湖南省邵陽市2018年中考數(shù)學(xué)提分訓(xùn)練 圖形的相似（含解析）

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1、2018年中考數(shù)學(xué)提分訓(xùn)練: 圖形的相似一、選擇題1.如圖，ABC中，BCDA，DEBC，與ABC相似的三角形（ABC自身除外）的個數(shù)是（ ）A.1個B.2個C.3個D.4個2.在ABC中，點D,E分別為邊AB,AC的中點，則ADE與ABC的面積之比為（ ） A.B.C.D.3.如圖，ABCDEF，相似比為12，若BC1，則EF的長是（ ）A.1B.2C.3D.44.如圖，DEF是由ABC經(jīng)過位似變換得到的，點O是位似中心，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點，則DEF與ABC的面積比是（ ）A.12B.14C.15D.165.如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，點D的對應(yīng)點落在BC上點F處，過

2、點F作FGCD，連接EF，DG，下列結(jié)論中正確的有（ ）ADG=AFG；四邊形DEFG是菱形；DG2= AEEG；若AB=4，AD=5，則CE=1A.B.C.D.6.如圖， 與 中， 交 于 給出下列結(jié)論：C=E；ADEFDB；AFE=AFC；FD=FB其中正確的結(jié)論是（ ） A.B.C.D.7.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BGAE于點G，BG4 ，則EFC的周長為（ ）A.11B.10C.9D.88.如圖，已知在ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DEBC，AD：BD=2：1，點F在AC上，AF：FC=1：2，聯(lián)結(jié)BF，

3、交DE于點G，那么DG：GE等于（ ）A.1：2B.1：3C.2：3D.2：59.如圖，ABC中，D，E是BC邊上的點，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC邊上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，則BH：HG：GM等于（ ）A.4：2：1B.5：3：1C.25：12：5D.51：24：1010.如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點F與點C是一對對應(yīng)點，點F的坐標(biāo)是（1，1），點C的坐標(biāo)是（4，2）；則它們的位似中心的坐標(biāo)是（ ）A.（0，0）B.（1，0）C.（2，0）D.（3，0）11.已知點C在線段AB上，且點C是線段AB的黃金分割點（ACBC），則下列結(jié)論正

4、確的是（ ） A.AB2=ACBCB.BC2=ACBCC.AC= BCD.BC= AB12.如圖， 是等邊三角形， 是等腰直角三角形， ， 于點 ，連 分別交 ， 于點 ， ，過點 作 交 于點 ，則下列結(jié)論： ； ； ； ； .A.5B.4C.3D.2二、填空題（共8題；共8分）13.已知 ，則 =_ 14.已知點 在線段 上，且 ,那么 _ 15.如圖，直線l1l2l3 ， 直線AC交l1 ， l2 ， l3 ， 于點A，B，C；直線DF交l1 ， l2 ， l3于點D，E，F(xiàn)，已知 ，則 =_。16.如圖，矩形ABCD中， ，點E在AB上，點F在CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形E

5、GFH是菱形，且EHBC，則AGGHHC=_17.如圖，等腰直角三角形ABC的頂點A ， C在x軸上，BCA=90，AC=BC= ，反比例函數(shù)y= （k0）的圖象過BC中點E ， 交AB于點D ， 連接DE ， 當(dāng)BDEBCA時，k的值為_.18.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB4，BC8，過點O作OEAC交AD于點E，則AE的長為_19.如圖所示，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于_米20.九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一

6、個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖， 是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門 位于 的中點，南門 位于 的中點，出東門15步的 處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于 處的樹木（即點 在直線 上）？請你計算 的長為_步三、解答題 21.已知：如圖，在ABC的中，AD是角平分線，E是AD上一點，且AB ：AC = AE ：AD求證：BE=BD22.如圖，已知菱形BEDF，內(nèi)接于ABC，點E，D，F(xiàn)分別在AB，AC和BC上若AB=15cm，BC=12cm，求菱形邊長23.一塊材料的形狀是銳角三角形ABC

7、，邊BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上且矩形的長與寬的比為3：2，求這個矩形零件的邊長24.周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標(biāo)桿DE，使得點E與點C、A共線已知：CBAD，EDAD，測得BC1m，DE1.5m，BD8.5m測量示意圖如圖所示請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB25.如圖1，一副直角三角板滿足ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF3

8、0【操作】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q（1）【探究一】在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng) 時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明._如圖3，當(dāng) 時E P與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由._根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng) 時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為_,其中 的取值范圍是_(直接寫出結(jié)論，不必證明) （2）【探究二】若 且AC30cm，連續(xù)PQ，設(shè)EPQ的面積為S(cm2)，在旋轉(zhuǎn)過程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說明理由.隨著S取不同

9、的值，對應(yīng)EPQ的個數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng)S值的取值范圍. 答案解析 一、選擇題1.【答案】B 【解析】 DEBC BCDABC有兩個與ABC相似的三角形故答案為：B.【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似得出ADE ABC, 由有兩個角對應(yīng)相等的三角形三角形相似得出BCDABC，從而得出有兩個與ABC相似的三角形。2.【答案】C 【解析】 ：如圖，點D、E分別為邊AB、AC的中點，DE為ABC的中位線，DEBC，ADEABC， =（ ）2= 故答案為：C【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出DEBC，根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截得的三角形與原

10、三角形相似得出ADEABC，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出答案。3.【答案】B 【解析】 ：ABCDEF，相似比為12EF=2故答案為：B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及相似比，得出，即可求解。4.【答案】B 【解析】 ：D、F分別是OA、OC的中點，DF是AOC的中位線。DF=AC，DEF是由ABC經(jīng)過位似變換得到的DEF與ABC的相似比是1:2，DEF與ABC的面積比是1:4故答案為：B【分析】根據(jù)D、F分別是OA、OC的中點，可證得DF是AOC的中位線?？勺C得DF和AC的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)DEF是由ABC經(jīng)過位似變換得到的，即可求得結(jié)果。5.【答案】B 【解析】 由折疊的性質(zhì)

11、可得：ADG=AFG（故正確）；由折疊的性質(zhì)可知：DGE=FGE，DEG=FEG，DE=FE，F(xiàn)GCD，F(xiàn)GE=DEG，DGE=FEG，DGFE，四邊形DEFG是平行四邊形，又DE=FE，四邊形DEFG是菱形（故正確）；如圖所示，連接DF交AE于O，四邊形DEFG為菱形，GEDF，OG=OE= GE，DOE=ADE=90，OED=DEA，DOEADE， ，即DE2=EOAE，EO= GE，DE=DG，DG2= AEEG，故正確；由折疊的性質(zhì)可知，AF=AD=5，DE=FE，AB=4，B=90，BF= ，F(xiàn)C=BC-BF=2，設(shè)CE=x，則FE=DE=4-x，在RtCEF中，由勾股定理可得： ，

12、解得： .故錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論是.故答案為：B.【分析】由折疊的性質(zhì)可得：ADG=AFG（故正確）；由折疊的性質(zhì)可知：DGE=FGE，DEG=FEG，DE=FE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出FGE=DEG，根據(jù)等量代換得出DGE=FEG，根據(jù)平行線的判定得出DGFE，進而根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形DEFG是平行四邊形，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出四邊形DEFG是菱形（故正確）；如圖所示，連接DF交AE于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出GEDF，OG=OE=GE，然后判定出DOEADE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出DE2=EOAE，又EO=GE，DE=DG，從而得出結(jié)論DG2= 1 2

13、AEEG，故正確；由折疊的性質(zhì)可知，AF=AD=5，DE=FE，根據(jù)勾股定理得出BF的長度，由FC=BC-BF得出FC的長，設(shè)CE=x，則FE=DE=4-x，在RtCEF中，由勾股定理可得關(guān)于x的方程，求解得出x的值，進而判斷出錯誤。6.【答案】B 【解析】 證明：在ABC和AEF中，ABCAEF（SAS）C=AFE，故錯誤；B=E，ADE=FDBADEFDB故正確；ABCAEFAF=AC，AFE=CAFC=CAFE=AFC故正確；AB=AEADEADEB=E，ADE=BDFBBDF，F(xiàn)DFB故錯誤故答案為：B【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)，可對作出判斷；根據(jù)相似三

14、角形的判定，可對作出判斷；即可得出答案。7.【答案】D 【解析】 ：四邊形ABCD為平行四邊形，ABCD,ADBC，BAE=AFD，DAF=AEB，AF為BAD的角平分線，BAE=EAD，AFD=EAD，BAE=AEB，CEF=CFE，ABE，ADF，CEF都是等腰三角形，又AB=6，AD=9，AB=BE=6，AD=DF=9，CE=CF=3.BGAE,BG=4， 由勾股定理可得：AG2=AB2BG2AG2=62-（4）解之：AG=2AE=2AG=4，ABCD，ABEFCE.=AE=2EF即4=2EFEF=2，EFC的周長為：CE+CF+EF=3+3+2=8故答案為：D【分析】根據(jù)平行四邊形的性

15、質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定，可證ABE，ADF，CEF都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出CE、CF的長度，然后利用勾股定理求得AG的長度，繼而可得出AE的長度，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF的長度，然后可求出EFC的周長。8.【答案】B 【解析】 DEBC， =2，CE：CA=1：3， = = ，AF：FC=1：2，AF：AC=1：3，AF=EF=EC，EG：BC=1：2，設(shè)EG=m，則BC=2m，DE= m，DG= mm= m，DG：GE= m：m=1：3，故答案為：B【分析】由平行線分線段成比例定理可得,所以CE：CA=1：3，,由已知可得AF：AC=1：3，所以AF=EF

16、=EC，EG：BC=1：2，設(shè)EG=m，則BC=2m，則DE=m，DG=mm=m，所以DG：GE=m：m=1：3。9.【答案】D 【解析】 連接EM，CE：CD=CM：CA=1：3EM平行于ADBHDBME，CEMCDAHD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3AH=（3 ）ME，AH：ME=12：5HG：GM=AH：EM=12：5設(shè)GM=5k，GH=12k，BH：HM=3：2=BH：17kBH= K，BH：HG：GM= k：12k：5k=51：24：10，故答案為：D【分析】連接EM，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得EM平行于AD，由相似三角形的判定可得BHDBME，CEM

17、CDA，所以可得比例式HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3，則AH=AD-DH=3ME-ME=（3-）ME=ME，所以AH：ME=12：5，則HG：GM=AH：EM=12：5，設(shè)GM=5k，GH=12k，由EM平行于AD可得比例式BH：HM=BD：DE=3：2=BH：17k，解得BH=K，所以BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10。10.【答案】C 【解析】 點F與點C是一對對應(yīng)點，可知兩個位似圖形在位似中心同旁，位似中心就是CF與x軸的交點，設(shè)直線CF解析式為y=kx+b，將C（4，2），F(xiàn)（1，1）代入，得 ，解得 ，即y= x+ ，令y=0得x=2

18、，O坐標(biāo)是（2，0）；故答案為：C【分析】由位似圖形的性質(zhì)可得位似中心在直線CF上，已知點F與點C是一對對應(yīng)點，所以兩個位似圖形在位似中心同旁，由圖形所在位置可得位似中心就是CF與x軸的交點，所以設(shè)直線CF解析式為y=kx+b，將C（4，2），F(xiàn)（1，1）代入解析式可得關(guān)于k、b的方程組，解得k=,b=,則直線CF解析式為y=x+,因為CF與x軸相交，所以y=0，即x+=0,解得x=2，所以O(shè)坐標(biāo)是（2，0）。11.【答案】D 【解析】 點C是線段AB的黃金分割點且ACBC， ，即AC2=BCAB，故A、B不符合題意；AC= AB，故C不符合題意；BC= = AB，故D符合題意；故答案為：D【

19、分析】點C是線段AB的黃金分割點且ACBC，從而得出BCAC=ACAB=,根據(jù)等比性質(zhì)即可一一作出判斷。12.【答案】B 【解析】【解答】解：ABC為等邊三角形，ABD為等腰直角三角形，BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，CAD是等腰三角形，且頂角CAD=150，ADC=15，故正確；AEBD，即AED=90，DAE=45，AFG=ADC+DAE=60，F(xiàn)AG=45，AGF=75，由AFGAGF知AFAG，故錯誤；記AH與CD的交點為P，由AHCD且AFG=60知FAP=30，則BAH=ADC=15，在ADF和BAH中， ，ADFBAH（ASA），DF=AH，故

20、正確；AFG=CBG=60，AGF=CGB，AFGCBG，故正確；在RtAPF中，設(shè)PF=x，則AF=2x、AP= x，設(shè)EF=a，ADFBAH，BH=AF=2x，ABE中，AEB=90、ABE=45，BE=AE=AF+EF=a+2x，EH=BE-BH=a+2x-2x=a，APF=AEH=90，F(xiàn)AP=HAE，PAFEAH， ，即 ，整理，得：2x2=（ -1）ax，由x0得2x=（ -1）a，即AF=（ -1）EF，故正確；故答案為：B【分析】根據(jù)等腰直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)，及它們有一條公共邊得出BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，從而得出CAD是等腰三

21、角形，且頂角CAD=150，從而判斷出ADC=15，故正確；根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出DAE=45，根據(jù)三角形的外角定理得出AFG，AGF的度數(shù)，由AFGAGF知AFAG，故錯誤；記AH與CD的交點為P，由三角形的內(nèi)角和得出FAP=30，根據(jù)角的和差及等量代換得出BAH=ADC=15，由ASA判斷出ADFBAH根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出DF=AH，故正確；由AFG=CBG=60，AGF=CGB，判斷出AFGCBG，故正確；在RtAPF中，設(shè)PF=x，則AF=2x，根據(jù)勾股定理表示出AP，設(shè)EF=a，由ADFBAH，得出BH=AF=2x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=AE=AF+EF=a+2x

22、，進而得出EH=BE-BH=a+2x-2x=a，然后判斷出PAFEAH，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出PFEHAPAE，從而得出關(guān)于x的方程，求解得出結(jié)論2x=（-1）a，即AF=（-1）EF，故正確。二、填空題13.【答案】【解析】 ：設(shè)a=2x，b=3x=故答案為：【分析】根據(jù)a與b的比值，可設(shè)a=2x，b=3x，代入計算即可求解，或利用合比性質(zhì)求解即可。14.【答案】5:3 【解析】 由題意AP：BP=2：3，設(shè)AP=2x,BP=3XAB=5XAB：PB=5：3.故答案為：5:3.【分析】根據(jù)AP：BP=2：3，從而說明AP占兩份，BP占三份，從而得出AB占5份，進一步得出答案。15.【

23、答案】2 【解析】 ：由和BC=AC-AB，則,因為直線l1l2l3 ， 所以=2故答案為2【分析】由和BC=AC-AB，可得的值；由平行線間所夾線段對應(yīng)成比例可得16.【答案】323 【解析】 連接EF交AC于O，四邊形EGFH是菱形，EFAC，OE=OF，OG=OH，四邊形ABCD是矩形，B=D=90,ABCD，ACD=CAB，在CFO與AOE中，CFOAOE，AO=CO，AG=CH，CAB=CAB,AOE=B=90， AOEABC， = =tanBAC= ，HEBC，AEH=90，HEO=GEO=BAC， = ，AO=4OG，AGCH=3OG，CH=2OG，AG:GH:HC=3:2:3，

24、故答案為：3:2:3.【分析】連接EF交AC于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出EFAC，OE=OF，OG=OH，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出B=D=90,ABCD，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得出ACD=CAB，然后利用AAS判斷出CFOAOE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出AO=CO，根據(jù)等式的性質(zhì)得出AG=CH，然后判斷出AOEABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出OABCAB=tanBAC=，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換得出HEO=GEO=BAC，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等得出AO=4OG，進而得出AGCH=3OG，從而得出答案。17.【答案】3 【解析】 ：如圖，過點D作DFBC于點F，ABC中，BCA=90

25、，AC=BC= ， 反比例函數(shù)y= （k0）的圖象過BC中點E，BAC=ABC=45，且可設(shè)E（， ），BDEBCA三角形BDE也是等腰直角三角形，DF=EFF（， ）D（-， ）解 得：k=3【分析】過點D作DFBC于點F，ABC中，BCA=90，AC=BC= 2 ， 反比例函數(shù)y=（k0）的圖象過BC中點E，BAC=ABC=45，且可設(shè)E（ ， ），由BDEBCA得出三角形BDE也是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出DF=EF，進而得出F,D的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于k的方程，求解得出k的值。18.【答案】5 【解析】 ：矩形ABCD，OEACADC=AOE=

26、90,AB=CDAO=AC在RtAOD中，AB=4，AD=8AC=BD=EAO=DAO，ADC=AOEAEOACO8AE=42解之：AE=5故答案為：5【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出ADC=AOE=90,AB=CD，求出AO的長，再根據(jù)勾股定理求出AC的長，然后證明AEOACO，利用相似三角形的性質(zhì)，建立方程求解即可。19.【答案】6 【解析】 ：FHABCGAB2（1+BC）=5+BC解之：BC=3AB=1.5（1+BC）=1.5（1+3）=6故答案為：6【分析】抓住題中的隱含條件：FHAB，CGAB，得出對應(yīng)線段成比例，從而得出方程2（1+BC）=5+BC，解方程求出BC的長，繼而可求出AB的

27、長。20.【答案】【解析】 ：DEFG是正方形，EDG=90，KDC+HDA=90C+KDC=90，C=HDACKD=DHA=90，CKDDHA，CK：KD=HD：HA，CK：100=100：15，解得：CK= 故答案為： 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及已知證明C=HDA，CKD=DHA，再證明CKDDHA，得出對應(yīng)邊成比例，就可求出CK的長。三、解答題21.【答案】解：如圖所示：AD是角平分線，1=2，又AB AD = AE AC，ABEACD，3=4，BED=BDE，BE=BD 【解析】【分析】利用角平分線的定義得出1=2，根據(jù)AB：AD = AE：AC，可證得ABEACD，得對應(yīng)角相等即3=

28、4，再根據(jù)等角的補角相等證出BED=BDE，然后根據(jù)等角對等邊證得結(jié)論。22.【答案】解：設(shè)菱形的邊長為xcm，則DE=DF=BF=BE=xcm，四邊形BEDF是菱形，DEBC，DFAB，ADE=C，A=CDF，AEDDFC， ， = ，x= ，即菱形的邊長是 cm 【解析】【分析】設(shè)菱形的邊長為xcm，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出DE=DF=BF=BE=xcm，DEBC，DFAB，根據(jù)二直線平行同位角相等得出ADE=C，A=CDF，進而判斷出AEDDFC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出方程，求解即可得出答案。23.【答案】解：四邊形PQMN是矩形，BCPQ，APQABC， ，由于矩形長與寬的比為3：2

29、，分兩種情況：若PQ為長，PN為寬，設(shè)PQ=3k，PN=2k，則 ，解得：k=2，PQ=6cm，PN=4cm；PN為6，PQ為寬，設(shè)PN=3k，PQ=2k，則 ，解得：k= ，PN= cm，PQ= cm；綜上所述：矩形的長為6cm，寬為4cm；或長為 cm，寬為 cm 【解析】【分析】先利用“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”證得APQABC，即可得到，再分兩種情況若PQ為長，PN為寬與PN為6，PQ為寬，求得k的值即可求得矩形的長與寬.24.【答案】解：CBAD，EDAD，CBAEDA90，CABEAD，ABCADE， ，又AD=AB+BD

30、，BD=8.5，BC1，DE1.5， ，AB17，即河寬為17米 【解析】【分析】首先很容易判斷出ABCADE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出 ADAB=DEBC，從而即可求出河的寬度。25.【答案】（1）解：當(dāng) 時，PE=QE.即E為AC中點，理由如下：連接BE，ABC是等腰直角三角形，BE=CE，PBE=C=45，又PEB+BEQ=90，CEQ+BEQ=90，PEB=CEQ，在PEB和QEC中， ,PEBQEC（ASA），PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下：作EMAB，ENBC，EMP=ENQ=90，又PEN+MEP=PEN+NEQ=90，MEP=NEQ,MEPNE

31、Q，EP：EQ=ME:NE,又EMA=ENC=90，A=C，MEANEC，ME:NE=EA:EC， ,EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；0m2+ （2）解：存在.由【探究一】中（2）知當(dāng) 時，EP：EQ=EA：EC=1：2；設(shè)EQ=x，則EP= x，S= EPEQ= x x= x2 ， 當(dāng)EQBC時，EQ與EN重合時，面積取最小，AC=30，ABC是等腰直角三角形，AB=BC=15 ， ，AC=30，AE=10，CE=20，在等腰RtCNE中，NE=10 ，當(dāng)x=10 時，Smin=50（cm2）；當(dāng)EQ=EF時，S取得最大，AC=DE=30，DEF=90，EDF=30，在

32、RtDEF中，tan30= ,EF=30 =10 ，此時EPQ面積最大，Smax=75（cm2）；由（1）知CN=NE=5 ,BC=15 ,BN=10 ，在RtBNE中，BE=5 ，當(dāng)x=BE=5 時，S=62.5cm2 ， 當(dāng)50S62.5時，這樣的三角形有2個；當(dāng)S=50或62.5S75時，這樣的三角形有1個. 【解析】【解答】（1）作EMAB，ENBC，B=PEQ=90，EPB+EQB=180，又EPB+EPM=180，EQB=EPM,MEPNEQ，EP：EQ=ME:NE,又EMA=ENC=90，A=C，MEANEC，ME:NE=EA:EC， ,EP:EQ=EA:EC=1:m，EP與EQ

33、滿足的數(shù)量關(guān)系式為EP：EQ=1:m，02+ 時，EF與BC不會相交）.【分析】【探究一】根據(jù)已知條件得E為AC中點，連接BE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可BE=CE，PBE=C=45，由同角的余角相等得PEB=CEQ，由全等三角形的判定ASA可得PEBQEC，再由全等三角形的性質(zhì)得PE=QE.作EMAB，ENBC，由相似三角形的判定分別證MEPNEQ，MEANEC，再由相似三角形的性質(zhì)得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，從而求得答案.作EMAB，ENBC，由相似三角形的判定分別證MEPNEQ，MEANEC，再由相似三角形的性質(zhì)得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，從而求得答案.【探究二】設(shè)EQ=x，根據(jù)【探究一】（2）中的結(jié)論可知則EP= x，根據(jù)三角形面積公式得出S的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)當(dāng)EQBC時，EQ與EN重合時，面積取最??；當(dāng)EQ=EF時，S取得最大；代入數(shù)值計算即可得出答案.根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)求得當(dāng)EQ與BE重合時，EPQ的面積，再來分情況討論即可.26