（福建專版）2020年中考數(shù)學復(fù)習 提分專練03 一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合問題

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1、提分專練(三)　一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合問題 |類型1|　一次函數(shù)、反比例函數(shù)與線段、三角形 1.[2016·泉州]如圖T3-1,已知點A(-8,0),B(2,0),點C在直線y=-34x+4上,則使△ABC是直角三角形的點C的個數(shù)為 (　　) 圖T3-1 A.1 B.2 C.3 D.4 2.[2019·福建名校聯(lián)合模擬]如圖T3-2,線段AB是兩個端點在y=2x(x>0)圖象上的一條動線段,且AB=1.若A,B的橫坐標分別為a,b,則[1-(b-a)2](a2b2+4)的值是 (　　) 圖T3-2 A.1 B.2 C

2、.3 D.4 3.[2019·廈門質(zhì)檢]在平面直角坐標系xOy中,直線y=x與雙曲線y=kx(k>0,x>0)交于點A.過點A作AC⊥x軸于點C,過雙曲線上另一點B作BD⊥x軸于點D,作BE⊥AC于點E,連接AB.若OD=3OC,則tan∠ABE=　　　　.? 4.[2019·莆田仙游東屏中學二模]如圖T3-3是反比例函數(shù)y=9x(x>0)的圖象,點C的坐標為(0,2).若點A是函數(shù)y=9x圖象上一點,點B是x軸正半軸上一點,當△ABC是等腰直角三角形時,點B的坐標為　　　　.? 圖T3-3 5.[2019·南平適應(yīng)性檢測]如圖T3-4,已知反比例函數(shù)y=mx的圖象經(jīng)

3、過第一象限內(nèi)的一點A(n,4),過點A作AB⊥x軸于點B,且△AOB的面積為2. (1)求m和n的值; (2)若一次函數(shù)y=kx+2的圖象經(jīng)過點A,并且與x軸相交于點C,求線段AC的長. 圖T3-4 6.[2019·泉州質(zhì)檢]在平面直角坐標系中,已知反比例函數(shù)y=kx(x>0,k>0),圖象上的兩點(n,3n),(n+1,2n). (1)求n的值; (2)如圖T3-5,直線l為正比例函數(shù)y=x的圖象,點A在反比例函數(shù)y=kx(x>0,k>0)的圖象上,過點A作AB⊥l于點B,過點B作BC⊥x軸于點C,過點A作AD⊥BC于點D.記△BOC的面積為S1,△A

4、BD的面積為S2,求S1-S2的值. 圖T3-5 |類型2|　一次函數(shù)、反比例函數(shù)與四邊形 7.[2018·泉州質(zhì)檢]如圖T3-6,反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過正方形ABCD的頂點A和中心E,若點D的坐標為(-1,0),則k的值為 (　　) 圖T3-6 A.2 B.-2 C.12 D.-12 8.[2019·眉山]如圖T3-7,反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M,分別交AB,BC于點D,E.若四邊形ODBE的面積為12,則k的值為　　　　.? 圖T3-7 9.[2019·廣州]如圖T3-8,在平面直

5、角坐標系xOy中,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點P(-1,2),AB⊥x軸于點E,正比例函數(shù)y=mx的圖象與反比例函數(shù)y=n-3x的圖象相交于A,P兩點. 圖T3-8 (1)求m,n的值與點A的坐標; (2)求證:△CPD∽△AEO; (3)求sin∠CDB的值. 10.[2016·莆田]如圖T3-9,反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象與直線y=x交于點M,∠AMB=90°,其兩邊分別與兩坐標軸的正半軸交于點A,B,四邊形OAMB的面積為6. (1)求k的值. (2)點P在反比例函數(shù)y=kx

6、(x>0)的圖象上,若點P的橫坐標為3,∠EPF=90°,其兩邊分別與x軸的正半軸,直線y=x交于點E,F,問是否存在點E,使得PE=PF?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由. 圖T3-9 【參考答案】 1.C　[解析]如圖, ①當∠A為直角時,過點A作垂直于x軸的直線與直線y=-34x+4的交點為W(-8,10); ②當∠B為直角時,過點B作垂直于x軸的直線與直線y=-34x+4的交點為S(2,2.5); ③若∠C為直角,則點C在以線段AB為直徑的圓與直線y=-34x+4的交點處. 設(shè)E為AB的中點,過點E作垂直于x

7、軸的直線與直線y=-34x+4的交點為F-3,254,則EF=254, ∵直線y=-34x+4與x軸的交點M為163,0, ∴EM=253,MF=(253)?2+(254)?2=12512. ∵E到直線y=-34x+4的距離d=253×25412512=5,以AB為直徑的圓的半徑為5, ∴圓與直線y=-34x+4恰好有一個交點. ∴直線y=-34x+4上有一點C滿足∠ACB=90°. 綜上所述,使△ABC是直角三角形的點C的個數(shù)為3.故選C. 2.D　[解析]∵Aa,2a,Bb,2b,∴(a-b)2+2a-2b2=1, 整理得:a2b2(a-b)2+4(a-b)2-a2b2=0

8、,∴[1-(b-a)2](a2b2+4)=4.故選D. 3.13　[解析]∵直線y=x過點A, ∴可設(shè)A(a,a), ∵AC⊥x軸于點C,BD⊥x軸于點D,OD=3OC, ∴B點橫坐標為3a. ∵雙曲線y=kx(k>0,x>0)過點A,點B, ∴B點縱坐標為a·a3a=13a, ∴B3a,13a. 在Rt△ABE中,∵∠AEB=90°,BE=3a-a=2a,AE=a-13a=23a, ∴tan∠ABE=AEBE=23a2a=13. 故答案為:13. 4.(4,0)或52,0或(-1+10,0)　[解析](1)當∠CAB=90°時,如圖①,作AE⊥x軸于E點,作AD⊥y

9、軸于D點,則∠DAE=90°. ∵∠DAE=∠CAB=90°,∴∠DAC=∠EAB, 在△ADC和△AEB中: ∵∠ADC=∠AEB=90°,∠DAC=∠EAB,AC=AB, ∴△ADC≌△AEB, ∴AD=AE,BE=CD, 則A的橫坐標與縱坐標相等,設(shè)A的坐標是(a,a),代入函數(shù)解析式得:a=9a,解得:a=3或-3(舍去). 則A的坐標是(3,3). ∴OD=3,CD=OD-OC=3-2=1, ∴BE=CD=1,OB=OE+BE=3+1=4, 則B的坐標是(4,0); (2)當∠ACB=90°時,如圖②,作AD⊥y軸于D. ∵∠ACB=90°, ∴∠A

10、CD+∠BCO=90°, 又∵∠ACD+∠CAD=90°, ∴∠CAD=∠BCO. 在△ACD和△CBO中, ∵∠CAD=∠BCO,∠ADC=∠BOC,AC=CB, ∴△ACD≌△CBO, ∴AD=OC=2, 則點A的橫坐標是2,把x=2代入y=9x得:y=92, ∴OD=92,CD=OD-OC=92-2=52, ∴OB=CD=52,則B的坐標是52,0; (3)當∠ABC=90°時,如圖③,作AD⊥x軸, 同(2)可以證得:△OBC≌△DAB, ∴BD=OC=2,OB=AD, 設(shè)OB=AD=x, 則OD=x+2, 則A的坐標是(x+2,x),代入y=9x,得

11、:x=9x+2,解得:x=-1+10或-1-10(舍去), 則B的坐標是(-1+10,0). 故B的坐標是(4,0)或52,0或(-1+10,0). 5.解:(1)由點A(n,4),AB⊥x軸于點B,且點A在第一象限內(nèi),得AB=4,OB=n, 所以S△AOB=12AB·OB=12×4n=2n, 由S△AOB=2,得n=1, 所以A(1,4), 把A(1,4)的坐標代入y=mx中,得m=4; (2)由直線y=kx+2過點A(1,4),得k=2, 所以一次函數(shù)的解析式為y=2x+2. 令y=0,得x=-1. 所以點C的坐標為(-1,0), 由(1)可知OB=1,所以BC=2

12、, 在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=42+22=25. 6.解:(1)∵反比例函數(shù)y=kx(x>0,k>0)圖象上的兩點(n,3n),(n+1,2n), ∴n·3n=(n+1)·2n,解得n=2或n=0(舍去), ∴n的值為2; (2)易求反比例函數(shù)解析式為y=12x, 設(shè)B(m,m), ∵OC=BC=m, ∴△OBC為等腰直角三角形. ∴∠OBC=45°, ∵AB⊥OB, ∴∠ABO=90°, ∴∠ABC=45°, ∴△ABD為等腰直角三角形, 設(shè)BD=AD=t,則A(m+t,m-t). ∵A(m+t,m-t)在反比例函數(shù)y=12x的圖象上, ∴(m+

13、t)(m-t)=12, 即m2-t2=12, ∴S1-S2=12m2-12t2=12×12=6. 7.B 8.4　[解析]由題意得:E,M,D位于反比例函數(shù)圖象上,則S△OCE=12|k|,S△OAD=12|k|, 過點M作MG⊥y軸于點G,作MN⊥x軸于點N,則S矩形ONMG=|k|, 又∵M為矩形OABC對角線的交點,∴S矩形OABC=4S矩形ONMG=4|k|, ∵函數(shù)圖象在第一象限,∴k>0,則k2+k2+12=4k, ∴k=4. 9.解:(1)將點P(-1,2)的坐標代入y=mx, 得:2=-m, 解得m=-2, ∴正比例函數(shù)解析式為y=-2x; 將點P(-

14、1,2)的坐標代入y=n-3x, 得:2=-(n-3),解得:n=1, ∴反比例函數(shù)解析式為y=-2x. 解方程組y=-2x,y=-2x, 得x1=-1,y1=2,x2=1,y2=-2, ∴點A的坐標為(1,-2). (2)證明:∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AB∥CD, ∴∠CPD=90°,∠DCP=∠BAP, 即∠DCP=∠OAE. ∵AB⊥x軸, ∴∠AEO=∠CPD=90°, ∴△CPD∽△AEO. (3)∵點A的坐標為(1,-2), ∴AE=2,OE=1, AO=AE2+OE2=5. ∵△CPD∽△AEO, ∴∠CDP=∠AOE, ∴si

15、n∠CDB=sin∠AOE=AEAO=25=255. 10.解:(1)如圖①,過點M作MC⊥x軸于點C,MD⊥y軸于點D, 則∠MCA=∠MDB=90°,∠AMC=∠BMD,MC=MD, ∴△AMC≌△BMD, ∴S四邊形OCMD=S四邊形OAMB=6, ∴k=6. (2)存在點E,使得PE=PF. 由題意,得點P的坐標為(3,2). ①如圖②,過點P作PG⊥x軸于點G,過點F作FH⊥PG于點H,交y軸于點K. ∵∠PGE=∠FHP=90°,∠EPG=∠PFH,PE=PF, ∴△PGE≌△FHP, ∴FH=PG=2.則FK=OK=3-2=1,GE=HP=2-1=1, ∴OE=OG+GE=3+1=4, ∴E(4,0); ②如圖③,過點P作PG0⊥x軸于點G0,過點F作FH0⊥PG0于點H0,交y軸于點K0. ∵∠PG0E=∠FH0P=90°,∠EPG0=∠PFH0,PE=PF, ∴△PG0E≌△FH0P, ∴FH0=PG0=2.則FK0=OK0=3+2=5,G0E=H0P=5-2=3, ∴OE=OG0+G0E=3+3=6, ∴E(6,0). 綜上所述,存在點E(4,0)或(6,0),使得PE=PF. 12