2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題14 函數(shù)綜合題（含解析）

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1、專題14 函數(shù)的綜合問題 專題知識(shí)回顧 1.一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合。 2.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合。 3.二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合。 4.一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合。專題典型題考法及解析 【例題1】(2019黑龍江綏化)一次函數(shù)y1＝－x+6與反比例函數(shù)y2＝(x>0)的圖象如圖所示.當(dāng)y1>y2時(shí),自變量x的取值范圍是______. 第18題圖 【答案】2y2時(shí),自變量x的取值范圍是2

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2-2ax+(a＞0)與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，P為拋物線的頂點(diǎn)，若直線OP交直線AM于點(diǎn)B，且M為線段AB的中點(diǎn)，則ɑ的值為 【答案】2. 【解析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后將二次函數(shù)的解析式配方寫出y=a(x-1)2+-a的形式，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OP的方程，進(jìn)而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后根據(jù)M為線段AB的中點(diǎn)，可得=4，進(jìn)而得出答案. 令x=0，可得y=， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，）， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，）. ∵y=ax2

3、-2ax+=a(x-1)2+-a， ∴拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-a）， ∴直線OP的方程為y=(-a)x， 令y=，可得x=， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）. ∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)， ∴=4，解得a=2。 【例題3】（2019廣西省貴港市）如圖，菱形的邊在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，． （1）求，的值； （2）求的面積． 【答案】將解析。 【解析】由菱形的性質(zhì)可知，，點(diǎn)代入反比例函數(shù)，求出；將點(diǎn)代入，求出；求出直線與軸和軸的交點(diǎn)，即可求的面積； （1）由已知可得， 菱形， ，， 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上， ， 將點(diǎn)代入

4、， ； （2）， 直線與軸交點(diǎn)為， 專題典型訓(xùn)練題 1.（2019廣東深圳）已知函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=ax+b與y=的圖象為（ ） 【答案】C 【解析】二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；符號(hào)判斷。先根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象確定a，b，c的正負(fù)，則判斷一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象所在的象限． 由二次函數(shù)的圖象可知，a<0，b>0，c<0．當(dāng)a<0，b>0，c<0時(shí)，一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過第一、二、四象限；反比例函數(shù)y=位于第二、四象

5、限，選項(xiàng)C符合．故選C． 2.（2019四川省雅安市） 已知函數(shù)的圖像如圖所示，若直線y=x+m與該圖像恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍為 ___________. 【答案】00，∴m的取值范圍為0

6、

7、】（1）過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，如圖1所示． 當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)（0≤t≤4）時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8﹣2t，6）， ∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|， ∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100， ∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）． 故答案為：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）． （2）當(dāng)PQ＝35時(shí)，25t2﹣80t+100＝（35）2， 整理，得：5t2﹣16t+11＝0， 解得：t1＝1，t2=115． （3）經(jīng)過點(diǎn)D的雙曲線y=kx（k≠0）的k值不變． 連接OB，交P

8、Q于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，如圖2所示． ∵OC＝6，BC＝8， ∴OB=OC2+BC2=10． ∵BQ∥OP， ∴△BDQ∽△ODP， ∴BDOD=BQOP=2t3t=23， ∴OD＝6． ∵CB∥OA， ∴∠DOF＝∠OBC． 在Rt△OBC中，sin∠OBC=OCOB=610=34，cos∠OBC=BCOB=810=45， ∴OF＝OD?cos∠OBC＝6×45=245，DF＝OD?sin∠OBC＝6×35=185， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（245，185）， ∴經(jīng)過點(diǎn)D的雙曲線y=kx（k≠0）的k值為245×185=43225． 4. （2019湖南湘西

9、）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象在第一象限交于點(diǎn)A（3，2），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且OB＝4． （1）求函數(shù)y=mx和y＝kx+b的解析式； （2）結(jié)合圖象直接寫出不等式組0＜mx＜kx+b的解集． 【答案】見解析。 【解析】（1）把點(diǎn)A（3，2）代入反比例函數(shù)y=mx，可得m＝3×2＝6， ∴反比例函數(shù)解析式為y=6x， ∵OB＝4， ∴B（0，﹣4）， 把點(diǎn)A（3，2），B（0，﹣4）代入一次函數(shù)y＝kx+b，可得3k+b=2b=-4， 解得k=2b=-4， ∴一次函數(shù)解析式為y＝2x﹣4； （2）不等式組0＜mx＜kx+b的解集為

10、：x＞3． 5.（2019山東東營(yíng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=mx與雙曲線y=相交于A（－2，a）、B 兩點(diǎn)，BC⊥x 軸，垂足為 C，△AOC的面積是2． （1）求 m、n的值； （2）求直線 AC的解析式． 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則B（2，a），由于BC⊥x軸，所以C（2，0），先利用三角形面積公式得到×2×a＝2，解得a＝2，則可確定A（﹣2，2），然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝mxy＝mx和y＝中即可求出m，n；根據(jù)待定系數(shù)法即可得到直線AC的解析式． （1）∵直線y＝mx與雙曲線y＝相交于A（﹣2，a）、B兩點(diǎn)

11、， ∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱， ∴B（2，﹣a）， ∴C（2，0）； ∵S△AOC＝2， ∴×2×a＝2，解得a＝2， ∴A（﹣2，2）， 把A（﹣2，2）代入y＝mx和y＝得﹣2m＝2，2＝，解得m＝﹣1，n＝﹣4； （2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b， ∵直線AC經(jīng)過A、C， ∴，解得 ∴直線AC的解析式為y＝﹣x+1． 6.（2019湖北咸寧）某工廠用50天時(shí)間生產(chǎn)一款新型節(jié)能產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的該產(chǎn)品被某網(wǎng)店以每件80元的價(jià)格全部訂購(gòu)，在生產(chǎn)過程中，由于技術(shù)的不斷更新，該產(chǎn)品第x天的生產(chǎn)成本y（元/件）與x（天）之間的關(guān)系如圖所示，第x天該產(chǎn)品的生產(chǎn)量z（件

12、）與x（天）滿足關(guān)系式z＝﹣2x+120． （1）第40天，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)是　 　元； （2）設(shè)第x天該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為w元． ①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出第幾天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？ ②在生產(chǎn)該產(chǎn)品的過程中，當(dāng)天利潤(rùn)不低于2400元的共有多少天？ 【答案】見解析。 【解析】由圖象可知，第40天時(shí)的成本為40元，此時(shí)的產(chǎn)量為z＝﹣2×40+120＝40，則可求得第40天的利潤(rùn)．利用每件利潤(rùn)×總銷量＝總利潤(rùn)，進(jìn)而求出二次函數(shù)最值即可． （1）由圖象可知，第40天時(shí)的成本為40元，此時(shí)的產(chǎn)量為z＝﹣2×40+120＝40 則第40天的利潤(rùn)為：（80﹣4

13、0）×40＝1600元 故答案為1600 （2）①設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得 b=7030k+b=40，解得b=70k=-1 ∴直線AB的解析式為y＝﹣x+70 （Ⅰ）當(dāng)0＜x≤30時(shí) w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120） ＝﹣2x2+100x+1200 ＝﹣2（x﹣25）2+2450 ∴當(dāng)x＝25時(shí)，w最大值＝2450 （Ⅱ）當(dāng)30＜x≤50時(shí)， w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800 ∵w隨x的增大而減小 ∴當(dāng)x＝31時(shí)，w最大值＝2320 ∴w=-2x2+100x+1200，(

14、0＜x≤30)-80x+4800，(30＜x≤50) 第25天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2450元 ②（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤30時(shí)，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400元 解得x1＝20，x2＝30 ∵拋物線w＝﹣2（x﹣25）2+2450開口向下 由其圖象可知，當(dāng)20≤x≤30時(shí)，w≥2400 此時(shí)，當(dāng)天利潤(rùn)不低于2400元的天數(shù)為：30﹣20+1＝11天 （Ⅱ）當(dāng)30＜x≤50時(shí)， 由①可知當(dāng)天利潤(rùn)均低于2400元 綜上所述，當(dāng)天利潤(rùn)不低于2400元的共有11天． 7. （2019貴州省畢節(jié)市）已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C

15、，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)． （1）拋物線的解析式為　 　，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　 　； （2）如圖1，連接OP交BC于點(diǎn)D，當(dāng)S△CPD：S△BPD＝1：2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣1），點(diǎn)G為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； （4）如圖3，是否存在點(diǎn)P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】見解析。 【解析】函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解； S△CPD：S△BPD＝1：2，則BD＝

16、BC＝×3＝2，即可求解； ∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，則∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解； 利用S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解． （1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）； （2）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BD＝BC＝×3＝2， yD＝BDsin∠CBO＝2， 則點(diǎn)D（﹣1，2）； （3）如圖2，設(shè)直線PE交x軸于點(diǎn)H，

17、 ∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1， 則直線HE的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1…②， 聯(lián)立①②并解得：x＝（舍去正值）， 故點(diǎn)P（，）； （4）不存在，理由： 連接BC，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H， 直線BC的表達(dá)式為：y＝x+3， 設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣2x+3），點(diǎn)H（x，x+3）， 則S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8， 整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：△＜0，故方程無(wú)解， 則不存在滿足條件的點(diǎn)P． 8.（2019貴州黔西南州）已知拋物線y＝

18、ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)． （1）拋物線的解析式為　 　，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　 　； （2）如圖1，連接OP交BC于點(diǎn)D，當(dāng)S△CPD：S△BPD＝1：2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣1），點(diǎn)G為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； （4）如圖3，是否存在點(diǎn)P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】見解析。 【解析】函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2

19、+2x﹣3），即可求解； S△CPD：S△BPD＝1：2，則BD=23BC=23×32=22，即可求解； ∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，則∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解； 利用S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解． （1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）； （2）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BD=23BC=23×32=22， yD＝BD

20、sin∠CBO＝2， 則點(diǎn)D（﹣1，2）； （3）如圖2，設(shè)直線PE交x軸于點(diǎn)H， ∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1， 則直線HE的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1…②， 聯(lián)立①②并解得：x=-1±172（舍去正值）， 故點(diǎn)P（-1-172，17-12）； （4）不存在，理由： 連接BC，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H， 直線BC的表達(dá)式為：y＝x+3， 設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣2x+3），點(diǎn)H（x，x+3）， 則S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC=12×3×3+12（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，

21、整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：△＜0，故方程無(wú)解， 則不存在滿足條件的點(diǎn)P． 9.（2019湖北十堰）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和C（0，94），與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D． （1）求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，BD上（E點(diǎn)不與A，B重合），且∠DEF＝∠A，則△DEF能否為等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由； （3）若點(diǎn)P在拋物線上，且S△PBDS△CBD=m，試確定滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)． 【答案】見解析。 【解析】利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為解方程組即可解決問題． 可能．分三種情形

22、①當(dāng)DE＝DF時(shí)，②當(dāng)DE＝EF時(shí)，③當(dāng)DF＝EF時(shí)，分別求解即可． 如圖2中，連接BD，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的右側(cè)時(shí)，作DH⊥AB于H，連接PD，PH，PB．設(shè)P[n，-316（n﹣2）2+3]，構(gòu)建二次函數(shù)求出△PBD的面積的最大值，再根據(jù)對(duì)稱性即可解決問題． （1）由題意：16a+c=04a+c=94， 解得a=-316c=3， ∴拋物線的解析式為y=-316（x﹣2）2+3， ∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（2，3）． （2）可能．如圖1， ∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0）， ∴AB＝8，AD＝BD＝5， ①當(dāng)DE＝DF時(shí)，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD， ∴EF∥AB，此

23、時(shí)E與B重合，與條件矛盾，不成立． ②當(dāng)DE＝EF時(shí)， 又∵△BEF∽△AED， ∴△BEF≌△AED， ∴BE＝AD＝5 ③當(dāng)DF＝EF時(shí)，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB， ∴EFBD=DEAB， ∴EFDE=BDAB=58， ∵△AEF∽△BCE ∴EBAD=EFDE=58， ∴EB=58AD=258， 答：當(dāng)BE的長(zhǎng)為5或258時(shí)，△CFE為等腰三角形． （3）如圖2中，連接BD，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的右側(cè)時(shí)，作DH⊥AB于H，連接PD，PH，PB．設(shè)P[n，-316（n﹣2）2+3]， 則S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△

24、BDH=12×4×[-316（n﹣2）2+3]+12×3×（n﹣2）-12×4×3=-38（n﹣4）2+32， ∵-38＜0， ∴n＝4時(shí)，△PBD的面積的最大值為32， ∵S△PBDS△CBD=m， ∴當(dāng)點(diǎn)P在BD的右側(cè)時(shí)，m的最大值=325=310， 觀察圖象可知：當(dāng)0＜m＜310時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有4個(gè)， 當(dāng)m=310時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)， 當(dāng)m＞310時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有2個(gè)（此時(shí)點(diǎn)P在BD的左側(cè)）． 10.（2019湖北咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)

25、且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C． （1）求該拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ABD＝2∠BAC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）已知E，F(xiàn)分別是直線AB和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)B，O，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出所有符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】見解析。 【解析】求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式，獲得b、c的值，獲得拋物線的解析式． 通過平行線分割2倍角條件，得到相等的角關(guān)系，利用等角的三角函數(shù)值相等，得到點(diǎn)坐標(biāo)． B、O、E、F四點(diǎn)作平行四邊形，以已知線段OB為邊和對(duì)角線分類討論，當(dāng)OB為邊時(shí)，以EF＝OB的關(guān)系建立方程求解，當(dāng)OB為

26、對(duì)角線時(shí)，OB與EF互相平分，利用直線相交獲得點(diǎn)E坐標(biāo)． （1）在y=-12x+2中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2 ∴A（4，0），B（0，2） 把A（4，0），B（0，2），代入y=-12x2+bx+c，得 c=2-12×16+4b+c=0，解得b=32c=2 ∴拋物線得解析式為y=-12x2+32x+2 （2）如圖，過點(diǎn)B作x軸得平行線交拋物線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作BE得垂線，垂足為F ∵BE∥x軸，∴∠BAC＝∠ABE ∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE 即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE ∴∠DBE＝∠ABE ∴∠DBE＝∠BAC 設(shè)D點(diǎn)的坐

27、標(biāo)為（x，-12x2+32x+2），則BF＝x，DF=-12x2+32x ∵tan∠DBE=DFBF，tan∠BAC=BOAO ∴DFBF=BOAO，即-12x2+32xx=24 解得x1＝0（舍去），x2＝2 當(dāng)x＝2時(shí)，-12x2+32x+2=3 ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3） （3） 當(dāng)BO為邊時(shí)，OB∥EF，OB＝EF 設(shè)E（m，-12m+2），F(xiàn)（m，-12m2+32m+2） EF＝|（-12m+2）﹣（-12m2+32m+2）|＝2 解得m1＝2，m2=2-22，m3=2+22 當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，OB與EF互相平分 過點(diǎn)O作OF∥AB，直線OFy=-12x

28、交拋物線于點(diǎn)F（2+22，-1-2）和（2-22，-1+2） 求得直線EF解析式為y=-22x+1或y=22x+1 直線EF與AB的交點(diǎn)為E，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-22-2或22-2 ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）或（2-22，1+2）或（2+22，1-2）或（-2-22，3+2）或（-2+22，3-2） 11.（2019湖南湘西）如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過點(diǎn)E（8，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C、D在拋物線上，∠BAD的平分線AM交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3． （1）求拋物線的解析式； （2）F、G分別為x

29、軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長(zhǎng)的最小值； （3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ODP中OD邊上的高為6105？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； （4）矩形ABCD不動(dòng)，將拋物線向右平移，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L，且直線KL平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離． 【答案】見解析。 【解析】由點(diǎn)E在x軸正半軸且點(diǎn)A在線段OE上得到點(diǎn)A在x軸正半軸上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四邊形ABCD為矩形，故有AD⊥AB，所以點(diǎn)D在第四象限，橫坐標(biāo)與A的橫坐標(biāo)相同，

30、進(jìn)而得到點(diǎn)D坐標(biāo)．由拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、E，用待定系數(shù)法即求出其解析式．畫出四邊形MNGF，由于點(diǎn)F、G分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，故可作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)M'，作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí)N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值等于MN+M'N'．根據(jù)矩形性質(zhì)、拋物線線性質(zhì)等條件求出點(diǎn)M、M'、N、N'坐標(biāo)，即求得答案． 因?yàn)镺D可求，且已知△ODP中OD邊上的高，故可求△ODP的面積．又因?yàn)椤鱋DP的面積常規(guī)求法是過點(diǎn)P作PE平行y軸交直線OD于點(diǎn)E，把△ODP拆分為△OPE與△DPE的和或差來計(jì)算，

31、故存在等量關(guān)系．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為t，用t表示PE的長(zhǎng)即列得方程．求得t的值要討論是否滿足點(diǎn)P在x軸下方的條件． 由KL平分矩形ABCD的面積可得K在線段AB上、L在線段CD上，畫出平移后的拋物線可知，點(diǎn)K由點(diǎn)O平移得到，點(diǎn)L由點(diǎn)D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）．易證KL平分矩形面積時(shí)，KL一定經(jīng)過矩形的中心H且被H平分，求出H坐標(biāo)為（4，﹣3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即求得m的值． （1）∵點(diǎn)A在線段OE上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0） ∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四邊形ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6） ∵拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)

32、D、E ∴4a+2b=-664a+8b=0 解得：a=12b=-4 ∴拋物線的解析式為y=12x2﹣4x （2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)M'，作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N'，連接FM'、GN'、M'N' ∵y=12x2﹣4x=12（x﹣4）2﹣8 ∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝4 ∵點(diǎn)C、D在拋物線上，且CD∥x軸，D（2，﹣6） ∴yC＝y(tǒng)D＝﹣6，即點(diǎn)C、D關(guān)于直線x＝4對(duì)稱 ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0） ∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45° ∴BM＝AB＝4 ∴M

33、（6，﹣4） ∵點(diǎn)M、M'關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)F在x軸上 ∴M'（6，4），F(xiàn)M＝FM' ∵N為CD中點(diǎn) ∴N（4，﹣6） ∵點(diǎn)N、N'關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)G在y軸上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN' ∴C四邊形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM' ∵當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí)，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C四邊形MNGF＝MN+M'N'=(6-4)2+(-4+6)2+(6+4)2+(4+6)2=22+102=122 ∴四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值為122． （3）存在點(diǎn)P，使△ODP中OD邊上的高為6105． 過點(diǎn)P作PE∥y軸交直線O

34、D于點(diǎn)E ∵D（2，﹣6） ∴OD=22+62=210，直線OD解析式為y＝﹣3x 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，12t2﹣4t）（0＜t＜8），則點(diǎn)E（t，﹣3t） ①如圖2，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè) ∴PE＝y(tǒng)E﹣yP＝﹣3t﹣（12t2﹣4t）=-12t2+t ∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE=12PE?xP+12PE?（xD﹣xP）=12PE（xP+xD﹣xP）=12PE?xD＝PE=-12t2+t ∵△ODP中OD邊上的高h(yuǎn)=6105， ∴S△ODP=12OD?h ∴-12t2+t=12×210×6105 方程無(wú)解 ②如圖3，當(dāng)2＜t＜8時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)D右側(cè)

35、 ∴PE＝y(tǒng)P﹣yE=12t2﹣4t﹣（﹣3t）=12t2﹣t ∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE=12PE?xP-12PE?（xP﹣xD）=12PE（xP﹣xP+xD）=12PE?xD＝PE=12t2﹣t ∴12t2﹣t=12×210×6105 解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6） 綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，﹣6）滿足使△ODP中OD邊上的高為6105． （4）設(shè)拋物線向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后與矩形ABCD有交點(diǎn)K、L ∵KL平分矩形ABCD的面積 ∴K在線段AB上，L在線段CD上，如圖4 ∴K（m，0），L（2+m，0） 連接AC，交KL于點(diǎn)H ∵S△ACD＝S四邊形ADLK=12S矩形ABCD ∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥LC ∴△AHK∽△CHL ∴S△AHKS△CHL=(AHCH)2=1 ∴AH＝CH，即點(diǎn)H為AC中點(diǎn) ∴H（4，﹣3）也是KL中點(diǎn) ∴m+2+m2=4 ∴m＝3 ∴拋物線平移的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度． 23