn)DBG.又DGBE，四邊形BFDG是平行四邊形DFBF，四邊形BFDG是菱形AB6，AD8，BD10，OBBD5.假設DFBFx，則AFADDF8x，在RtABF中，AB2AF2BF2，即62(8x)2x2，解得x，即BF，F(xiàn)O，F(xiàn)G2FO.類型六【例6】 (1)如圖，過點A作APEF，交CD于點P，過點B作BQGH，交AD于點Q

23、，交AP于點T.四邊形ABCD是矩形，ABDC，ADBC，四邊形AEFP和四邊形BHGQ都是平行四邊形，APEF，GHBQ.GHEF，APBQ，QATAQT90.四邊形ABCD是矩形，DABD90，DAPDPA90，AQTDPA，PDAQAB，.(2).提示：EFGH，AMBN，由(1)結論可得，.(3)如圖，過D作AB的平行線，交BC的延長線于E，作AFAB交ED延長線于點F.BAFBE90，四邊形ABEF是矩形連接AC，由已知條件得ADCABC，ADCABC90，1290.又2390，13，ADFDCE，.設DEx，則AF2x，DF10x.在RtADF中，AF2DF2AD2，即(2x)2(

24、10x)2100，解得x14，x20(舍去)，AF2x8，.變式訓練7(1)證明：EHAB，BAC90，EHCA，BHEBAC，.，HEDC.EHDC，四邊形DHEC是平行四邊形證明：，BAC90，ACAB.，HEDC，.BHE90，BHHE.HEDC，BHCD，AHAD.DMAE，EHAB，EHAAMF90，HAEHEAHAEAFM90，HEAAFD.EHAFAD90，HEAAFD，AEDF.(2)解：如圖，過點E作EGAB于點G.CAAB，EGCA，EGBCAB，.，EGCD.設EGCD3x，AC3y，BE5x，BC5y，BG4x，AB4y.EGAAMF90，GEAEAGEAGAFM，AF

25、MAEG.FADEGA90，F(xiàn)ADEGA，.類型七【例7】 (1)MGNGMGNG提示：如圖，連接EB，DC，EB，DC交于點F.AEAC，ABAD，EACBAD90，EABCAD，AEBACD，EBCD，AEBACD.AHEFHC，EFCEAC90，EBCD.M，N，G分別是BD，CE，BC的中點，NGEB，且NGEB，MGCD，且MGCD，MGNG，MGNG.(2)成立理由：類似于(1)的證明方法，可以得出ADCABE，從而得出EBCD，再利用三角形中位線定理可證明結論還成立(3)GMN是等腰直角三角形證明：如圖，連接EB，DC，并分別延長交于點F.AEAC，ABAD，EABCAD，AEB

26、ACD，EBCD，AEBACD，AEBACF180.又EAC90，F(xiàn)90，EBCD.M，N，G分別是BD，CE，BC的中點，NGEB，且NGEB，MGCD，且MGCD，MGNG，MGNG，GMN是等腰直角三角形變式訓練8解：(1)BECE(2)BEDE.證明如下：如圖，取AB的中點P，連接EP.由(1)結論可知CPA為等邊三角形，CAP60，CAPA.ADE為等邊三角形，DAE60，ADAE，CAPDAE，CAPDABDAEDAB，CADPAE，ACDAPE(SAS)，APEACD90，EPAB.P為AB的中點，AEBE.DEAE，BEDE.(3)BEDE拓展應用：如圖，連接OA，OC，過點A作AHx軸于點H.A的坐標為(，1)，AOH30.由探究結論(3)可知COCB.O(0，0)，B(2，0)，點C的橫坐標為1.設C(1，m)CO2CB212m2，AB212(2)2，ABCB，12m212(2)2，m2，C點的坐標是(1，2)31