2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題17 等腰、等邊三角形問題（含解析）

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1、專題17 等腰、等邊三角形問題 專題知識(shí)回顧 一、等腰三角形 1. 定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角. 2.等腰三角形的性質(zhì) 性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）． 性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）． 3.等腰三角形的性質(zhì)的作用 性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)． 性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等． 4.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形 等腰三角形底邊上的高（頂角平分

2、線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸． 5.等腰三角形的判定 如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）. 要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理. 二、等邊三角形 1. 定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形． 2. 性質(zhì) 性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°； 性質(zhì)2：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線。 3.判定 （1） 三個(gè)角都相等的

3、三角形是等邊三角形； （2） 有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形； （3） 有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。 三、含30的直角三角形的性質(zhì) 在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它對(duì)的等于的一半. 四、解題方法要領(lǐng) 1.等腰（邊）三角形是一個(gè)特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時(shí)幾何圖形中不存在 等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。 2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問 題上，我們常將中線延長(zhǎng)一倍，這樣添輔助線有助于我

4、們解決有關(guān)中線的問題。 3.分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對(duì)已知的邊和角進(jìn)行討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類。 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)； （2）求證：FB＝FE． 【答案】見解析。 【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°， ∵BD＝CD，A

5、B＝AC， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°． （2）證明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE． 【例題2】（2019?黑龍江哈爾濱）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，連接BD.CE，CE與BD交于點(diǎn)F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，則BC的長(zhǎng)為　 ?。? 【答案】2 【解析】連接AC交BD于點(diǎn)O，由題意可證AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝

6、AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通過證明△EDF是等邊三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的長(zhǎng)．如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O ∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°， ∴AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形 ∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4 ∵CE∥AB ∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60° ∴∠DAO＝∠ACE＝30° ∴AE＝CE＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2 ∵∠CED＝∠ADB＝60° ∴△EDF是等邊三角形，∴DE＝EF＝DF＝2 ∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2 ∴OC＝

7、＝2 ∴BC＝＝2 【例題3】（2019?黃石）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為邊AC的中點(diǎn)，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（　?。? A．125° B．145° C．175° D．190° 【答案】C 【解析】根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，即可得到△CDF是等邊三角形，進(jìn)而得到∠ACD＝60°，根據(jù)∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點(diǎn)E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°． ∵CD⊥AB，F(xiàn)為邊AC的中點(diǎn)， ∴DF＝AC＝CF， 又∵CD＝CF， ∴

8、CD＝DF＝CF， ∴△CDF是等邊三角形， ∴∠ACD＝60°， ∵∠B＝50°， ∴∠BCD+∠BDC＝130°， ∵∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點(diǎn)E， ∴∠DCE+∠CDE＝65°， ∴∠CED＝115°， ∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°， 故選：C． 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.（2019寧夏） 如圖，在△ABC中，，點(diǎn)D和E分別在AB和AC上，且．連接DE，過點(diǎn)A的直線GH與DE平行，若，則的度數(shù)為（ ）． A． B． C．

9、 D． 【答案】C 【解析】】平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)． 因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故本題正確選項(xiàng)為C． 2.（2019?浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的。借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)，若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（ ? ?） A.?60°??????????????????????????????B.?65°????????????????????????

10、???C.?75°????????????????????????????????D.?80° 【答案】 D 【解析】考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì) 。 ∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， 設(shè)∠O=∠ODC=x， ∴∠DCE=∠DEC=2x， ∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x， ∵∠BDE=75°， ∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°， 即x+180°-4x+75°=180°， 解得：x=25°， ∠CDE=180°-4x=80°. 3.（2019?湖南長(zhǎng)沙）如圖，Rt△

11、ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是（　?。? A．20° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作圖可知MN為AB的中垂線， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30° 4.（2019?湖南長(zhǎng)沙）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE

12、上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+BD的最小值是（　?。? A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂線段最短即可解決問題． 如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°， ∵tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，BE＝2a， 則有：100＝a2+4a2，∴a2＝20， ∴a＝2或﹣2（舍棄），∴BE＝2a＝4， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC， ∴CM＝BE＝4（等腰三角形兩腰上的

13、高相等）） ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD， ∴CD+BD＝CD+DH， ∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4， ∴CD+BD的最小值為4． 5.（2019?湖南邵陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD對(duì)折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，線段DF與AB相交于點(diǎn)E，則∠BED等于（　?。? A．120° B．108° C．72° D．36° 【答案】B 【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角

14、形的性質(zhì)求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°． ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． ∵AD是斜邊BC上的中線， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°． ∵將△ACD沿AD對(duì)折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處， ∴∠ADF＝∠ADC＝72°， ∴∠BED＝∠BAD+∠

15、ADF＝36°+72°＝108°． 二、填空題 6.（2019?湖南懷化）若等腰三角形的一個(gè)底角為72°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為　?。? 【答案】36°． 【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論． ∵等腰三角形的一個(gè)底角為72°， ∴等腰三角形的頂角＝180°﹣72°﹣72°＝36° 7.（2019?湖南邵陽(yáng)）如圖，將等邊△AOB放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B在第一象限，將等邊△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′OB′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是　?。? 【答案】（﹣2，﹣2）． 【解析】作BH⊥y軸于H，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到OH

16、＝AH＝2，∠BOA＝60°，再計(jì)算出BH，從而得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），然后根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)． 作BH⊥y軸于H，如圖， ∵△OAB為等邊三角形， ∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°， ∴BH＝OH＝2， ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）， ∵等邊△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′OB′， ∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（﹣2，﹣2）． 故答案為（﹣2，﹣2）． 8.（2019?湖北天門）如圖，為測(cè)量旗桿AB的高度，在教學(xué)樓一樓點(diǎn)C處測(cè)得旗桿頂部的仰角為60°，在四樓點(diǎn)D處測(cè)得旗桿頂部的仰角為30°，點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平線上．已知CD＝9.6m，則旗桿AB

17、的高度為　 　m． 【答案】14.4． 【解析】作DE⊥AB于E，如圖所示： 則∠AED＝90°，四邊形BCDE是矩形， ∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°， ∴∠ADC＝90°+30°＝120°， ∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°， ∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴AE＝AD＝4.8m， ∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m 9.（2019?貴州畢節(jié)）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC邊于點(diǎn)D，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠

18、DAC的大小為　 ?。? 【答案】34°． 【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得出∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，進(jìn)而根據(jù)角的和差得出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°． ∵∠B＝40°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104° ∵AB＝BD ∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34° 10. （2019?湖北武漢）如圖，在?ABCD中，E.F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，則

19、∠ADE的大小為　 ?。? 【答案】21°． 【解析】設(shè)∠ADE＝x，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，證出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可． 設(shè)∠ADE＝x， ∵AE＝EF，∠ADF＝90°， ∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF， ∵AE＝EF＝CD， ∴DE＝CD， ∴∠DCE＝∠DEC＝2x， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCA＝x， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63

20、°﹣x， ∴2x＝63°﹣x， 解得：x＝21°， 即∠ADE＝21°． 11.(2019黑龍江綏化)如圖,在△ABC中,AB＝AC,點(diǎn)D在AC上,且BD＝BC＝AD,則∠A＝______度. 【答案】16 【解析】∵BD＝AD,設(shè)∠A＝∠ABD＝x,∴∠BDC＝2x,∵BD＝BC,∴∠C＝∠BDC＝2x,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C＝2x,∴x+2x+2x＝180°,∴x＝36°. 三、解答題 12.（2019湖北孝感）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，BC與AD交于點(diǎn)E，AC＝BD，求證：AE＝BE． 【答案】見解析。 【解析】由HL證明Rt△ACB≌Rt△BDA

21、得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論． 證明：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ACB和△BDA是直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB=BAAC=BD， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴AE＝BE． 13.（2019?杭州）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC． （1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B． （2）以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數(shù)． 【答案】見解析。 【解析】（1）證明：∵線段AB的垂直

22、平分線與BC邊交于點(diǎn)P， ∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP， ∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B； （2）根據(jù)題意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA， ∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B， ∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°， ∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°． 14．（2019?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D． （1）若∠C＝42°，求∠BAD的度數(shù)； （2）若點(diǎn)E在邊AB上，EF∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：AE＝FE． 【答案】見解析。 【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D， ∴

23、∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°， 又∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°； （2）∵AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AC， ∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE． 15．（2019?南岸區(qū)）如圖，直線AB∥CD，∠ACD的平分線CE交AB于點(diǎn)F，∠AFE的平分線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G． （1）證明：AC＝AF； （2）若∠FCD＝30°，求∠G的大?。? 【答案】見解析。 【解析】（1）證明：∵∠ACD的平分線CE交AB于點(diǎn)F， ∴∠ACF＝∠DCF， ∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠DCF， ∴∠

24、ACF＝∠AFC， ∴AC＝AF； （2）解：∵∠FCD＝30°，AB∥CD， ∴∠ACD＝∠GAF＝60°，∠AFC＝30°， ∵∠AFE的平分線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G． ∴＝75°， ∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣60°﹣75°＝45°． 16．（2019?攀枝花）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BD＝CE．求證： （1）點(diǎn)D在BE的垂直平分線上； （2）∠BEC＝3∠ABE． 【答案】見解析。 【解析】（1）連接DE， ∵CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵BE是AC邊上的中線，∴AE＝CE，∴

25、DE＝CE， ∵BD＝CE，∴BD＝DE， ∴點(diǎn)D在BE的垂直平分線上； （2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE， ∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB， ∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE， ∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE． 17.（2019?湖北十堰）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CDE＝∠BAC． （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半徑． 【答案】見解析。 【解析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)

26、、三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形或等腰三角形． （1）如圖，連接OD，AD， ∵AC是直徑， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC， ∵∠CDE＝∠BAC． ∴∠CDE＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵∠ADO+∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠CDE＝90° ∴∠ODE＝90° 又∵OD是⊙O的半徑 ∴DE是⊙O的切線； （2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC， 設(shè)DC＝x，則AC＝3x， ∴AD＝＝2x

27、， ∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED， ∴△CDE∽△DAE， ∴＝，即＝＝ ∴DE＝4，x＝， ∴AC＝3x＝14， ∴⊙O的半徑為7． 18.（2019?甘肅武威）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC邊上，⊙D經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B且與BC邊相交于點(diǎn)E． （1）求證：AC是⊙D的切線； （2）若CE＝2，求⊙D的半徑． 【答案】見解析。 【解析】連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切線；

28、連接AE，推出△ADE是等邊三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到結(jié)論． （1）證明：連接AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切線； （2）解：連接AE， ∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等邊三角形， ∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°， ∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半徑AD＝2． 19. （2

29、019?湖南衡陽(yáng)）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長(zhǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為以t（s）．過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC邊于D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE． （1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三角形； （2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由； （3）求DE的長(zhǎng)； （4）取線段BC的中點(diǎn)M，連接PM，將△BPM沿直線PM翻折，得△B′PM，連接AB′，當(dāng)t為何值時(shí)，AB'的值最

30、小？并求出最小值． 【答案】見解析。 【解析】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題． （1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B＝60°， ∴當(dāng)BQ＝2BP時(shí)，∠BPQ＝90°， ∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝3， ∴t＝3時(shí)，△BPQ是直角三角形． （2）存在． 理由：如圖1中，連接BF交AC于M． ∵BF平分∠ABC，BA＝BC， ∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm， ∵EF∥B

31、Q， ∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°， ∴EF＝2EM， ∴t＝2?（3﹣t）， 解得t＝3． （3）如圖2中，作PK∥BC交AC于K． ∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠A＝60°， ∵PK∥BC， ∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°， ∴△APK是等邊三角形，∴PA＝PK， ∵PE⊥AK，∴AE＝EK， ∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC， ∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC， ∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）． （4）如圖3中，連接AM，AB′ ∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC， ∴AM＝＝3， ∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3， ∴AB′的最小值為3﹣3． 19