（泰安專版）2019版中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識過關(guān) 第五章 四邊形 第20講 矩形、菱形、正方形精練

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1、 第20講　矩形、菱形、正方形 A組　基礎(chǔ)題組 一、選擇題 1.(2017聊城)如圖,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四邊形DBFE是菱形,還需要添加的條件是(　　) A.AB=AC B.AD=BD C.BE⊥AC D.BE平分∠ABC 2.(2018威海)矩形ABCD與CEFG如圖放置,點B,C,E共線,點C,D,G共線,連接AF,取AF的中點H,連接GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH=(　　) A.1 B. C. D. 3.(2017陜西)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若點E是邊CD的中點,連接AE,過點B作BF⊥AE交AE于點

2、F,則BF的長為(　　) A. B. C. D. 4.(2017江西)如圖,任意四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點,對于四邊形EFGH的形狀,某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中,通過動手實踐,探索出如下結(jié)論,其中的是(　　) A.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點,且AC=BD時,四邊形EFGH為菱形 B.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點,且AC⊥BD時,四邊形EFGH為矩形 C.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點時,四邊形EFGH可以為平行四邊形 D.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點時,四邊形EFGH不可能為菱形 5.(2017東營)如圖,在?ABCD中,用直尺和圓

3、規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E.若BF=8,AB=5,則AE的長為(　　) A.5 B.6 C.8 D.12 6.(2017東營)如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP,CP的延長線分別交AD于點E,F,連接BD,DP,BD與CF相交于點H,給出下列結(jié)論: ①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PH·PC. 其中正確的是(　　) A.①②③④ B.②③ C.①②④ D.①③④ 二、填空題 7.如圖,E,F,G,H分別是矩形ABCD各邊的中點,AB=6,BC=8,則四邊形EFGH的面積是　　　　.? 8.(20

4、18青島)已知正方形ABCD的邊長為5,點E、F分別在AD、DC上,AE=DF=2,BE與AF相交于點G,點H為BF的中點,連接GH,則GH的長為　　　　.? 9.(2017蘭州)在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,要使四邊形ABCD是正方形,還需添加一組條件.下面給出了四組條件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正確的序號是　　　　.? 三、解答題 10.(2018濰坊)如圖,點M是正方形ABCD邊CD上一點,連接AM,作DE⊥AM于點E,BF⊥AM于點F,連接BE. (1)求證:A

5、E=BF; (2)已知AF=2,四邊形ABED的面積為24,求∠EBF的正弦值. 11.(2017濱州)如圖,在?ABCD中,以點A為圓心,AB長為半徑畫弧交AD于點F,再分別以點B,F為圓心,大于BF的相同長度為半徑畫弧,兩弧交于點P;連接AP并延長交BC于點E,連接EF,則所得四邊形ABEF是菱形. (1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程,求證:四邊形ABEF是菱形; (2)若菱形ABEF的周長為16,AE=4,求∠C的大小. B組　提升題組 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1.(2017廣東深圳)如圖,正方形ABCD的邊

6、長是3,BP=CQ,連接AQ,DP交于點O,并分別與邊CD,BC交于點F,E,連接AE,下列結(jié)論:①AQ⊥DP;②OA2=OE·OP;③S△AOD=S四邊形OECF;④當(dāng)BP=1時,tan∠OAE=.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2018天津)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點,P為對角線BD上的一個動點,則下列線段的長等于AP+EP最小值的是(　　) A.AB B.DE C.BD D.AF 二、填空題 3.(2017湖北黃岡)已知:如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,則∠BED=　　　　度.?

7、 4.(2017天津)如圖,正方形ABCD和正方形EFCG的邊長分別為3和1,點F,G分別在邊BC,CD上,P為AE的中點,連接PG,則PG的長為　　　　.? 三、解答題 5.(2017棗莊)已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點,以BP為邊作正方形BPEF,使點F在線段CB的延長線上,連接EA,EC. (1)如圖1,若點P為線段AB的延長線上,求證:EA=EC; (2)如圖2,若點P在線段AB的中點,連接AC,判斷△ACE的形狀,并說明理由; (3)如圖3,若點P在線段AB上,連接AC,當(dāng)EP平分∠AEC時,設(shè)AB=a,BP=b,求a∶b及∠AEC的度數(shù).

8、 6.(2018山西)綜合與實踐 問題情境:在數(shù)學(xué)活動課上,老師出示了這樣一個問題:如圖1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延長線上一點,且BE=AB,連接DE,交BC于點M,以DE為邊在DE的左下方作正方形DEFG,連接AM.試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系. 探究展示:勤奮小組發(fā)現(xiàn),AM垂直平分DE,并展示了如下的證明方法: 圖1 證明:∵BE=AB,∴AE=2AB. ∵AD=2AB,∴AD=AE. ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD∥BC. ∴=.(依據(jù)1) ∵BE=AB,∴=1. ∴EM=DM. 即AM是△ADE的DE邊上的中線, 又∵AD=A

9、E,∴AM⊥DE.(依據(jù)2) ∴AM垂直平分DE. 反思交流: (1)①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么? ②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上,請直接回答,不必證明; (2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā),繼續(xù)進(jìn)行探究,如圖2,連接CE,以CE為邊在CE的左下方作正方形CEFG,發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上,請你給出證明; 探索發(fā)現(xiàn): (3)如圖3,連接CE,以CE為邊在CE的右上方作正方形CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點C,點B都在線段AE的垂直平分線上,除此之外,請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊,你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上,請寫出一

10、個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并加以證明. 圖2 圖3 與四邊形有關(guān)的證明與計算培優(yōu)訓(xùn)練 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1.(2018寧波)如圖,?ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,E是邊CD的中點,連接OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,則∠1的度數(shù)為(　　) A.50° B.40° C.30° D.20° 2.(2018涼州)如圖,點E是正方形ABCD的邊DC上一點,把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置,若四邊形AECF的面積為25,DE=2,則AE的長為(　　) A.5 B. C.7 D. 3.(2018黔南)如圖,

11、在?ABCD中,已知AC=4 cm,若△ACD的周長為13 cm,則?ABCD的周長為(　　) A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm 4.(2018孝感)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AC=10,BD=24,則菱形ABCD的周長為(　　) A.52 B.48 C.40 D.20 5.(2018宜昌)如圖,正方形ABCD的邊長為1,點E,F分別是對角線AC上的兩點,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分別為G,I,H,J,則圖中陰影部分的面積等于(　　) A.1 B. C. D. 6.(2018湘潭)如圖,已知

12、點E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點,則四邊形EFGH是(　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四邊形 7.(2018南通)正方形ABCD的邊長AB=2,E為AB的中點,F為BC的中點,AF分別與DE、BD相交于點M、N,則MN的長為(　　) A. B.-1 C. D. 二、填空題 8.(2018連云港)如圖,E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點,連接AC、HE、EC、GA、GF,已知AG⊥GF,AC=,則AB的長為　　　　.? 9.(2018寧波)如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是銳角,AE⊥BC于點E,M是

13、AB中點,連接MD,ME.若∠EMD=90°,則cos B的值為　　　　.? 10.(2018菏澤)若正多邊形的每一個內(nèi)角為135°,則這個正多邊形的邊數(shù)是　　　　.? 11.(2018四川成都)如圖,在矩形ABCD中,按以下步驟作圖:①分別以點A和C為圓心,以大于AC的長為半徑作弧,兩弧相交于點M和N;②作直線MN交CD于點E.若DE=2,CE=3,則矩形的對角線AC的長為　　　　.? 12.(2018蘭州)如圖,M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點,滿足AM=BN,連接AC交BN于點E,連接DE交AM于點F,連接CF,若正方形的邊長為6,則線段CF的最小值是　　　　.?

14、 13.(2018襄陽)如圖,將面積為32的矩形ABCD沿對角線BD折疊,點A的對應(yīng)點為點P,連接AP交BC于點E.若BE=,則AP的長為　　　　.? 三、解答題 14.(2018濟寧)如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別是邊AD,BC的中點,連接DF,過點E作EH⊥DF,垂足為H,EH的延長線交DC于點G. (1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (2)過點H作MN∥CD,分別交AD,BC于點M,N.若正方形ABCD的邊長為10,點P是MN上一點,求△PDC周長的最小值. 15.(2018北京)如圖,在四邊形ABCD

15、中,AB∥DC,AB=AD,對角線AC,BD交于點O,AC平分∠BAD,過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E,連接OE. (1)求證:四邊形ABCD是菱形; (2)若AB=,BD=2,求OE的長. 16.(2018北京)如圖,在正方形ABCD中,E是邊AB上的一動點(不與點A,B重合),連接DE,點A關(guān)于直線DE的對稱點為F,連接EF并延長交BC于點G,連接DG,過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H,連接BH. (1)求證:GF=GC; (2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系,并證明. 第20講　矩形、菱形、正方形 A組　基礎(chǔ)題組 一、選擇題 1

16、.D　當(dāng)BE平分∠ABC時,四邊形DBFE是菱形. 理由:∵DE∥BC, ∴∠DEB=∠EBC, ∵∠EBC=∠EBD, ∴∠EBD=∠DEB, ∴BD=DE. ∵DE∥BC,EF∥AB, ∴四邊形DBFE是平行四邊形, ∵BD=DE, ∴四邊形DBFE是菱形. 其余選項均無法判斷四邊形DBFE是菱形, 故選D. 2.C　如圖,延長GH交AD于點P, ∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形, ∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°,AD=BC=2,GF=CE=1, ∴AD∥GF, ∴∠GFH=∠PAH, 又∵H是AF的中點, ∴AH=FH, 在△AP

17、H和△FGH中, ∵ ∴△APH≌△FGH(ASA), ∴AP=GF=1,PH=GH=PG, ∴PD=AD-AP=1, ∵CG=2,CD=1, ∴DG=1, 則GH=PG=×=. 故選C. 3.B　如圖,連接BE. ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AB=CD=2,BC=AD=3,∠D=90°, ∵E是邊CD的中點, ∴DE=1. 在Rt△ADE中,AE===, ∵S△ABE=S矩形ABCD=3=·AE·BF, ∴BF=. 4.D　連接AC,BD.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點時,由三角形中位線定理可得EF∥AC且EF=AC,GH∥AC且GH=AC,∴EF∥GH且E

18、F=GH,∴四邊形EFGH為平行四邊形.當(dāng)AC=BD時,∵EF=AC,EH=BD,∴EF=EH,∴平行四邊形EFGH為菱形,選項A正確;當(dāng)AC⊥BD時,∵EF∥AC,EH∥BD,∴EF⊥EH,∴平行四邊形EFGH為矩形,選項B正確;當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點時,若===,則GH∥AC,EF∥AC,∴GH∥EF.∵===,∴EF=GH,∴四邊形EFGH為平行四邊形,選項C正確;當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點,且===時,四邊形EFGH為平行四邊形,若=,BD=2AC,則==,==,即=,∴=,即EF=EH,∴四邊形EFGH為菱形,選項D錯誤.故選D. 5.B　連接EF,AE與BF交于點O.

19、∵四邊形ABCD是平行四邊形,AB=AF, ∴四邊形ABEF是菱形, ∴AE⊥BF,OB=BF=4,OA=AE. ∵AB=5, 在Rt△AOB中,AO==3, ∴AE=2AO=6. 故選B. 6.C　∵△BPC是等邊三角形, ∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°. 在正方形ABCD中, ∵AB=BC=CD,∠A=∠ABC=∠BCD=90°, ∴∠ABE=∠DCF=30°, ∴BE=2AE,故①正確; ∵PC=CD,∠PCD=30°, ∴∠PDC=75°, ∴∠FDP=15°. ∵∠DBA=45°, ∴∠PBD=15°, ∴∠FDP=∠

20、PBD, ∵∠DFP=∠BPC=60°, ∴△DFP∽△BPH,故②正確; ∵∠FDP=∠PBD=15°,∠ADB=45°, ∴∠PDB=30°,而∠DFP=60°, ∴∠PFD≠∠PDB, ∴△PFD與△PDB不會相似, 故③錯誤; ∵∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC, ∴△DPH∽△CPD, ∴=, ∴DP2=PH·PC,故④正確. 故選C. 二、填空題 7.答案　24 解析　∵E,F,G,H分別是矩形ABCD各邊的中點,AB=6,BC=8, ∴AH=DH=BF=CF=4,AE=BE=DG=CG=3. 在△AEH與△DGH中, ∴△AE

21、H≌△DGH(SAS). 同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF, ∴S四邊形EFGH=S矩形ABCD-4S△AEH=6×8-4××3×4=48-24=24.故答案為24. 8.答案　 解析　∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠BAD=∠D=90°,AB=AD. 又∵AE=DF, ∴△ABE≌△DAF, ∴∠ABE=∠DAF. ∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-90°=90°, ∴∠DAF+∠AEB=90°, ∴∠AGE=∠BGF=90°. ∵在Rt△BGF中,點H為BF的中點, ∴GH=BF. 在Rt△BFC中,BC=5,CF=CD-DF=5

22、-2=3,根據(jù)勾股定理得BF==,∴GH=. 9.答案?、佗邰? 解析　∵四邊形ABCD是平行四邊形,AB=AD, ∴四邊形ABCD是菱形, 又∵AB⊥AD, ∴四邊形ABCD是正方形,①正確; ∵四邊形ABCD是平行四邊形,AB=BD,AB⊥BD, ∴平行四邊形ABCD不可能是正方形,②錯誤; ∵四邊形ABCD是平行四邊形,OB=OC, ∴AC=BD, ∴四邊形ABCD是矩形, 又OB⊥OC,即對角線互相垂直, ∴平行四邊形ABCD是正方形,③正確; ∵四邊形ABCD是平行四邊形,AB=AD, ∴四邊形ABCD是菱形, 又∵AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形,

23、∴平行四邊形ABCD是正方形,④正確; 故答案為①③④. 三、解答題 10.解析　(1)證明:∵∠BAF+∠DAE=90°, ∠ADE+∠DAE=90°, ∴∠BAF=∠ADE, 在Rt△DEA和Rt△AFB中, ∴Rt△DEA≌Rt△AFB, ∴AE=BF. (2)設(shè)AE=x(x>0),則BF=x, ∵四邊形ABED的面積為24,DE=AF=2, ∴S四邊形ABED=S△ABE+S△AED=x2+×2x=24, 解得x1=6,x2=-8(舍), ∴EF=AE-AF=6-2=4, 在Rt△EFB中, BE==2, ∴sin∠EBF===. 11.解析　(1

24、)證明:在△AEB和△AEF中, ∴△AEB≌△AEF, ∴∠EAB=∠EAF, ∵AD∥BC, ∴∠EAF=∠AEB=∠EAB, ∴BE=AB=AF. ∵AF∥BE, ∴四邊形ABEF是平行四邊形, ∵AB=BE, ∴四邊形ABEF是菱形. (2)如圖,連接BF,交AE于點G. ∵菱形ABEF的周長為16,AE=4, ∴AB=BE=EF=AF=4,AG=AE=2, ∠BAF=2∠BAE,AE⊥BF. ∵在Rt△ABG中,∠AGB=90°, ∴cos∠BAG===, ∴∠BAG=30°, ∴∠BAF=2∠BAE=60°. ∵四邊形ABCD是平行四邊形,

25、 ∴∠C=∠BAF=60°. B組　提升題組 一、選擇題 1.C　∵四邊形ABCD是正方形, ∴AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°, ∵BP=CQ, ∴AP=BQ, 在△DAP與△ABQ中, ∴△DAP≌△ABQ, ∴∠P=∠Q, ∵∠Q+∠QAB=90°, ∴∠P+∠QAB=90°, ∴∠AOP=90°, ∴AQ⊥DP,故①正確; ∵∠DOA=∠AOP=90°, ∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°, ∴∠DAO=∠P, ∴△DAO∽△APO, ∴=, ∴AO2=OD·OP. ∵AE>AB, ∴AE>AD, ∴OD≠OE, ∴O

26、A2≠OE·OP,故②錯誤; 在△CQF與△BPE中, ∴△CQF≌△BPE, ∴CF=BE, ∴DF=CE. 在△ADF與△DCE中, ∴△ADF≌△DCE, ∴S△ADF-S△DOF=S△DCE-S△DOF, 即S△AOD=S四邊形OECF,故③正確; ∵BP=1,AB=3, ∴AP=4. ∵△EBP∽△DAP, ∴==, ∴BE=,∴QE=. ∵△QOE∽△PAD, ∴===, ∴QO=,OE=. ∵AQ==5, ∴AO=AQ-QO=5-QO=, ∴tan∠OAE==,故④正確, 故選C. 2.D　在正方形ABCD中,連接CE、PC.

27、 ∵點A與點C關(guān)于直線BD對稱, ∴AP=CP, ∴AP+EP的最小值為EC. ∵E,F分別為AD,BC的中點, ∴DE=BF=AD. ∵AB=CD,∠ABF=∠ADC=90°, ∴△ABF≌△CDE. ∴AF=CE. 故選D. 二、填空題 3.答案　45 解析　∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90°. ∵△ADE是等邊三角形, ∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60°. ∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°,AB=AE, ∴∠AEB=∠ABE=(180°-∠BAE)÷2=15°, ∴∠BED=∠AED-∠AEB=60

28、°-15°=45°. 4.答案　 解析　延長GE交AB于點O,作PH⊥OE于點H. 則PH∥AB. ∵P是AE的中點, ∴PH是△AOE的中位線, ∴PH=OA=×(3-1)=1. ∵在Rt△AOE中,∠OAE=45°, ∴△AOE是等腰直角三角形,即OA=OE=2, 同理△PHE中,HE=PH=1. ∴HG=HE+EG=1+1=2. ∴在Rt△PHG中,PG===. 二、解答題 5.證明　(1)∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形, ∴AB=BC,BP=BF, ∴AP=CF, 在△APE和△CFE中, ∵ ∴△APE≌△CFE, ∴EA=EC.

29、 (2)△ACE是直角三角形,理由如下: 如題圖2,∵P為AB的中點, ∴PA=PB, ∵PB=PE, ∴PA=PE, ∴∠PAE=45°, 又∵∠BAC=45°, ∴∠CAE=90°, 即△ACE是直角三角形. (3)設(shè)CE交AB于點G, ∵EP平分∠AEC,EP⊥AG, ∴AP=PG=a-b,BG=a-(2a-2b)=2b-a, ∵PE∥CF, ∴=, 即=, 解得a=b, ∴a∶b=∶1. 作GH⊥AC于點H, ∵∠CAB=45°, ∴HG=AG=(2b-2b)=(2-)b, 又∵BG=2b-a=(2-)b, ∴GH=GB, 又∵GH⊥AC,G

30、B⊥BC, ∴∠HCG=∠BCG, ∵PE∥CF, ∴∠PEG=∠BCG, ∴∠AEC=∠ACB=45°. 6.解析　(1)①依據(jù)1:兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成比例). 依據(jù)2:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”). ②點A在線段GF的垂直平分線上. (2)證明:過點G作GH⊥BC于點H. ∵四邊形ABCD是矩形,點E在AB的延長線上, ∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°. ∴∠1+∠2=90°. ∵四邊形CEFG為正方形, ∴CG=CE,∠GCE=90°. ∴∠1+

31、∠3=90°,∴∠2=∠3. ∴△GHC≌△CBE. ∴HC=BE.∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD=BC. ∵AD=2AB,BE=AB, ∴BC=2BE=2HC, ∴HC=BH. ∴GH垂直平分BC. ∴點G在BC的垂直平分線上. (3)點F在BC邊的垂直平分線上(或點F在AD邊的垂直平分線上). 證法一:過點F作FM^BC于點M,過點E作EN^FM于點N. ∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°. ∵四邊形ABCD是矩形,點E在AB的延長線上, ∴∠CBE=∠ABC=90°. ∴四邊形BENM為矩形. ∴BM=EN,∠BEN=90°. ∴∠1+∠2=90

32、°. ∵四邊形CEFG為正方形, ∴EF=EC,∠CEF=90°. ∴∠2+∠3=90°. ∴∠1=∠3. ∵∠CBE=∠ENF=90°, ∴△ENF≌△EBC. ∴NE=BE.∴BM=BE. ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD=BC. ∵AD=2AB,AB=BE, ∴BC=2BM. ∴BM=MC. ∴FM垂直平分BC, ∴點F在BC邊的垂直平分線上. 證法二:過F作FN⊥BE交BE的延長線于點N,連接FB,FC. ∵四邊形ABCD是矩形,點E在AB的延長線上, ∴∠CBE=∠ABC=∠N=90°. ∴∠1+∠3=90°. ∵四邊形CEFG為正方形,

33、∴EC=EF,∠CEF=90°. ∴∠1+∠2=90°, ∴∠2=∠3. ∴△ENF≌△CBE. ∴NF=BE,NE=BC. ∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC. ∵AD=2AB,BE=AB, ∴設(shè)BE=a,則BC=EN=2a,NF=a. ∴BF===a, CE===a, CF==CE=a. ∴BF=CF. ∴點F在BC邊的垂直平分線上. 與四邊形有關(guān)的證明與計算培優(yōu)訓(xùn)練 一、選擇題 1.B　∵∠ABC=60°,∠BAC=80°, ∴∠ACB=40°, 又∵四邊形ABCD是平行四邊形,且E為DC的中點, ∴AD∥BC∥OE, ∴∠1=∠ACB=40°,

34、 故答案為B. 2.D　∵△ABF是由△ADE旋轉(zhuǎn)得到的, ∴S△ABF=S△ADE, ∴S正方形ABCD=S四邊形AECF=25, ∴AD=5. ∵DE=2,且△ADE為直角三角形. ∴AE==,故選D. 3.D　∵AC=4 cm,△ADC的周長為13 cm, ∴AD+DC=13-4=9(cm). 又∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB=CD,AD=BC, ∴平行四邊形的周長為2(AB+BC)=18 cm.故選D. 4.A　∵四邊形ABCD為菱形, ∴BD與AC互相垂直且平分,且AB=BC=CD=AD. ∵AC=10,BD=24, ∴AO=5,BO=12,

35、∴AB==13. ∴菱形ABCD的周長為13×4=52,故選A. 5.B　∵四邊形ABCD是正方形, ∴直線AC是正方形ABCD的對稱軸, ∵EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分別為G,I,H,J, ∴由對稱性可知:四邊形EFHG的面積與四邊形EFJI的面積相等, ∴S陰=S正方形ABCD=,故選B. 6.B　連接AC、BD.AC交FG于L. ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∵DH=HA,DG=GC, ∴GH∥AC,且GH=AC, 同理可得EF∥AC,且EF=AC, ∴GH􀱀EF, ∴四邊形EFGH是平行四邊形,

36、同理可證GF∥BD∥EH, ∴∠OLF=∠AOB=90°, ∵AC∥GH, ∴∠HGL=∠OLF=90°, ∴四邊形EFGH是矩形.故選B. 7.C　∵四邊形ABCD是正方形,邊長為2, ∴AB=BC=CD=AD=2,∠DAB=∠ABC=90°. ∵E為AB的中點,F為BC的中點, ∴AE=BF=1, ∴△AED≌△BFA(SAS),AF= ∴∠BAF=∠ADE, ∵∠BAF+∠FAD=90°, ∴∠ADE+∠FAD=90°, ∴∠AMD=90°=∠ABF, ∴△AMD∽△FBA, ∴=, ∴=, ∴AM==. ∵AD∥BC, ∴△AND∽△FNB, ∴

37、=, ∴=, ∴AN=, ∴MN=AN-AM=-=, 故選C. 二、填空題 8.答案　2 解析　在矩形ABCD中,設(shè)AB=CD=2x,則AE=BE=CG=DG=x,AD2=BC2=AC2-CD2=6-4x2, ∵AG⊥GF, ∴∠AGD+∠CGF=90°, 又∵∠AGD+∠DAG=90°, ∴∠CGF=∠DAG, ∴△ADG∽△GCF, ∴=,即DG·GC=AD·CF, ∵DG=GC=x,CF=AD, ∴x2=AD2=(6-4x2), 解得x1=1,x2=-1(舍去), 則AB=2x=2. 9.答案　 解析　延長DM交CB的延長線于H, ∵四邊形AB

38、CD為菱形, ∴AB=AD=BC=2,AD∥BC, ∴∠ADM=∠H, 又∵M(jìn)是AB的中點, ∴AM=BM=1, 在△ADM和△BHM中, ∴△ADM≌△BHM(AAS), ∴DM=HM,AD=BH=2, ∵EM⊥DM, ∴EH=ED. 設(shè)BE=x,∴EH=ED=2+x, ∵AE⊥BC, ∴∠AEB=∠EAD=90°, ∴AE2=AB2-BE2=ED2-AD2, 即22-x2=(2+x)2-22, 化簡得x2+2x-2=0, 解得x=-1或x=-1-(舍去). 在Rt△ABE中,cos B==. 10.答案　8 解析　∵多邊形每一個內(nèi)角都是135°,

39、 ∴每一個外角的度數(shù)是180°-135°=45°, ∵多邊形的外角和為360°, ∴360°÷45°=8, 即這個多邊形是八邊形. 11.答案　 解析　如圖,連接AE,由作圖方法得MN垂直平分AC,∴EA=EC=3. 在Rt△ADE中, AD===. 在Rt△ADC中, AC===. 12.答案　3-3 解析　在正方形ABCD中,AD=BC=CD,∠ADC=∠BCD,∠DCE=∠BCE, 在Rt△ADM和Rt△BCN中, ∴Rt△ADM≌Rt△BCN(HL), ∴∠1=∠2, 在△DCE和△BCE中, ∴△DCE≌△BCE(SAS), ∴∠2=

40、∠3, ∴∠1=∠3, ∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°, ∴∠1+∠ADF=90°, ∴∠AFD=180°-90°=90°, 取AD的中點O,連接OF、OC,則OF=DO=AD=3, 在Rt△ODC中,OC===3, 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系:OF+CF>OC, ∴當(dāng)O、F、C三點共線時,CF的長度最小,最小值為OC-OF=3-3. 13.答案　 解析　設(shè)AB=a,AD=b,則ab=32, 由題意可得△ABE∽△DAB, ∴=, ∴b=a2, ∴a3=64, ∴a=4,b=8, 設(shè)PA交BD于O, 在Rt△ABD中,BD==12, ∴OP=OA==,

41、∴AP=. 三、解答題 14.解析　(1)結(jié)論:CF=2DG. 證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°, ∵DE=AE,∴AD=CD=2DE, ∵EG⊥DF, ∴∠DHG=90°, ∴∠CDF+∠DGE=90°, 又∠DGE+∠DEG=90°, ∴∠CDF=∠DEG, ∴△DEG∽△CDF, ∴==, ∴CF=2DG. (2) 如上圖所示,作點C作關(guān)于NM的對稱點K,連接DK交MN于點P,連接PC,此時△PDC的周長最短.周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.由題意得CD=AD=10,ED=AE=

42、5,DG=,EG=,DH==, ∴EH=2DH=2, ∴HM==2, ∵M(jìn)N∥CD,且四邊形ABCD為正方形, ∴DM=CN=NK==1, 在Rt△DCK中,DK===2, ∴△PCD的周長的最小值為10+2. 15.解析　(1)證明:∵AB∥CD, ∴∠OAB=∠DCA. ∵AC平分∠BAD, ∴∠OAB=∠DAC, ∴∠DCA=∠DAC, ∴CD=AD=AB. ∵AB􀱀CD, ∴四邊形ABCD為平行四邊形. 又∵CD=AD=AB, ∴四邊形ABCD為菱形. (2)∵四邊形ABCD為菱形, ∴OA=OC,BD⊥AC. ∵CE⊥AE,∴O

43、E=AO=OC. ∵BD=2,∴OB=BD=1. 在Rt△AOB中,AB=,OB=1, ∴OA==2,∴OE=2. 16.解析　(1)證明:如圖,連接DF. ∵四邊形ABCD為正方形, ∴DA=DC=AB,∠A=∠C=∠ADC=90°. 又∵點A關(guān)于直線DE的對稱點為F, ∴△ADE≌△FDE, ∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°, ∴∠DFG=90°. 在Rt△DFG和Rt△DCG中, ∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL), ∴GF=GC. (2)線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系:BH=AE. 證明:在線段AD上截取AM,使AM=AE,連接ME. ∵AD=AB,∴DM=BE. 由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4, ∵∠ADC=90°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°, ∴2∠2+2∠3=90°, ∴∠2+∠3=45°, ∴∠EDH=45°. ∵EH⊥DE,∴DE=EH, ∵∠DEH=90°,∠A=90°, ∴∠1+∠AED=90°,∠5+∠AED=90°, ∴∠1=∠5. 在△DME和△EBH中, ∴△DME≌△EBH(SAS),∴ME=BH. ∵∠A=90°,AM=AE, ∴ME=AE, ∴BH=AE. 35