2020年中考數學必考考點 專題16 全等三角形判定和性質問題（含解析）

《2020年中考數學必考考點 專題16 全等三角形判定和性質問題（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年中考數學必考考點 專題16 全等三角形判定和性質問題（含解析）（20頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 專題16 全等三角形判定和性質問題 專題知識回顧 1．全等三角形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。 2．全等三角形的表示 全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。 3．全等三角形的性質： 全等三角形的對應角相等、對應邊相等。 4．三角形全等的判定定理： （1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”） （2）角邊角定理：有兩角和

2、它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”） （3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。 5．直角三角形全等的判定： HL定理：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”） 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019?貴州省安順市）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是（　?。? A． ∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC 【解答】選項A、添加∠A＝∠D

3、不能判定△ABC≌△DEF，故本選項正確； 選項B、添加AC＝DF可用AAS進行判定，故本選項錯誤； 選項C、添加AB＝DE可用AAS進行判定，故本選項錯誤； 選項D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA進行判定，故本選項錯誤． 故選：A． 【例題2】（2019?黑龍江省齊齊哈爾市）如圖，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，點B、F、C、E在同一條直線上，若使△ABC≌△DEF，則還需添加的一個條件是　 　_________（只填一個即可）． 【答案】AB＝DE． 【解析】添加AB＝DE； ∵BF＝CE， ∴BC＝EF， 在△ABC和△

4、DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SAS） 【例題3】（2019?銅仁）如圖，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE． 求證：BD＝CE． 【答案】見解析。 【解析】證明：∵AB⊥AC，AD⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD． 又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（ASA）． ∴BD＝CE． 專題典型訓練題 一、選擇題 1. (2019?廣東）如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至E使EB=2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，延長F

5、G交DC于M，連接AM、AF，H為AD的中點，連接FH分別與AB.AM交于點N、K．則下列結論：①△ANH≌△GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S△AFN : S△ADM =1 : 4．其中正確的結論有（ ） A．1個?? B．2個?? C．3個?? D．4個 【答案】C 【解析】AH=GF=2，∠ANH=∠GNF，∠AHN=∠GFN，△ANH≌△GNF（AAS），①正確； 由①得AN=GN=1，∵NG⊥FG，NA不垂直于AF，∴FN不是∠AFG的角平分線 ∴∠AFN≠∠HFG，②錯誤；由△AKH∽△MKF，且A

6、H:MF=1:3，∴KH:KF=1:3，又∵FN=HN， ∴K為NH的中點，即FN=2NK，③正確；S△AFN =AN·FG=1，S△ADM =DM·AD=4，∴S△AFN : S△ADM =1 : 4，④正確. 2.（2019?廣西池河）如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，BE＝CF，則圖中與∠AEB相等的角的個數是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【解析】根據正方形的性質，利用SAS即可證明△ABE≌△BCF，再根據全等三角形的性質可得∠BFC＝∠AEB，進一步得到∠BFC＝∠ABF，從而求解． 證明：∵四邊形ABCD是正方形，

7、 ∴AB∥BC，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BFC＝∠AEB， ∴∠BFC＝∠ABF， 故圖中與∠AEB相等的角的個數是2． 3.（2019?湖北天門）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E，連接BD．下列結論：①CD是⊙O的切線；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正確結論的個數有（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【答案】A． 【解析】連結DO． ∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線， ∴∠C

8、BO＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD． 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB． 在△COD和△COB中，， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． 又∵點D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切線；故①正確， ∵△COD≌△COB， ∴CD＝CB， ∵OD＝OB， ∴CO垂直平分DB， 即CO⊥DB，故②正確； ∵AB為⊙O的直徑，DC為⊙O的切線， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°， ∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°， ∴∠ADE＝∠BDO， ∵OD＝OB， ∴

9、∠ODB＝∠OBD， ∴∠EDA＝∠DBE， ∵∠E＝∠E， ∴△EDA∽△EBD，故③正確； ∵∠EDO＝∠EBC＝90°， ∠E＝∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴， ∵OD＝OB， ∴ED?BC＝BO?BE，故④正確。 4.（2019?湖北孝感）如圖，正方形ABCD中，點E.F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點G．若BC＝4，DE＝AF＝1，則GF的長為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】證明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根據等角的余弦可得CG的長，可得結論． 正方形ABCD中，∵BC

10、＝4， ∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∵AF＝DE＝1， ∴DF＝CE＝3， ∴BE＝CF＝5， 在△BCE和△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCF， ∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE， cos∠CBE＝cos∠ECG＝， ∴，CG＝， ∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝ 5.（2019?山東省濱州市）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④

11、MO平分∠BMC．其中正確的個數為（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B． 【解析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正確； 由全等三角形的性質得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正確； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠BMC，④正確；即可得出結論． ∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+

12、∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中，， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正確； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性質得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正確； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示： 則∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中，， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，④正確； 正確的個數有3個。 6.（2019?河南）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝

13、3．分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O．若點O是AC的中點，則CD的長為（　　） A．2 B．4 C．3 D． 故選：A． 【解析】連接FC，根據基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質得出AF＝FC．再根據ASA證明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代換得到FC＝AF＝3，利用線段的和差關系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的長． 如圖，連接FC，則AF＝FC． ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠BCO． 在△FOA與△BOC中， ， ∴△FOA≌△BOC（ASA

14、）， ∴AF＝BC＝3， ∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1． 在△FDC中，∵∠D＝90°， ∴CD2+DF2＝FC2， ∴CD2+12＝32， ∴CD＝2． 故選：A． 7．（2019?山東臨沂）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，則BD的長是（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B． 【解析】根據平行線的性質，得出∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，根據全等三角形的判定，得出△ADE≌△CFE，根據全等三角形的性質，得出AD＝CF，根據AB＝4，CF＝3，即可求線段DB的長．

15、 ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF＝3， ∵AB＝4， ∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1． 二、填空題 8.(2019四川成都）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長為 . 【答案】9 【解析】此題考察的是全等三角形的性質和判定，因為△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，所以△ABD△ACE(ASA)，所以BD=二次，EC=9. 9.（2019?湖南邵陽）

16、如圖，已知AD＝AE，請你添加一個條件，使得△ADC≌△AEB，你添加的條件是　 ?。ú惶砑尤魏巫帜负洼o助線） 【答案】AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD。 【解析】根據圖形可知證明△ADC≌△AEB已經具備了一個公共角和一對相等邊，因此可以利用ASA.SAS、AAS證明兩三角形全等． ∵∠A＝∠A，AD＝AE， ∴可以添加AB＝AC，此時滿足SAS； 添加條件∠ADC＝∠AEB，此時滿足ASA； 添加條件∠ABE＝∠ACD，此時滿足AAS， 故答案為AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD。 10.（2019?天津）如圖，正方形紙

17、片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點，連接AE，折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經過點B，得到折痕BF，點F在AD上，若DE=5，則GE的長為 . 【答案】 【解析】因為四邊形ABCD是正方形，易得△AFB≌△DEA，∴AF=DE=5，則BF=13. 又易知△AFH∽△BFA，所以，即AH=，∴AH=2AH=，∴由勾股定理得AE=13，∴GE=AE-AG= 11.（2019?廣東省廣州市）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上運動（不與點A，B重合），∠DAM＝45°，點F在射線AM上，且AF＝BE，CF與AD相交于點G，連接EC

18、，EF，EG，則下列結論： ①∠ECF＝45°；②△AEG的周長為（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面積的最大值a2． 其中正確的結論是　 　．（填寫所有正確結論的序號） 故答案為①④． 【解析】如圖1中，在BC上截取BH＝BE，連接EH． ∵BE＝BH，∠EBH＝90°， ∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH， ∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC， ∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB＝90°，

19、∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°， ∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正確， 如圖2中，延長AD到H，使得DH＝BE，則△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH， ∵GH＝DG+DH，DH＝BE， ∴EG＝BE+DG，故③錯誤， ∴△AEG的周長＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②錯誤， 設BE＝x，則AE＝a﹣x，AF＝x， ∴S△AEF＝?（a﹣x）×x＝

20、﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2， ∵﹣＜0， ∴x＝a時，△AEF的面積的最大值為a2．故④正確， 故答案為①④． 12．（2019?山東臨沂）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是　?。? 【答案】8． 【解析】根據垂直的定義得到∠BCD＝90°，得到長CD到H使DH＝CD，由線段中點的定義得到AD＝BD，根據全等三角形的性質得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，求得CD＝2，于是得到結論． ∵DC⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，

21、 延長CD到H使DH＝CD， ∵D為AB的中點， ∴AD＝BD， 在△ADH與△BCD中，， ∴△ADH≌△BCD（SAS）， ∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°， ∵∠ACH＝30°， ∴CH＝AH＝4， ∴CD＝2， ∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2××4×2＝8， 故答案為：8． 三、解答題 13.（2019?湖南長沙）如圖，正方形ABCD，點E，F分別在AD，CD上，且DE＝CF，AF與BE相交于點G． （1）求證：BE＝AF； （2）若AB＝4，DE＝1，求AG的長． 【答案】見解析。 【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形

22、的性質、勾股定理以及三角形面積公式；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵． （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD， ∵DE＝CF， ∴AE＝DF， 在△BAE和△ADF中，， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE＝AF； （2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF， ∴∠EBA＝∠FAD， ∴∠GAE+∠AEG＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∵AB＝4，DE＝1， ∴AE＝3， ∴BE＝＝＝5， 在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG， ∴AG＝＝． 14.（2019?湖南懷化）已知：如圖，在

23、?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分別為垂足． （1）求證：△ABE≌△CDF； （2）求證：四邊形AECF是矩形． 【答案】見解析。 【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）證明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四邊形AECF是矩形． 15.（2019?湖南岳陽）如圖所示，在菱形ABCD中，點E

24、.F分別為AD.CD邊上的點，DE＝DF， 求證：∠1＝∠2． 【答案】見解析。 【解析】由菱形的性質得出AD＝CD，由SAS證明△ADF≌△CDE，即可得出結論． 證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中，， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2． 16.（2019?甘肅）如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE，過點A作AG⊥ED交DE于點F，交CD于點G． （1）證明：△ADG≌△DCE； （2）連接BF，證明：AB＝FB． 【解析】本題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定與性質，在應用全等三角形的

25、判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形． （1）∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC， 又∵AG⊥DE， ∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF， ∴∠DAG＝∠CDE， ∴△ADG≌△DCE（ASA）； （2）如圖所示，延長DE交AB的延長線于H， ∵E是BC的中點， ∴BE＝CE， 又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB， ∴△DCE≌△HBE（ASA）， ∴BH＝DC＝AB， 即B是AH的中點， 又∵∠AFH＝90°， ∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB． 17.（2019山

26、東棗莊）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點D． （1）如圖1，點M，N分別在AD，AB上，且∠BMN＝90°，當∠AMN＝30°，AB＝2時，求線段AM的長； （2）如圖2，點E，F分別在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求證：BE＝AF； （3）如圖3，點M在AD的延長線上，點N在AC上，且∠BMN＝90°，求證：AB+AN＝AM． 【答案】見解析。 【解析】（1）根據等腰三角形的性質、直角三角形的性質得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根據勾股定理計算即可； ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠A

27、CB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∵AB＝2， ∴AD＝BD＝DC＝， ∵∠AMN＝30°， ∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MBD＝30°， ∴BM＝2DM， 由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2， 解得，DM＝， ∴AM＝AD﹣DM＝﹣； （2）證明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE和△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA） ∴BE＝AF； （3）證明：過點M作ME∥BC交AB的延長線于E， ∴∠AME＝90°， 則AE＝AM，∠E＝45°， ∴M

28、E＝MA， ∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°， ∴∠BME＝∠AMN， 在△BME和△AMN中， ， ∴△BME≌△AMN（ASA）， ∴BE＝AN， ∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM． 18.（2019?河北）如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側，I為△APC的內心． （1）求證：∠BAD＝∠CAE； （2）設AP＝x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值； （3）當AB⊥AC時，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值． 【答

29、案】見解析。 【解析】（1）在△ABC和△ADE中，（如圖1） ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE 即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x 當AD⊥BC時，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3為PD的最大值． （3）如圖2，設∠BAP＝α，則∠APC＝α+30°， ∵AB⊥AC ∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α， ∵I為△APC的內心 ∴AI、CI分別平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA ∴∠AIC＝180°﹣（∠

30、IAC+∠ICA） ＝180°﹣（∠PAC+∠PCA） ＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105° ∵0＜α＜90°， ∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°， ∴m＝105，n＝150． 19.（2019?江蘇無錫）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于點O． （1）求證：△DBC≌△ECB； （2）求證：OB＝OC． 【答案】見解析。 【解析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠ECB＝∠DBC根據全等三角形的判定定理即可得到結論； 證明：∵AB＝AC， ∴∠ECB＝∠DBC， 在△DBC與△ECB中， ∴△DBC≌△ECB（SAS）； （2）根據全等三角形的性質得到∠DCB＝∠EBC根據等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC 證明：由（1）知△DBC≌△ECB， ∴∠DCB＝∠EBC， ∴OB＝OC． 20