2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題4 二次根式的運(yùn)算（含解析）

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1、專題04 二次根式的運(yùn)算 專題知識(shí)回顧 1．二次根式：形如式子（≥0）叫做二次根式。（或是說(shuō)，表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的式子，叫做二次根式）。 2．二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)≥0 3．二次根式的性質(zhì)： （1）是非負(fù)數(shù)； （＞0） （＜0） 0 （=0）； （2）（）2= （≥0）； （3） （4）非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積， 即 = · （a≥0,b≥0）。 （5） 非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即 = （a≥0,b>0）。反之， 4．最簡(jiǎn)二次根式：

2、必須同時(shí)滿足下列條件： ⑴被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式； ⑵被開(kāi)方數(shù)中不含分母； ⑶分母中不含根式。 5．同類二次根式：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。 6．分母有理化：分母有理化就是通過(guò)分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過(guò)分母有理化而進(jìn)行的。 7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。 8．有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。 9．找有理化因式的方法： （1）分母為單項(xiàng)式時(shí)

3、，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分。如：① 的有理化因式為 ，② 的有理化因式為 。 （2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分。即的有理化因式為 ， 的有理化因式為 ，的有理化因式為 10．二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類二次根式分別合并。 一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行： （1）將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式 （2）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組 （3）合并同類二次根式 11． 二次根式的乘法 兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即 （≥0，≥0）。 兩

4、個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即 （≥0，＞0）。 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖南常德）下列運(yùn)算正確的是（　?。? A．+＝ B．＝3 C．＝﹣2 D．＝ 【答案】D 【解析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍． 根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)B、C進(jìn)行判斷；根據(jù)分母有理化和二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷． A.原式＝+2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

5、B.原式＝2，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤； C.原式＝2，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤； D.原式＝＝，所以D選項(xiàng)正確． 【例題2】（2019?山東威海）計(jì)算（﹣3）0+﹣（﹣）﹣1的結(jié)果是（　?。? A．1+ B．1+2 C． D．1+4 【答案】D 【解析】分別根據(jù)零次冪、二次根式的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)即可求解． 原式＝1+＝1+． 【例題3】（2019?山東省濱州市 ）計(jì)算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝　 ?。? 【答案】2+4． 【解析】根據(jù)二次根式的混合計(jì)算解答即可． 原式＝， 故答案為：2+4． 【例題4】（2019?廣東）先化簡(jiǎn)，再求值： ，其中x=． 【答案】1+. 【解

6、析】原式= =×= 當(dāng)x=，原式===1+. 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.（2019?四川省達(dá)州市）下列判斷正確的是（　　） A．＜0.5 B．若ab＝0，則a＝b＝0 C．＝ D．3a可以表示邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的周長(zhǎng) 【答案】D． 【解析】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則、二次根式的乘除法法則、列代數(shù)式的一般步驟判斷即可． A.2＜＜3， ∴＜＜1，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B.若ab＝0，則a＝0或b＝0或a＝b＝0，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C.當(dāng)a≥0，b＞0時(shí)，＝，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D.3a可以表示邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的周長(zhǎng)，本選項(xiàng)正確。

7、2.（2019?湖北省隨州市）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：==7+4，除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于-，設(shè)x=-，易知＞，故x＞0，由x2=（-）2=3++3--2=2，解得x=，即-=．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)+-后的結(jié)果為（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)x=-，且＞， ∴x＜0， ∴x2=6-3-2+6+3， ∴x2=12-2×3=6， ∴x=， ∵=5-2， ∴原式=5-2- =5-3 3.（2019?山東省濟(jì)寧市 ）下列計(jì)算正確的是（　　） A．＝﹣3 B．＝ C．＝±6

8、D．﹣＝﹣0.6 【答案】D． 【解析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)分析得出答案． A.＝3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B.＝﹣，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C.＝6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D.﹣＝﹣0.6，正確． 4.（2019?廣東）化簡(jiǎn)的結(jié)果是 A．﹣4?? B．4?? C．±4 D．2 【答案】B 【解析】公式. 5.（2019?甘肅）使得式子有意義的x的取值范圍是（　?。? A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4 【答案】D 【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案． 使得式子有意義，則：4﹣x＞0

9、， 解得：x＜4， 即x的取值范圍是：x＜4． 6.（2019?甘肅慶陽(yáng)）下列整數(shù)中，與最接近的整數(shù)是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A． 【解析】由于9＜10＜16，于是＜＜，10與9的距離小于16與10的距離，可得答案． ∵32＝9，42＝16， ∴3＜＜4， 10與9的距離小于16與10的距離， ∴與最接近的是3． 7.（2019?山東省聊城市）下列各式不成立的是（　　） A．﹣＝ B．＝2 C．＝+＝5 D．＝﹣ 【答案】C． 【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加法法則、除法法則計(jì)算，判斷即可． ﹣＝3﹣＝，A選項(xiàng)成立，不符合題意

10、； ＝＝2，B選項(xiàng)成立，不符合題意； ＝＝，C選項(xiàng)不成立，符合題意； ＝＝﹣，D選項(xiàng)成立，不符合題意。 8.（2019湖南益陽(yáng)）下列運(yùn)算正確的是（　?。? A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝ 【答案】D 【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式加法，乘法及乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可． A.＝2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B.＝12，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C.與不是同類二次根式，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D.根據(jù)二次根式乘法運(yùn)算的法則知本選項(xiàng)正確． 9．(2019?云南)要使有意義，則x的取值范圍為( ) A．x≤0 B．x≥－1 C．x

11、≥0 D．x≤－1 【答案】B． 【解析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解． 要使有意義，則被開(kāi)方數(shù)要為非負(fù)數(shù)，即，∴，故選B． 10.（2019?湖北省荊門市）﹣的倒數(shù)的平方是（　?。? A．2 B． C．﹣2 D．﹣ 【答案】B． 【解析】根據(jù)倒數(shù)，平方的定義以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可． ﹣的倒數(shù)的平方為：． 二、填空題 11.（2019?江蘇揚(yáng)州）計(jì)算：（﹣2）2018（+2）2019的結(jié)果是　 ?。? 【答案】+2． 【解析】先根據(jù)積的乘方得到原式＝[（﹣2）（+2）]2018?（+2），然后利用平方差公式計(jì)算． 原式＝[（﹣2）（+2）]2

12、018?（+2） ＝（5﹣4）2018?（+2） ＝+2 故答案為+2． 12.(2019?四川省綿陽(yáng)市)單項(xiàng)式x-|a-1|y與2xy是同類項(xiàng)，則ab=______． 【答案】1 【解析】由題意知-|a-1|=≥0， ∴a=1，b=1，則ab=（1）1=1，故答案為：1． 13.（2019貴州遵義）計(jì)算 的結(jié)果是 【答案】 【解析】 14.（2019?南京）計(jì)算﹣的結(jié)果是　 ?。? 【答案】0 【解析】先分母有理化，然后把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后合并即可． 原式＝2﹣2＝0． 15.（2019寧夏）計(jì)算：

13、 ． 【答案】 【解析】． 16.（2019?廣東廣州）代數(shù)式有意義時(shí)，x應(yīng)滿足的條件是　 ?。? 【答案】x＞8． 【解析】直接利用分式、二次根式的定義求出x的取值范圍． 代數(shù)式有意義時(shí)， x﹣8＞0， 解得：x＞8． 故答案為：x＞8． 17.（2019江蘇鎮(zhèn)江）計(jì)算：＝ ． 【答案】． 【解析】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，解答時(shí)應(yīng)先化簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根， 因?yàn)椋?－＝，因此本題答案為． 18．（2019?山東臨沂）一般地，如果x4＝a（a≥0），則稱x為a的四次方根，一個(gè)正數(shù)a的四次方根有兩個(gè)．它們互為相反數(shù)，記

14、為±，若＝10，則m＝________． 【答案】±10 【解析】利用題中四次方根的定義求解． ∵＝10， ∴m4＝104， ∴m＝±10． 故答案為：±10 19．(2019?湖南益陽(yáng))觀察下列等式： ①3－＝(－1)2， ②5－＝(－)2， ③7－＝(－)2， … 請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，寫出第6個(gè)等式 ?。? 【答案】13－2＝(－)2． 【解析】第n個(gè)等式左邊的第1個(gè)數(shù)為2n+1，根號(hào)下的數(shù)為n(n+1)，利用完全平方公式得到第n個(gè)等式右邊的式子為(－)2(n≥1的整數(shù))． 寫出第6個(gè)等式為13－2＝(－)2． 故答案為13－2＝(－)2．

15、20.（2019山東棗莊）觀察下列各式： ＝1+＝1+（1﹣）， ＝1+＝1+（﹣）， ＝1+＝1+（﹣）， … 請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算： +++…+， 其結(jié)果為　 　． 【答案】2018． 【解析】根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可． +++…+ ＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣） ＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣ ＝2018 21．（2019?山東青島）計(jì)算：﹣（）0＝　 ?。? 【答案】2+1． 【解析】根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則計(jì)算即可． ﹣（）0＝2+2﹣1＝2+1 三、解答題 22.（2019?湖北省仙桃市）計(jì)

16、算：（﹣2）2﹣|﹣3|+×+（﹣6）0 【答案】6 【解析】先計(jì)算乘方、取絕對(duì)值符號(hào)、計(jì)算二次根式的乘法及零指數(shù)冪，再計(jì)算加減可得。 原式＝4﹣3+4+1＝6。 23.（2019貴州遵義）計(jì)算2sin60°+ 【答案】3 【解析】sin60°=，，=-2，代入求值即可 2sin60°+ ==3 24.（2019年陜西?。┯?jì)算： ． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】對(duì)該代數(shù)式中的每一項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后，進(jìn)行代數(shù)式的化簡(jiǎn)、合并． 25.（2019湖北荊州）已知：a＝（3-1）（3+1）+|1-2|，b=8-2sin45°+（12）﹣1，求b﹣a的算術(shù)平方根． 【答案】1 【解析】利用平方差公式和絕對(duì)值的計(jì)算法則求得a的值，由二次根式的化簡(jiǎn)，特殊角的三角函數(shù)值已經(jīng)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪求得b的值，代入求值即可． ∵a＝（3-1）（3+1）+|1-2|＝3﹣1+2-1＝1+2， b=8-2sin45°+（12）﹣1＝22-2+2=2+2． ∴b﹣a=2+2﹣1-2=1． ∴b-a=1=1． 26.（2019?銅仁）計(jì)算：|﹣|+（﹣1）2019+2sin30°+（﹣）0 【答案】. 【解析】|﹣|+（﹣1）2019+2sin30°+（﹣）0 ＝+（﹣1）+2×+1 ＝+（﹣1）+1+1＝. 11